多格骨牌游戲（下）

在上期特別策劃欄目中，我們介紹了2格、3格、4格骨牌的各種玩法。本期，我們將介紹5格骨牌的玩法。5格骨牌是數學家研究得最深入的一類骨牌，它的玩法千變萬化，其中有很多腦洞大開、極其有趣。

5格骨牌

5格骨牌是由5個相鄰的、大小相等的正方形組成的平面中的多邊形。組成骨牌的正方形的數量變多，骨牌的形狀也變得更多，有趣的玩法也變多了。

基本信息

形狀 12種。為了方便區分，人們給這12種骨牌取了不同的名字。

變化 自由5格骨牌中有6種骨牌左右翻轉后形狀不變。然而，如下所示，還有6種骨牌左右翻轉后形狀會改變。

當旋轉和翻轉后形狀改變了的骨牌被認為是不同的骨牌時，這12種5格骨牌一共能形成63種不同形狀的5格骨牌。

玩法1 拼成長方形

人數 1人或多人

規則

1 準備1組自由5格骨牌（共12塊） ， 用這組5 格骨牌拼成10 × 6 、12×5或15×4的長方形。骨牌可以旋轉和翻轉。

2 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

這是3個成功的例子。每塊5格骨牌的面積都是5，因此拼成的長方形的面積必須是 60。

數學奧秘

拼出這3個長方形的難度是逐漸遞增的。對10×6的長方形，有2339種拼法；對12×5的長方形，有1010種拼法；對15×4的長方形，有368種拼法。除此之外，還可以拼出20×3的長方形，不過只有兩種拼法，因為其拼法太少，不適合作為游戲來玩。

玩法2 拼出正方形

人數 1人或多人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格，在網格中刪掉一個2×2的小正方形。

2 準備1組自由5格骨牌（共12塊），用這組5格骨牌鋪滿這個8×8的網格。骨牌可以旋轉和翻轉。

3 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

補充說明：

本游戲還有一個變形，那就是刪掉網格中4個分散的小方格，再試著用12塊自由5格骨牌鋪滿這個網格。對大多數刪掉4個分散小方格的8×8正方形網格，都可以找到鋪滿的方法。

玩法3 萬年歷拼圖

人數 1人或多人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格，按下圖在網格中寫上1月～12月、1～31和周一～周日，將正方形網格改成一個萬年歷網格。

2 準備1組自由5格骨牌（共12塊），再看看玩游戲當天的日期，用這組5格骨牌覆蓋到萬年歷網格中，只留下代表當天日期的方格。骨牌可以旋轉和翻轉。

例如，同學們看到這本雜志的日期可能是2023年12月5日，這天是周二，就可以用12塊5格骨牌覆蓋萬年歷網格，沒有被骨牌覆蓋的幾個方格里，寫著“12月，5，周二”。

數學奧秘

8×8的正方形網格中有64個小正方形，刪掉4個小正方形后，網格中還剩下60個小正方形，恰好和12塊5格骨牌的面積相同。

3 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

數學奧秘

玩萬年歷拼圖有一定難度，對有些日期，同學們甚至需要好幾個小時才能拼出來。但同學們不必擔心，這個日歷拼圖之所以叫“萬年歷”，是因為數學家已經用計算機找出了所有可能，確認可以用12塊5格骨牌拼出1年366天（包括閏年）的所有日期。下面展示兩個例子。

玩法4 拼出截斷三角形

人數 1人或多人

規則

1 畫一個如下圖所示的截斷三角形網格，它一共由60個小正方形組成。

2 準備1組自由5格骨牌（共12塊），用這組5格骨牌鋪滿這個截斷三角形，骨牌可以旋轉和翻轉。

3 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

數學奧秘

截斷三角形的拼法有很多種，數學家計算后發現，共有3626種拼法。除了截斷三角形以外，5格骨牌還可以拼成許多有趣且充滿美感的圖形，如十字形、星形、鉆石形等。

玩法5 逆向拼圖

人數"1人或多人

規則

1 畫一個12×12的正方形網格。

2 準備1組自由5格骨牌（共12塊），將這組5格骨牌陸續放入正方形網格中，骨牌可以旋轉和翻轉。要求任何兩塊骨牌都不能互相接觸，包括骨牌的頂點都不能接觸。

3 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

數學奧秘

前面介紹的幾種玩法要求5格骨牌緊密排列，本游戲完全不同，因此才被叫作“逆向拼圖”。很多數學家對這個游戲都很有興趣，經大量計算后，數學家找到了最優解：13×11的長方形網格是能滿足這種玩法的最小網格。

