蘇教版與人教A版高中數學教材平面向量章節的比較與思考

朱曉祥

摘 要：本文對照課標要求，通過對蘇教版和人教A版高中數學教材中平面向量內容的章節地位、章節內容設置、知識處理方式等的比較，提出概念引入情境化、運算體系幾何化、知識應用體系化等教學思考.

關鍵詞：蘇教版；人教A版；平面向量；章節比較

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱《課標2017》）提出：向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量同時具有代數、幾何特征，為代數與幾何的研究架起了一座溝通的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮著重要作用［1］.為了進一步探究向量究竟是一個怎樣的數學對象和基本工具，進而引導課堂教學，筆者對蘇教版和人教A版高中數學教材中平面向量章節進行了比較，特別是對向量與幾何、代數和三角函數之間的互通進行比較，探尋教材中發展數學核心素養的落點，并基于結果得到相應的啟示.

2 兩個版本章節特點的比較

2.1 章節地位

《課標2017》明確指出，高中數學課程以“函數”“幾何與代數”“概率與統計”及“數學建模活動與探究活動”四條主線設計并開展教學.其中，“幾何與代數”這一主線的開篇是有關平面向量的內容.蘇教版教材“平面向量”在必修二第9章，安排在第10章“三角恒等變換”、第11章“解三角形”、第12章“復數”之前.人教A版教材“平面向量”（含解三角形）在必修第二冊第6章，安排在第5章“三角函數”（含三角恒等變換）之后，第7章“復數”之前.教材這樣編排，是在學生已經學習了高中階段大部分代數知識之后，實現幾何、代數和三角函數間的互通，同時，對后面學習復數、空間向量和平面解析幾何內容起了鋪墊作用.

兩本教材的相同之處是都重點突出了向量在連結代數和幾何中不可替代的作用.兩本教材的不同之處是“三角恒等變換”與“平面向量”兩部分內容順序相反.蘇教版側重向量工具在研究“三角恒等變換”中的應用，而人教A版教材則側重對三角函數整體知識體系的建構.

2.2 章節內容設置

2.2.1 知識涵蓋范圍

兩本教材在知識涵蓋范圍上有一個差異，人教A版教材在“6.4平面向量的應用”部分增加了“正弦定理”和“余弦定理”兩節內容；蘇教版則是在本章和三角恒等變換之后獨立成章.人教A版從“方法和功能”的角度，側重平面向量在平面幾何，特別是三角形中的應用；蘇教版從“知識和素養”的角度，突出了單元整體教學.教師在使用蘇教版教材教學過程中，可以針對性地設計主題教學和單元整體教學，持續性、階段性地滲透核心素養的培養.

再者，在2004年出版的蘇教版教材中，并沒有對投影向量進行介紹，只是在課后閱讀材料部分介紹了“向量b在向量a方向上的投影”這一概念.而兩本教材在平面向量的數量積這一節內容中，都對“投影向量”進行了介紹，并從代數與幾何兩個角度進行了闡述，為學生進一步理解向量數量積的幾何意義提供了思考方向，也為解析幾何的教與學作了鋪設.教師在教學過程中要充分發揮教材功能，不僅要加強數學知識內部的聯系與綜合，從向量的角度研究幾何圖形及其關系，也要加強學科之間的聯系，用向量的思維解決物理等跨學科問題，從而使學生從教材走向生活，發展相應的關鍵能力與核心素養.

2.2.2 知識設置順序

從章節具體內容和編排順序來看，蘇教版教材中“向量平行的坐標表示”緊跟“平面向量數量積的坐標表示”，而人教A版教材則將該內容放在“平面向量數量積的坐標表示”之前.筆者認為，蘇教版教材突出的是“方法”主線，強調向量的工具屬性在處理垂直與平行這兩個特殊幾何位置關系中的作用；人教A版突出的是“知識”主線，側重對向量共線定理的幾種不同的解讀.相對于各自的舊版本，兩本教材都做了一處同樣的調整：新教材將向量的運算集中安排，再將向量的坐標表示進行整體研習，不同于以往將向量的運算與向量的數量積分開編排.教師在教學過程中，可利用學生認知層次與結構特征，體現概念的整體與層次的關系，開發學生整合、遷移與發展新知的能力.

2.3 知識處理方式

2.3.1 概念引入

數學概念的引入要講背景［2］.從表1可以看出，兩本教材的引入都側重了向量的物理背景.通過對力、位移、速度等物理量進行抽象，引入了向量的概念.通過對比還可以發現，兩本教材在向量的概念這一節都配了大量的插圖（均為8個），在體悟幾何直觀的同時深刻理解代數運算的科學性，辨析形與數的內在關聯，同時為全章借助物理背景，從幾何、代數兩個角度展開向量內容的研究做出鋪墊，形成了貫穿全章的兩條主線.這樣的設置有助于提升學生數學抽象素養.

2.3.2 例題

從表2可以看出，兩本教材都側重以幾何圖形為背景的例題，同時涵蓋一定數量的物理背景類例題.可見，兩本教材在例題的設置方面注重貫徹課程標準中與現實生活和相關學科聯系的思想，注重在研究幾何圖形位置關系和數量關系中的向量方法，注重在表達問題、解決問題時的向量思維，注重在觀察世界時的向量意識，感悟向量的工具屬性.

從整個單元體系來看，在例題設置過程中，也遵循了學生的認知規律和單元邏輯.具體如圖1所示.

