實施新教材后開展新課程教學的思考

張萍 孫孜

摘 要：蘇教版和人教A版教材在“平面向量”這一章編寫上有諸多不同，文章立足數學課程標準，從編排順序、章首語情境、內容變化、單元小結等角度進行對比分析.面對新教材，教師在實施新課程教學中，應當優化自己的教學，時刻關注學生核心素養的培養.

關鍵詞：數學課程標準；平面向量；人教A版；蘇教版

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《數學課程標準》）在某些教學內容的要求上有了變化，同時與2017年版課標配套的教材也在全國逐步使用.那么在新一輪課程改革的背景下，如何準確把握新教材的教學內容、開展新課程教學呢？筆者以為：在實施具體內容教學之前，首先應當通過學習、研究《數學課程標準》，理解教學內容的地位、價值與目標要求；其次，對新、舊教材進行比較研究，把握新、舊教材的聯系與區別，并在此基礎上，設定教學目標、開展教學設計、確定教學策略，實施課堂教學，這樣才能精準地把握《數學課程標準》要求，達成教學目標.下面以“平面向量”為例，分享開展新課程教學的實踐與思考.

1 研究課標，深刻理解教學內容

在開展教學設計前，首先要學習研究《數學課程標準》，理解教學內容在整個高中數學知識體系中的地位、價值，準確把握相應內容的教學要求，并理解《數學課程標準》關于該內容的教學提示.

《數學課程標準》將高中數學課程內容劃分為如下四條主線——“函數”“幾何與代數”“概率與統計”和“數學建?；顒优c數學探究活動”.“幾何與代數”這一教學主線，起著突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過“形”與“數”的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性理解的作用.“平面向量”作為“幾何與代數”主線的第一個教學內容，體現了向量作為溝通代數與幾何問題的橋梁作用.《數學課程標準》對平面向量內容作了如下闡述：

1.1 平面向量的地位和作用

《數學課程標準》指出：“向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數的研究對象，也是幾何的研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎.在解決實際問題中發揮重要的作用”［1］.

從《數學課程標準》對“平面向量”的地位和作用的論述，可以發現：

（1） 向量具有“數形兼備”的特點，利用向量可以實現“形”與“數”之間的有效溝通.盡管向量是從“數”與“形”兩個不同的角度去表征數學對象，但是它們的表征結果卻是完美統一的.從而讓學生逐步形成辯證思維，學會從不同的角度觀察、分析、解決問題.

（2） 向量具有工具性的價值，是后續學習的工具，對解決實際問題有重要的作用.

1.2 平面向量的教學要求

《數學課程標準》對平面向量內容提出了如下的要求：“本單元的學習，可以幫助學生理解向量的幾何意義與代數意義；掌握平面向量的概念、運算、向量的基本定理以及向量的應用；用向量的語言、方法表述和解決現實生活、數學和物理中的問題”［1］.

1.3 平面向量的教學提示

《數學課程標準》對平面向量內容提出了相應的教學提示：“在平面向量及其應用教學中，應從力、速度、位移等實際情境入手，從物理、幾何、代數三個角度理解向量的概念與運算法則，引導學生運用類比的方法探索實數運算與向量運算的共性與差異，可以通過力的分解引出向量基本定理，建立基的概念和向量的坐標表示，可以引導學生運用向量解決一些物理和幾何問題.例如，利用向量計算力使物體沿某方向運動所作的功，利用向量解決與平面內兩條直線平行或垂直有關的問題等，對于向量的非正交分解只要求學生了解，不必展開”.

教學提示的核心建議老師們關注實際情境，從物理、代數、幾何等角度（并非單一角度）理解向量的概念和法則.這樣有利于學生明白向量源于實際問題，在學習掌握了相應概念和法則之后，又可應用于實際問題.從而，能夠幫助學生更好地理解向量的工具性價值.

