梅花型混凝土樁截面幾何特性

摘 要：為便于梅花型樁設計計算，基于梅花型樁截面的外切圓半徑和開弧弧度2個控制變量，研究梅花型樁的截面面積、周長以及截面慣性矩特征，分析2個控制變量對截面幾何特性的影響規律，將梅花型樁與圓形樁進行了對比分析。結果表明：梅花型樁的截面面積、周長隨截面外切圓半徑、開弧弧度的增大而增大，面積增大比周長顯著，其中截面外切圓半徑對截面面積和周長的影響最為顯著，當截面外切圓半徑從0.1 m增加到1.0 m時，截面面積從0.02 m²增加到3.22 m²，面積增大了161倍，截面周長從0.79 m增加到7.85 m，周長增大了9.94倍;相同截面面積梅花型樁與圓形樁截面周長比為1.15～1.16，所以相同混凝土用量時梅花型樁的周長比圓樁大15%～16%;梅花型樁存在2個截面慣性矩I_x和I_y，且I_y恒大于I_x，2個截面慣性矩隨截面外切圓半徑的增大而增大。相較于等截面圓形樁，梅花型樁的截面慣性矩呈指數增長趨勢。關鍵詞：基礎工程；梅花型樁；設計計算；截面幾何特性；慣性矩

中圖分類號：TU 473

Geometric properties of concrete plum blossom piles section

DENG Yousheng^1，2，LI Long^1，2，DENG Mingke³，LI Wenjie^1，2，WANG Dong¹，YAO Zhigang^1，2，ZHAO Huiling^1，2

（1.College of Architectural and Civil" Engineering，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China；2.School of Civil Engineering，Xi’an University of Architecture amp; Technology，Xi’an 710055 China；3.Pile-Supported Structures Research and Test Center，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China）

Abstract：In order to facilitate the application of the plum blossom pile，based on two control variables of plum blossom pile section，the outsourcing radius of plum blossom pile and the open arc angle of plum blossom pile，the characteristics of cross section area，perimeter and inertia moment of plum blossom pile are studied.And the influence of the two control variables on cross section geometric characteristics is analyzed and compared with that of the circular pile within the scope of the size in engineering application.The results show that the cross sectional area and perimeter of plum blossom pile increase with the increase of the outsourcing radius and the open arc angle.What’s more，area increases more significantly than perimeter.The outsourcing radius plays the most important part in influencing the cross sectional area and perimeter.When the outsourcing radius varies from 0.1 m to 1.0 m，the area varies from 0.02 m² to 3.22 m²，the area increases 161 times，and the perimeter varies from 0.79 m to 7.85 m，the perimeter increases 9.94 times.The perimeter ratio" between the plum blossom pile and the circular pile with the same sectional perimeter is 1.15 to 1.16.Therefore，the perimeter of plum blossom pile is 15% to 16% larger than that of the circular pile with the same pile length and the same amount of concrete.The plum blossom pile section has two inertia moments：I_x，I_y，and I_y is larger than I_x，the inertia moments of the two sections increases with the increase of the outsourcing radius of plum blossom pile.Compared with the circular pile with same cross section area，the inertia moments of plum blossom pile shows an exponential growth trend.

Key words：foundation engineering；plum blossom pile；design and calculation；section geometric property；inertia moment

0 引 言

隨著國民經濟的快速發展，超高、超大建筑物、高速鐵路等的建設得到大力發展^[1]，難免遇到軟土地基等不良地層，而建于軟土地基上的地基承載力不足以及工后沉降變形大等問題。因此如何尋找一種經濟有效且技術合理的軟土地基處理方法成為一項重要課題之一^[2]。目前處理軟土地基的方法有置換^[3-4]、排水固結^[5]、灌入固化物^[6]、托換^[7]等，而采用樁基是一種非常有效的方法^[8]。X形^[9-11]、三角形^[12]、Y形^[13-14]、十字形^[15]、T形^[16]和H形^[17-18]等異形樁作為新型的樁基礎與圓形樁相比，通過變化橫截面形式，在同等混凝土用量情況下可提高樁-土接觸面面積，樁基的豎向承載能力得到提高，最大程度地發揮地基土和樁本身的潛在能力，得到廣泛的應用。盧一為等針對X形樁在均勻粘彈性地基和珊瑚砂地基中的縱向振動響應及豎向承載特性進行試驗研究，分析X形樁的受力特點^[19-20]。章為民等基于塑性理論的上下限原理，研究不同形狀抗滑樁的樁土作用，認為實心圓樁的阻滑能力和截面抗彎能力在各種樁型中均為最小^[21]。