玩法6 骨牌數獨游戲

人數 1人或多人

規則

1 畫一個5×5的正方形網格，將這個網格分成5塊，確保每一塊的形狀都是自由5格骨牌中的一種且各不相同。骨牌可以旋轉和翻轉。圖1和圖2展示了兩個例子。

2 在其中一塊骨牌中隨機填入數字1～5。圖3和圖4展示了兩個例子。

3 通過上一步填入的數字，動用邏輯推理，在其他方格中也填入數字1～5，確保網格每一行、每一列、每一塊骨牌中的數字都不相同。

4 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

數學奧秘

除了在其中一塊骨牌中隨機填入數字1～5之外，還可以選擇網格的某一行或某一列來填入數字1～5，填好后再根據5塊骨牌的位置關系，推理得出其他骨牌中的數字。

玩法7 棋盤游戲

人數 2人

規則

1 畫一個8×8的正方形網格，以此作為游戲的棋盤。

2 準備1組自由5格骨牌（共12塊），兩個玩家A和B交替在網格中放入骨牌，每次只能從12塊5格骨牌中選擇1塊。骨牌可以旋轉和翻轉。

3 游戲的目標是成為最后一個將5格骨牌放入網格的玩家，讓對手玩家無法再放入5格骨牌。如右圖的例子，A、B各走了5步之后，網格中沒有剩余的空間可以放入5格骨牌了。B是最后一個將5格骨牌放入網格的玩家，他獲得了勝利！

數學奧秘

介紹2格、3格骨牌時，我們也講解過這種玩法，這是一種零和博弈游戲，非常培養玩家的邏輯推理能力。

玩法8 周長競賽

人數 1人或多人

規則

1 準備1組自由5格骨牌（共12塊），再隨機選一個大于等于14、小于等于50的偶數。（可以自制幾十個寫著偶數的紙團，采用“抓鬮兒”的方式選出隨機數。）

2 玩家從這12塊5格骨牌中任選若干塊，再將骨牌拼接在一起形成一個幾何圖形，要求這個幾何圖形的周長等于該隨機數。注意，5格骨牌不能相互重疊。每個骨牌中的小正方形的邊長都是1。

比如，如果玩家抽到了數字20，他就可以將F形骨牌和V形骨牌按照下圖的方式拼接在一起。

再比如，如果玩家抽到了數字28，他可以將P形骨牌、F型骨牌和I形骨牌按照下圖的方式拼接在一起。

3 如果有多個玩家參與這個游戲，可以統計每個玩家的游戲時間，誰最快完成誰就獲得勝利。

數學奧秘

所有的5格骨牌都具有相同的面積，但它們的周長不完全相同。除了P形骨牌的周長為10，其他骨牌的周長都是12。拼接5格骨牌時要注意，拼好之后，幾何圖形周長的長度會減少重疊長度的兩倍。因此5格骨牌拼接后的圖形的周長都是偶數。

玩這個游戲的時候，同學們還可以思考一下：拼出的幾何圖形最小或最大的可能周長是多少？

玩法9 數字求和

人數 2人或多人

規則

1 畫一個10×10的正方形網格，在網格中按順序寫入數字1～100。

2 游戲玩家各準備1組自由5格骨牌（共12塊）。接著，玩家準備一個隨機數，要求該隨機數大于等于50，小于等于450。生成隨機數的辦法很多，如果兩個玩家A、B參與游戲，可以讓玩家A選出2個或3個一位數，玩家B來決定每個數字在哪個數位；如果3個玩家A、B、C參與游戲，可以讓玩家A選百位數，玩家B選十位數，玩家C選個位數。

3 接著，玩家從12塊5格骨牌中選擇1塊合適的骨牌放入網格中，使得骨牌覆蓋的數字和恰好等于隨機數。誰先找到，誰就贏得勝利。例如，3個玩家參與游戲，玩家A選了3，玩家B選了1，玩家C選了5，那么，隨機數就是315。玩家可以在網格中找到多種覆蓋的方法。下圖展示了兩個例子。

4 誰最先找到覆蓋的方法，誰就獲得勝利。

數學奧秘

如果隨機數的末尾是5或者0，相信同學們都能很快找到游戲獲勝的策略；如果隨機數的個位數是1，3，4，9等，游戲的難度就要大一些了。游戲的關鍵在于掌握骨牌覆蓋的5個數字的求和表達式。