2 分析教材，選擇組織教學材料

在進行教材分析時，建議老師們能夠比較、分析不同版本的教材在教學內容的呈現方式的異同，選取、組織教學材料，真正地做到用教材而非教教材.2017年版的人教A版教材和蘇教版教材在平面向量內容的呈現上有如下特點：

2.1 向量在教材中的章節位置不同

蘇教版將“平面向量”這一內容穿插在“三角函數”與“三角恒等變換”之間，為什么這樣安排呢？其目的是引導學生用向量的數量積來推導兩角差的余弦公式及解三角形中的正弦定理和余弦定理，發揮平面向量的工具性價值.

人教A版將“三角恒等變換”這一章并入“三角函數”合為第五章“三角函數”，通過單位圓上兩點間的距離公式證明“兩角差的余弦公式”；把“解三角形”作為“平面向量的應用”并入第六章“平面向量”，利用向量來證明正（余）弦定理.在學習了平面向量后，再通過例題證明“兩角差的余弦公式”.

雖然兩個版本的教材對向量內容設置先后順序有所不同，初次證明“兩角差的余弦公式”也略有區別，但隨著教材內容的推進，都十分重視平面向量的工具性價值.因此，在實施教學的過程中，可以根據所選教材的知識與邏輯順序開展教學，避免過大幅度的內容調整.

2.2 章首語使用的情境內容和連續性不同

人教A版的章首圖通過物理概念的“位移”來引入“向量”概念，而蘇教版是通過物理概念的“力”來引入“向量”概念.無論是“位移”還是“力”，本質上都是“矢量——既有大小又有方向的量”，并在此基礎上抽象為數學的“向量”概念.這兩個版本的教材都遵循了《數學課程標準》的要求，關注到物理學與數學的聯系，利用物理學相關內容為“向量”概念的生成創設合適的情境.

人教A版和蘇教版在章首語的應用上又有所區別：蘇教版將章首語中的“力”貫穿到本章的問題情境中，先由“力”生成“向量”概念，再由“力的合成”生成“向量的運算”，最后由“力做功”生成“向量的數量積”.蘇教版之所以這樣設計，旨在通過章首語的情境，構造一個學習平面向量的大情境，使得本章所學的知識點都圍繞章首語的情境而展開，為實施單元教學做好鋪墊.而人教A版則是從平面向量運算出發，通過類比數的運算，引導學生對向量的運算進行探究，從而建立向量的運算體系.其設計意圖是關注數的本質，即向量既是形，又是數，從“數”“形”兩個方面進行數學運算，符合《數學課程標準》的觀念——“引導學生運用類比的方法探索實數運算與向量運算的共性與差異”.

在進行該部分內容教學時，可以將兩個版本教材的呈現方式加以合理的“組合”：在情境創設上，選用蘇教版的呈現方式；而在向量運算的教學時，可以選用人教A版的呈現方式.

2.3 向量的夾角概念的引入節點不同

蘇教版將“向量的夾角”這一概念從“向量的數量積”中移至第一節課“向量概念”中；而人教A版則出現在“向量的數量積”這一節.蘇教版為什么會做這樣的改變？編寫者的意圖是什么？筆者認為，盡管向量的夾角較多地應用于向量的數量積中，但是在學習共線向量時，往往有不少學生，對“兩個向量夾角為0°或180°時，兩個向量即為共線向量”這一結論的理解存在困難，蘇教版在建立了共線向量概念后，緊接著就給出了向量的夾角的概念，可以幫助學生運用向量的夾角直觀地理解“共線向量、相反向量以及相等向量”等一系列概念.此處向量夾角的概念前移，還合理分散了“向量的數量積”的教學難點.

在教學中，建議采用蘇教版的呈現方式，在第一節課“向量概念”的教學時，就進行“向量的夾角”的教學.

2.4 投影向量的證明方式不同

由于《數學課程標準》對向量的數量積提出了新的要求：“通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影的幾何意義”［1］.蘇教版將“向量的投影以及用投影向量證明向量數量積的分配律”由選修內容變成了正式教學內容.