為提高單位混凝土樁側摩阻力，鄧友生等提出梅花型混凝土樁（圖1）^[22]。現澆梅花型混凝土樁具有較大的周長面積比，可以在不增加混凝土澆注量的前提下提高單樁側表面積，從而提高梅花型樁的承載力，可廣泛應用于路基、地基、橋梁等領域。

由于梅花型混凝土樁是一種新型樁，截面幾何特性尚未見報道。文中假設樁身彈性模量保持不變，利用材料力學知識，通過梅花型混凝土樁截面的外切圓半徑和開弧弧度2個控制變量，研究梅花型樁的截面面積、周長、截面慣性矩，并分析2個控制變量對周長與面積比、等截面面積梅花型與圓形樁周長比的影響規律。為促進現澆梅花型混凝土樁應用提供理論參考。

1 梅花型混凝土樁模型

1.1 模型建立

梅花型樁是利用梅花形的截面形狀來命名的樁型，截面的2個控制變量為梅花型樁截面外切圓的半徑a及開弧弧度θ（圖1），其中o₁，o₂，o₃和r₁，r₂，r₃分別為開弧弧度θ=72°，72°＜θ＜180°和θ=180°時對應圓的圓心和半徑，s₁，s₂為梅花型樁截面的尖角點，p為梅花花瓣與外切圓的切點，h為梅花型樁樁長。當θ=60°時，截面為圓形；當θ取值介于60°和180°之間時，截面為梅花型，開弧弧段對應的圓心位于梅花型樁截面幾何中心o₁與開弧弧度為半圓時的圓心o₃之間的連線上；當θ=180°時，梅花型樁的“花瓣”為半圓形。開弧弧度θ的角度不同時梅花型樁截面的周長、面積隨之改變。

1.2 模型幾何特性

為分析梅花型樁的幾何特性，選取外切圓半徑a和開弧弧度θ為變量，將開弧弧度θ=72°、72°＜θ＜180°和θ=180°時對應圓的截面周長分別設為C₁，C₂，C₃，面積分別設為A₁，A₂，A₃。基于控制變量法分別研究開弧弧度一定時外切圓半徑的變化對梅花型樁周長、面積以及截面慣性矩的影響、外切圓半徑一定時開弧弧度從72°變化到180°時對梅花型樁周長、面積以及截面慣性矩的影響。

當開弧弧度θ=72°時，樁截面為圓形，樁截面周長和面積可用圓形周長面積公式進行計算。當開弧弧度在72°到180°之間，即圓心o₂在o₁～o₃變化（圖1）。通過Mathematica軟件試算發現，樁截面周長C₂約為1.97aθ，截面面積A₂約為6.37a²+1.97aθ/sin（θ/2）-0.037a²cot（θ/2）。當開弧弧度θ=180°時，樁截面為梅花型，5個“花瓣”均為半圓形，此時截面周長C₃僅與外切圓半徑有關，約為7.85a，截面面積A₃約為3.22a²。

以梅花型混凝土樁截面中心為原點建立坐標系（圖1），可得圓o₂的標準方程為

式中 a＞0，72°＜θ＜180°。

梅花型截面樁的截面形心是它的幾何中心，坐標系的原點和梅花型截面樁的截面形心重合，故x，y軸為形心主軸，梅花型樁截面對x，y軸的慣性矩為形心主慣性矩^[23]。當開弧弧度θ =72°時，截面為圓形，截面慣性矩等于圓形截面慣性矩；當72°＜θ≤180°時，梅花型截面樁的截面主慣性矩由移軸公式求得，由于求解復雜，可通過Mathematica軟件的數值積分^[24-25]功能進行求解。

2 梅花型混凝土樁的幾何特性分析

為研究梅花型樁截面外切圓半徑a及開弧弧度θ對梅花型樁截面幾何特性的影響，根據圓形截面樁結構尺寸范圍取值，分別在樁截面外切圓半徑a一定（取為0.5 m）和開弧弧度θ一定（取為180°）2種情況下，采用Mathematica軟件繪制三維圖形，其中樁截面外切圓半徑a從0.1 m變化到1.0 m，θ從72°變化到180°，并對截面的幾何特性進行分析。

