方程與不等式中考題型探究

文／朱賽蘭

“方程與不等式”的中考題中既有對基礎知識和技能的考查，又有對綜合應用能力的考查。現歸納幾例供同學們研究。

一、新定義型運算

【小結】此題定義的是一種新運算，定位于我們熟悉的分式。我們需要理清算法，呈現公式，將問題從公式到分式方程，逐步轉化，從數學情境中建立模型，實現對理解能力和轉化能力的考查。

二、含參數的方程（組）

A.k≥8 B.k＞8 C.k≤8 D.k＜8

【解析】關于含參數類型的求解問題，先不要著急消元求解，要觀察系數，思考x與y的和能否通過整體加減用參數表示出來，再列不等式求解。將方程組中的兩式相減，得x+y=k-3。由已知，得x+y≥5，則k-3≥5，解得k≥8。故選A。

【小結】本題是方程與不等式的結合，考查了等式性質與不等式的解法，解題的關鍵是應用整體思想將含參式與已知條件建立聯系。

三、方程與函數結合

例3（2022·浙江紹興）已知拋物線y=x2+mx的對稱軸為直線x=2，則關于x的方程x2+mx=5的根是（ ）。

A.0，4 B.1，5 C.1，-5 D.-1，5

【解析】根據拋物線y=x2+mx的對稱軸為直線x=2，則-=2，解得m=-4。然后解一元二次方程x2-4x=5即可。故選D。

【小結】本題通過二次函數的對稱軸公式建立一次方程模型，求出參數m的取值，最后解關于x的一元二次方程即可。本題知識點較多，綜合考查了同學們的基礎技能。

四、建立方程模型

例4（2022·江蘇蘇州）某水果店經銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如表所示：

（1）求甲、乙兩種水果的進價；

（2）銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動。第三次購進甲、乙兩種水果共200 千克，且投入的資金不超過3360 元。將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售。若第三次購進的200 千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800 元，求正整數m的最大值。

【解析】（1）借助表格構建方程組模型即可解決問題。

設甲種水果的進價為每千克a元，乙種水果的進價為每千克b元。

答：甲種水果的進價為每千克12 元，乙種水果的進價為每千克20元。

（2）先分析得出，兩種水果單獨售價、單獨進價已知，第三次購進的兩種水果數量未知；再通過設數量，分別表示總成本和總利潤；然后由題意求出成本范圍，用一次函數求出最大利潤，最終回歸不等式求解。

設第三次購進x千克甲種水果，則購進（200-x）千克乙種水果。

根據題意，得12x+20（200-x）≤3360，解得x≥80。

設獲得的利潤為w元。

w=（17-12）×（x-m）+（30-20）×（200-x-3m）=-5x-35m+2000。

∵-5＜0，w隨x的增大而減小，

∴當x=80時，w的值最大，最大值為-35m+1600。

由題意，得-35m+1600≥800，解得m≤

∴m的最大整數值為22。

【小結】利用方程組和不等式模型綜合解決實際問題是常考題型，而且往往閱讀量不小。此時，同學們不必慌張，可以借助表格仔細推敲字句，找出已知量和未知量，通過銷售利潤問題中的數量關系找準相等或不等關系即可解決問題。