3 幾點思考

3.1 概念引入“情境化”，培養學生數學抽象的核心素養

數學學科核心素養通常是在綜合化、復雜化的情境中，通過個體與情境的有效互動而生成.數學學科核心素養的形成與發展需要在教學活動中利用創設合適的教學情況、運用恰當的教學方式，引導生成符合學情的數學思維來落實.由表1可以發現，兩本教材在概念建構的過程中，均以符合學生生活經驗的案例為引，創設豐富的情境，遵循“具體到抽象”或“特殊到一般”的數學思維，從大量的實際背景中抽象出概念.

以蘇教版教材為例.在“向量的概念”一節中，教材給出如下情境引入：

把木塊放置在光滑的斜面上，根據物理學知識知道，斜面上的木塊受到兩個力的影響：重力G與斜面的支持力N.重力的方向指向地心，支持力的方向與斜面垂直.木塊在重力與支持力的合力作用下，會沿斜面向下運動，其運動的加速度為正，下滑的速度越來越快.木塊滑動后就會產生位置的變化，物理上用“位移”來刻畫這種變化.力、速度、加速度、位移這些量有什么共同特征？

在“向量運算”一節中，教材給出一個相同的情境：

把木塊放置在光滑的斜面上，重力G與斜面的支持力N的合力是一個沿斜面向下的力，因而，木塊向下滑動.如果斜面不光滑，斜面就對木塊產生摩擦力f.這時，木塊的運動狀態就取決于G，N，f的合力.

從運算角度看，求幾個力的合力就可以看作是對幾個向量實施某種運算的結果.換句話說，向量與實數一樣也能進行運算.那么，向量如何進行運算呢？

通過研究還可以發現，在“平面向量基本定理”“向量的數量積”等概念的引入時存在著豐富的物理背景.因此，教師在教學中可以將物理情境作為重要的科學情境貫穿向量教學始終，并不斷深化數學抽象與數學建模素養.

3.2 運算體系“幾何化”，培養學生直觀想象的核心素養

直觀想象具體來說就是借助幾何直觀和空間想象，感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.其本質是將相對復雜、抽象的問題“圖形化”.向量的運算教學時，教師在授課過程中要注重從形和數兩個方面來構建向量的運算體系，特別要注意借助形的角度處理向量的運算，體現運算的“合理性”，逐步培養學生把“有向線段”作為運算基本元的意識.比如：向量線性運算教學時，教師既要講運算法則和運算律的代數表示，也要強化其幾何意義，但其最終結果仍然是向量，讓學生從中得到啟發并給出定義，培養學生直觀想象的素養.

以人教A版教材為例，教材P37出現了這樣一道習題：

設Ox，Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向方向相同的單位向量.若向量OP＝xe1+ye2，則把有序數對（x，y）叫做向量OP在坐標系Oxy中的坐標.設OP＝3e1+2e2.

（1） 計算|OP|的大小；

（2） 根據平面向量基本定理判斷，本題中對向量坐標的規定是否合理.

教師在講評時要注意讓學生體會這樣兩點：一是向量的坐標表示起源于幾何；二是向量幾何雖然可以在直角坐標系的基礎上進行坐標運算，但它并不依賴于直角坐標系，不選用規范化的“基底”，同樣可以以基向量作為“基本元”進行運算.

3.3 知識應用“體系化”，培養學生邏輯推理的核心素養

邏輯推理是數學嚴謹性的基本保證和數學交流活動的基本思維品質.在學習向量之后，要有意識地將其與三角恒等變換、平面解析幾何、復數等內容進行有機聯系，體悟向量在處理三角、幾何、代數等各種不同數學分支問題中的橋梁作用.在梳理主線與板塊知識內在邏輯關系基礎上，整體把握并重構知識結構，避免數學內容的“碎片化”，實現數學認知的“整體性”和“體系化”，提升學生邏輯推理素養.

兩本教科書在編寫習題以及后續學習內容時，都充分注意了這一點.以人教A版教材為例，P37出現了這樣兩道習題：

1. 求證：以A（1，0），B（5，-2），C（8，4），D（4，6）為頂點的四邊形是一個矩形.

2. 用向量方法證明：對于任意的a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

兩道習題都意在突出向量的應用價值.因此人教A版教材把余弦定理和正弦定理放在本節中，在探索三角形邊長與角度之間的關系時突出向量運算及創新思維，彰顯向量應用價值.

縱觀整個章節體系，數學研究方法由幾何直觀法和演繹法，轉變為與代數相聯系的坐標法和向量法，這與幾何學的發展相一致.為后續解析幾何問題的解決提供了方向與支點.

以人教A版中“直線和圓的方程”為例，教材充分發揮了平面向量及其方法在研究幾何圖形性質方面的作用.例如：傾斜角的概念創新性地以直線的方向向量引入；過兩點的直線斜率公式推導借助向量方法以及由具體到抽象、由特殊到一般的思維形式構建直線傾斜角的正切值、直線斜率k及其方向向量（1，k）或（x，y）其中k=yx之間的關系；在“探究與發現‘方向向量與直線的參數方程”中，教科書通過直線的方向向量，建立了直線的參數方程，明確參數方程中參數的意義.

對比教材并思考不同版本教材對核心知識的編排順序、習得情境、例習題選擇以及閱讀材料的選取，結合課改要求與課標理念挖掘編寫組意圖，將有利于一線教師在課堂教學中更好地落實培養學科核心素養的目標.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律［J］.數學通報，2020（12）：4-13.