2.1 截面周長

在開弧弧度θ一定的情況下，截面周長隨外切圓半徑a的增大而增大，外切圓半徑較小時，隨開弧弧度的增加截面周長的增加較小，隨著外切圓半徑的逐漸增大，截面周長隨開弧弧度的增大明顯增大（圖2）。當開弧弧度θ=72°時，外切圓半徑a從0.1 m增加到1.0 m，截面周長從0.26 m增加到2.64 m；當開弧弧度θ在72°到180°之間變化時，外切圓半徑a從0.1 m增加到1.0 m時，截面周長從0.79 m增加到7.85 m；當外切圓半徑a取0.5 m時，開弧弧度θ從72°變化到180°時，截面周長從1.32 m增加到6.61 m；當開弧弧度θ=180°，外切圓半徑a從0.1 m增加到1.0 m時，截面周長從0.79 m增加到6.78 m，周長增加了8.6倍（圖3）。以梅花型樁截面的尖角點s₁，s₂為基準，計算s₁-s₂從0.1 m變化到1.0 m時梅花型樁外切圓半徑a、周長以及等截面圓形樁的周長（表1）。

2.2 截面面積

開弧弧度θ一定時，梅花型樁的截面面積隨著外切圓半徑a的增大而增大，外切圓半徑a較小時，截面面積隨開弧弧度θ的增大變化不明顯，隨著外切圓半徑a的增大，截面面積隨開弧弧度θ的增大呈緩慢增大趨勢（圖4）。當開弧弧度θ=72°時，外切圓半徑a從0.1 m增加到1.0 m，截面面積從0.03 m²增加到3.14 m²；當開弧弧度θ在72°到180°之間變化時，外切圓半徑a從0.1 m增加到1.0 m時，截面面積從0.01 m²增加到3.22 m²；當外切圓半徑a取0.5 m時，開弧弧度θ從72°變化到180°時，截面面積從0.50 m²增加到0.89 m²；當開弧弧度θ=180°，外切圓半徑a從0.1 m增加到1.0 m時，截面面積從0.02 m²增加到3.22 m²（圖5）。梅花型樁外切圓半徑對截面面積的影響較為顯著，開弧弧度θ=180°時外切圓半徑由0.1增加到0.2，截面面積增加了4倍。

2.3 截面周長與面積比

開弧弧度θ一定時，截面周長與面積比隨著外切圓半徑a的增大而減小（圖6），外切圓半徑a較小時，增大開弧弧度θ對周長與面積比的影響不大，外切圓半徑a較大時，周長與面積比隨著開弧弧度θ的增大呈逐漸增大趨勢（圖7）。截面周長與面積比可以理解為，梅花型截面外切圓半徑越小，混凝土用量越少，越經濟，截面外切圓半徑較大時開弧弧度越大，周長與面積比越大，也就是控制樁截面面積的同時盡可能增大開弧弧度，但開弧弧度變大會影響混凝土的澆筑和充盈^[26]。在保證梅花型樁成樁質量的情況下，采用外切圓半徑較大、適中的開弧弧度。

2.4 相同截面面積梅花型樁與圓形樁截面周長比

當開弧弧度一定時（θ=180°），截面周長隨著外切圓半徑的增大而增大；當外切圓半徑a從0.12 m增加到1.19 m，梅花型樁的截面周長從0.79 m增加到7.85 m，等截面圓形樁的周長從0.68 m增加到6.80 m（圖8）。根據等截面梅花型樁和圓形樁的周長比曲線（圖9），可以看出，當梅花型樁和圓形樁的截面面積相同時，梅花型樁的截面周長是圓形樁的1.15～1.16倍，這說明2種樁型的截面面積和樁長相同時，梅花型樁的側表面積較圓形樁大1.15～1.16倍，即同等條件下梅花型樁較圓形樁具有更大的側摩阻力。

3 梅花型樁截面慣性矩分析

梅花型樁截面不同于普通的圓形樁、X型樁等，2個截面慣性矩I_x，I_y的數值大小不同，I_y總是大于I_x，梅花型樁截面慣性矩隨著外切圓半徑的增大而增大，當外切圓半徑a為1.19 m時，梅花型樁截面慣性矩I_x，I_y分別為1.11 m⁴和2.23 m⁴，等截面面積圓形樁的截面慣性矩為0.07 m⁴（圖10），梅花型樁截面隨著外切圓半徑的增大具有比等截面圓形樁更大的慣性矩，且樁截面越大2種樁截面的慣性矩差距越明顯，說明梅花型樁具有更好的抗彎性能。

