田地丈量史

田地丈量， 即通過測量和計算得到田地的準確面積。古代中國是個農業社會，丈量田地是非常重要的事情。

不光百姓希望把田地面積登記到官方文書里，讓自己的財產得到國家的保護。皇帝也怕百姓逃稅，時不時就會進行一次全國性丈量，摸清天下田地的面積！畢竟，田地面積越大，國家收的稅也越多。

古代田地面積的計算

田地丈量如此重要，它在中國古代數學中的“存在感”也就特別強，強到幾乎所有古代數學著作都要講田地面積計算。在最著名的古代數學著作《九章算術》中，開篇第一章就叫“方田”，整整一章全在講解各種形狀的田地的面積計算。

受地形限制，實際生活中的田地形狀是五花八門的。古代數學家給各種形狀的田地起了專門的名字，如：方田、直田、圭田、斜田、箕田、圓田、環田、弧田、宛田、四不等田……除了取名外，數學家還給出了計算這些田地面積的公式。

什么！圓的面積公式居然不是我們學過的S=πr2？實際上，我們可以證明：S=πr2=lr。

為什么數學家要用S=lr這個計算公式呢？這是因為對衙門的書吏來說，圍著田地走半圈再乘以圓的半徑比計算半徑的平方再乘以圓周率更方便。

雖然在實踐中很難碰到上面兩種形狀的田地，但古代的數學家也給出了相應的計算公式。可還有一種“四不等田”卻有點讓人沒面子，因為中國竟然把一個明顯錯誤的算法用了上千年！

錯誤的面積算法

四不等田實際上就是一塊不等邊四邊形的田地。在現實生活中，四不等田比圓田、環田更為常見，所以官吏們必須要掌握其計算方法。

一本叫《夏侯陽算經》的數學著作給出了四不等田的計算方法：“并二長半之，又并二廣半之，相乘為積步”，翻譯過來就是說，將一組對邊相加除以2，另一組對邊也相加除以2，然后將結果乘起來，就是不等邊四邊形的面積。這個算法只考慮邊長，完全忽視各邊之間的夾角，是一種錯誤的算法。

假設你是一個古代農民，擁有一塊長方形田地。朝廷派官吏來丈量田地。他使用的是夏侯陽算法，由于長方形對邊相等，這個算法就是長方形的面積計算公式。于是，他把正確的田地面積填寫到冊子上。

這時，有個無聊的神仙作法，把你的田地一推，四邊的邊長沒變，四邊形的形狀卻變化了。學過數學的你大驚，急忙拉住官吏。

神仙還沒停手，他又繼續推，把田地推成了一個更小的平行四邊形。

其實，這位官吏沒有算錯。這種錯誤的算法長期為官方所使用，并被記載于大量數學典籍和官方文件資料中。

敦煌出土的唐、五代時期文件用這個算法，北宋刊刻《夏侯陽算經》用這個算法，南宋主持田地丈量的官員用這個算法，元代、明代的數學著作列出了這個算法……如果查看歷代留存下來的田地登記資料，你會發現這種算法居然從漢代用到清代，從官方用到民間。

奇妙的歷史原因

這個錯誤的算法為什么能用兩千多年？這和古代的社會環境有關。從前面的例子就能看出，不等邊四邊形內角相差越大，計算結果和田地實際面積差得越多。反過來說，當內角相差不太大時，其誤差就尚可容忍。我國北方地區平原多，農田主要是長方形、正方形，即使有不等邊四邊形田地，內角相差也不至于太大，誤差尚可接受。

隨著時間推移，中國的人口從北方遷移到南方，南方農業越來越發達，丘陵水網地區奇形怪狀的田地漸漸增多，官方已經開始注意到這種算法誤差太大，所以南宋時期就有官員提出新算法。到了明代晚期萬歷年間，張居正主持大規模田地丈量時，就推出了一種新的計算方法。

從數學角度來說，明代這個新算法已經很準確了，但對測量人員來說就不容易了，要測量記錄的數字從4個變成8個，面積計算公式從1個變成5個。還有一個問題是，如果這塊田地正好在山崖邊，要如何拓展長方形呢？所以從清代資料來看，人們又用回了錯誤算法，張居正時期提出的新算法早被扔到九霄云外了！

那么，為什么測量人員不在不等邊四邊形里畫一條對角線，將之分為兩個三角形，再測量出兩個三角形的面積呢？

這是個很有趣的問題，我國古代數學家不至于想不到這個方法。南宋時的大數學家秦九韶在自己的《數學九章》中給出了一個根據三角形三條邊算出三角形面積的公式，不過該公式非常復雜，在一個沒有計算機、缺少紙筆的年代，普通人幾乎不可能算出來。

但大家可能又要問了：還可以測量兩個三角形的底和高算面積，為何實際測量中不采納這個辦法呢？至今為止，數學史研究者也沒有給出很好的解釋，大家猜測，這是因為古代丈量田地的基層官吏嫌麻煩不肯使用，反正吃虧的是老百姓不是自己。