當外切圓半徑一定時（a=3.56），隨著開弧弧度θ的增大，梅花樁截面慣性矩先增大后減小；當開弧弧度θ一定時（θ=108°），隨著外切圓半徑的增大，梅花樁截面慣性矩逐漸增大（圖11）。

4 梅花型樁與其他樁型比較

在豎向荷載作用下，當樁截面面積相同時，樁側摩阻力Q可表示為Q=2τf·πah，其中τf為側向平均摩阻力，a為樁截面外切圓半徑，h為樁長^[27]。由樁側摩阻力公式可知，梅花型樁的側摩阻力與樁截面外切圓半徑成正比，由2.4小節結論可知，梅花型樁的周長是等截面圓形樁的1.15～1.16倍，而截面外切圓半徑與及周長成正比，梅花型樁的側摩阻力比圓形樁的大，等截面時梅花型樁的承載性能更好。

在水平荷載作用下，當地基、樁長、樁截面面積及混凝土標號相同時，由樁身剛度EI可知，樁的慣性矩大，水平承載能力就大^[28]；設梅花型樁、圓形樁的截面面積均為0.50 m²，比較2種樁的周長、慣性矩（表2），可以看出梅花型樁的周長是等截面圓形樁的1.16倍，截面慣性矩是等截面圓形樁的1.05倍，也就是說用梅花型樁代替圓樁，在樁身混凝土用量相同的情況下，樁的周長可提高約16%；樁的抗彎剛度可提高約1.05倍。

從豎向和水平2種荷載作用下梅花型樁的側摩阻力、抗彎剛度綜合分析，可以看出較等截面圓形樁梅花型樁具有較好的承載和抗彎性能。

5 樁側摩阻力數值模擬

梅花型樁作為一種異型截面樁，理論上比等截面圓形樁具有更大的側摩阻力，利用ABAQUS軟件對梅花型樁基礎在豎向荷載作用下的側阻力進行有限元模擬，有限元模型材料類型及設計參數取值見表3。

梅花型樁長H=1.4 m，外切圓直徑2r=0.2 m，開弧弧度θ=180°，樁周土邊界距梅花型樁樁心5 m，樁底土層厚5 m，阻尼比ξ=5%，在有限元模型外部設置一層無限元單元以消除邊界效應的影響。樁身和樁周土均采用8結點線性六面體單元，單元形狀均勻，對樁體附近土體網格尺寸進行加密處理（圖12）。

θ=72°的樁側阻力曲線由參考文獻[29]給出，θ=180°的樁側阻力曲線由文中數值計算給出，陰影部分為72°＜θ＜180°時的樁側阻力范圍。從圖13可以看出，樁側阻力在0～20 cm深度內變化較小，在20～60 cm深度內隨沉樁深度增加樁側阻力緩慢增加，且截面開弧弧度不同時3種側摩阻力變化趨勢相近（圖13）；當沉樁深度超過60 cm時，梅花型樁側阻力迅速增加，在沉樁深度在115 cm時達到最大值，隨后迅速減小，文獻[29]的樁側阻力隨著沉樁深度超過60 cm增加緩慢，在112 cm時達到最大值，與參考文獻[29]相比，等截面梅花型樁較圓形樁具有更大的側摩阻力。

6 結 論

1）在樁截面形狀為梅花型的前提下，截面周長隨外切圓半徑的增大而增大，外切圓半徑較小時，隨開弧弧度的增加截面周長的增加較小，隨著外切圓半徑的逐漸增大，截面周長隨開弧弧度的增大明顯增大。

2）2個控制變量中截面外切圓半徑對截面面積的影響較大，開弧弧度對截面面積的影響較小。

3）梅花型樁的截面慣性矩I_y始終大于I_x，且遠大于等截面圓形樁的截面慣性矩。梅花型樁的截面慣性矩隨截面外切圓半徑的增大，呈逐漸上升趨勢，隨開弧弧度的增大先增大后減小。

參考文獻（References）：

[1] 靳猛.鄭西客專新臨潼車站路基樁板結構沉降控制技術研究[J].西安科技大學學報，2012，32（3）：371-375.JIN Meng.Subgrad pile slab structure settlement control technology for new Lintong Station of Zhengzhou-Xi’an Passenger Railway[J].Journal of Xi’an University of Science and Technology，2012，32（3）：371-375.

[2]鄧友生，王一雄，蘇家琳，等.樁網結構動力響應研究新進展[J].西安科技大學學報，2020，40（3）：377-383.DENG Yousheng，WANG Yixiong，SU Jialin，et al.New research progress in dynamic response of pile net structure[J].Journal of Xi’an University of Science and Technology，2020，40（3）：377-383.

[3]寇曉強，于健，胥新偉，等.基于實測的擠密砂樁復合地基沉降算法研究[J].巖土工程學報，2022，44（5）：820-826.KOU Xiaoqiang，YU Jian，XU Xinwei，et al.Settlement calculation method for sand compaction piles under water based on in-situ measurement[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2022，44（5）：820-826.

[4]鄧友生，孟麗青，蔡夢真，等.水泥土攪拌樁加固黃土路基穩定性研究[J].鄭州大學學報（工學），2022，43（3）：59-66.DENG Yousheng，MENG Liqing，CAI Mengzhen，et al.Research on stability of loess roadbed reinforced with cement-soil mixing piles[J].Journal of Zhengzhou University（Engineering Science），2022，43（3）：59-66.

[5]王競州，丁選明，蔣春勇，等.鈣質軟土的真空預壓與電滲固結室內試驗研究[J].巖土工程學報，2021，43（S2）：36-40.WANG Jingzhou，DING Xuanming，JIANG Chunyong，et al.Laboratory tests on vacuum preloading and electro-osmotic consolidation of calcareous soft soil[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2021，43（S2）：36-40.

[6]歐陽進武，張貴金，劉杰.劈裂灌漿擴散機理研究[J].巖土工程學報，2018，40（7）：1328-1335.OUYANG Jinwu，ZHANG Guijin，LIU Jie.Diffusion mechanism of split grouting[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2018，40（7）：1328-1335.

[7]劉家新，曹勇.靜壓錨桿樁在某工程結構托換中的應用[J].施工技術，2012，41（19）：27-30.LIU Jiaxin，CAO Yong.Application of steady pressed anchor pile in structure underpinning of some project[J].Construction Technology，2012，41（19）：27-30.

[8]谷拴成，田曉艷，李源，等.群樁基礎的可靠性分析[J].西安科技大學學報，2005，35（4）：456-460.GU Shuancheng，TIAN Xiaoyan，LI Yuan，et al.Reliability analysis of group piles foundation[J].Journal of Xi’an University of Science and Technology，2005，35（4）：456-460.

[9]PENG Yu，LIU Jiayi，DING Xuanming，et al.Perfor-mance of X-Section concrete pile group in coral sand under vertical loading[J].China Ocean Engineering，2020，34（5）：621-630.

[10]XU L，PENG Y，DING X M，et al.Model test on vertical bearing capacity of X-section concrete pile raft foundation in silica sand[J].Journal of Central South University（Science amp; Technology of Mining and Metallurgy），2020，27（6）：1861-1869.

[11]孫廣超，劉漢龍，孔綱強，等.振動波型對X形樁樁-筏復合地基動力響應影響的模型試驗研究[J].巖土工程學報，2016，38（6）：1021-1029.SUN Guangchao，LIU Hanlong，KONG Gangqiang，et al.Model tests on effect of vibration waves on dynamic response of XCC pile-raft composite foundation[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2016，38（6）：1021-1029.

[12]姚新良.三角形混凝土沉管灌注樁的設計與施工[J].結構工程師，2009，25（3）：120-124.YAO Xinliang.Design and construction of triangle section pipe-sinking-filling piles[J].Structural Engineers，2009，25（3）：120-124.

[13]LIAN W R，WEI D G，QUAN W Y.Analysis on bearing performance of Y-shaped piles under compressive and tensile loading[J].Proceedings of the Institution of Civil Engineers-Geotechnical Engineering，2019，173（1）：1-29.

[14]VERTYNSKII O S，EMEL’YANOVA T A.Development and investigation of the performance of a new design of cast-in-place pile[J].Soil Mechanics and Foundation Engineering，2013，50（5）：206-211.

[15]PHUTTHANANON C，JONGPRADIST P，YENSRI P，et al.Dependence of ultimate bearing capacity and failure behavior of T-shaped deep cement mixing piles on enlarged cap shape and pile strength[J].Computers and Geotechnics，2018，97：27-41.

[16]周翰斌.復雜地層碼頭超深T形樁墻成槽施工關鍵技術[J].巖土工程學報，2011，33（S2）：213-216.ZHOU Hanbin.Key technology of trench construction of super-deep T-shape pile wall for quay in complicated stratum[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2011，33（S2）：213-216.

[17]ABDOLLAHNIA H，ELIZEI M H A，KASHYZADEH K R.Fatigue life assessment of integral concrete bridges with H cross-section steel piles mounted in water[J].Journal of Failure Analysis and Prevention，2020，20（5）：1661-1672.

[18]黃福云，陳偉，徐普，等.整體式橋臺-H形鋼樁-土體系抗震性能試驗[J].中國公路學報，2020，33（9）：180-192.HUANG Fuyun，CHEN Wei，XU Pu，et al.Experiment on seismic performance of integral abutment-steel H-pile-soil system[J].China Journal of Highway and Transport，2020，33（9）：180-192.

[19]盧一為，丁選明，劉漢龍，等.均勻黏彈性地基中X形樁縱向振動響應簡化解析方法[J].巖土力學，2021，333（9）：2472-2479，2488.LU Yiwei，DING Xuanming，LIU Hanlong，et al.Simplified analytical solution for vertical vibration of X-section pile in homogeneous viscoelastic soil[J].Rock and Soil Mechanics，2021，333（9）：2472-2479，2488.

[20]劉家易.珊瑚砂地基中X形樁豎向承載特性試驗研究[D].重慶：重慶大學，2018.LIU Jiayi.Research on vertical bearing properties of X-section pile foundation in calcareous sand[D].Chongqing：Chongqing University，2018.

[21]章為民，顧行文.不同形狀抗滑樁的樁土作用與阻力系數研究[J].巖石力學與工程學報，2020，375（S2）：3526-3537.ZHANG Weimin，GU Xingwen.Ultimate lateral resistance of piles with different section shapes[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2020，375（S2）：3526-3537.

[22]鄧友生，李龍，趙衡，等.基于透明土的梅花樁沉樁擠土效應[J].湖南大學學報（自然科學版），2022，49（7）：205-213.DENG Yousheng，LI Long，ZHAO Heng，et al.Plum-blossom pile penetration effect based on transparent soil[J].Journal of Hunan University（Natural Sciences），2022，49（7）：205-213.

[23]劉杰民，喬燕.材料力學[M].北京：中國電力出版社，2020.

[24]魏永生，于曉東，李保民，等.用Mathematica處理和分析實驗數據[J].實驗室研究與探索，2005，24（6）：62-64，87.WEI Yongsheng，YU Xiaodong，LI Baomin，et al.Processing and analyzing experimental data with Mathmatica[J].Research and Exploration in Laboratory，2005，24（6）：62-64，87.

[25]孫劍平，朱晞.樁基礎橋梁的土-結構動力相互作用[J].鐵道學報，2001，23（2）：65-69.SUN Jianping，ZHU Xi.Seismic response for pile-foundation bridges considering soil structure dynamic interaction[J].Journal of the China Railway Society，2001，23（2）：65-69.

[26]劉漢龍，劉芝平，王新泉.現澆X型混凝土樁截面幾何特性研究[J].中國鐵道科學，2009，30（1）：17-23.LIU Hanlong，LIU Zhiping，WANG Xinquan.Study on the geometric characteristics of the cast-in-place X-type vibro-pile section[J].China Raikway Science，2009，30（1）：17-23.

[27]莊培芝，張營超，宋修廣，等.考慮尺寸效應的樁側摩阻力修正計算方法[J].山東大學學報（工學版），2021，51（5）：8-15，31.ZHUANG Peizhi，ZHANG Yingchao，SONG Xiuguang，et al.Modifiecdcalculation method of shaft friction for driven pile considering par-ticle size effect[J].Journal of Shandong University（Engineering Science），2021，51（5）：8-15，31.

[28]周航，孔綱強，劉漢龍，等.任意角度水平向荷載下現澆X形樁力學特性研究（Ⅰ）：慣性矩[J].巖土力學，2012，33（9）：2754-2758.ZHOU Hang，KONG Gangqiang，LIU Hanlong，et al.Study of mechanical properties of X-section cast-in-place concrete pile under arbitrary direction lateral load（Ⅰ）：Moment of inertia[J].Rock and Soil Mechanics，2012，33（9）：2754-2758.

[29]王永洪，張明義，李長河，等.管樁靜壓側摩阻力及樁土界面滑動摩擦機制研究[J].應用基礎與工程科學學報，2021，29（6）：1535-1549.WANG Yonghong，ZHANG Mingyi，LI Changhe，et al.Skin friction of jacked pipe pile and mechanism study on sliding friction of pile-soil interface[J].Journal of Basic Science and Engineering，2021，29（6）：1535-1549.

（責任編輯：李克永）