在建立“投影向量”的概念時，兩個版本的教材都對兩個非零向量a與b的夾角進行了討論（如圖1），不僅畫出了向量a在向量b上的投影向量OA1，還借助于圖形，得到了向量a在向量b上的投影向量這一表達形式OA1＝（|a|cosθ）b｜b｜，隨后對θ＝0，π2，π加以驗證.這樣，從“形”和“數”兩個角度探究投影向量幾何表示與代數表達.

兩個版本的教材在細節上也有所差異：第一，人教A版首先引入了與b向量方向相同的單位向量b|b|這一概念，再結合向量共線定理，探究向量a在向量b上的投影向量OA1的模和符號，這樣的處理更易于學生理解；蘇教版則是將向量a在向量b上的投影向量OA1，直接表示成（|a|cosθ）b|b|，并對b|b|做了邊注b|b|為向量b方向上的單位向量.筆者以為，這樣的處理略顯突兀，可能會導致學生難以理解這一內容.第二，在利用投影向量證明向量數量積的分配律時，蘇教版利用向量加法的三角形法則來加以證明；而人教A版則是利用向量加法的平行四邊形法則，并利用投影向量幾何意義來加以證明.相比較而言，蘇教版呈現出的圖形和證明過程較為簡潔.

在進行上述內容教學時，可以根據學生的實際情況，選取恰當的方式進行教學.

2.5 例題和習題都有變化

人教A版在例題和習題的題型設置上較為豐富，包括畫圖題、選擇題、判斷題和解答題這4種題型，蘇教版有畫圖題、選擇題和解答題這3種題型.兩個版本的教材都將習題難度劃分為三個水平——易、中、難.人教A版分為“復習鞏固、綜合運用、拓廣探索”，蘇教版則分為“感受·理解、思考·運用、探究·拓展”.如前所述，人教A版將“兩角差的余弦公式的證明”作為平面向量數量積應用的例題，體現平面向量的工具性價值；蘇教版在習題中配備了閱讀題，旨在培養學生的閱讀理解和提升學生的自主學習能力.無論是人教A版還是蘇教版，都在例題和習題方面進行了創新，在例題呈現和習題設置上均有變化，讓例題和習題更好地為師生的教學服務.

在選擇例題和習題時，可以依據學生的水平，從不同版本教材中合理選取.

2.6 都關注數學文化的滲透

人教A版和蘇教版在本章的學習內容結束之后都設置了“閱讀”欄目，蘇教版側重于讓學生了解向量發展的歷史，引導學生將平面向量的知識與方法遷移到空間向量，為后續的空間向量學習進行鋪墊；而人教A版則重點介紹了我國古代數學家秦九韶的“三斜求積”公式和古希臘數學家的“海倫公式”，并且啟發學生對兩個公式進行證明.兩個版本教材都體現了數學文化的滲透.

《數學課程標準》指出“數學文化融入課程內容”，“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的共線和意義，以及與數學相關的人文活動”.因此，在教學中，要始終堅持將數學文化與教材內容進行有機融合，實現立德樹人的課程目標.

2.7 單元小結各有特色、新意

蘇教版的“本章回顧”主要用框圖的形式呈現本章知識結構，對本章的學習內容和學習方法進行概括總結；人教A版在本章結束之后，安排了“本章知識結構、回顧與思考”這兩個環節，其中“本章知識結構”以圖表的形式呈現了本章內容及邏輯關系，“回顧與思考”則以問題的形式驅動學生對本章內容進行復習回顧，并進一步感悟其中的思想方法.

在單元復習小結時，可以選用不同版本教材的章末總結，對所學內容進行復習.

3 優化教學，重視培養核心素養

《數學課程標準》提出了“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析”六大核心素養，并且指出“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現”.因此，在新課程教學中，不僅僅要關注“四基”，還應當時刻關注培養學生的核心素養.

3.1 創設情境，培養數學抽象能力

數學抽象是數學學科最重要、最根本的素養，在平面向量的教學中，要積極地創設實際生活或者物理學的問題情境，培養學生的數學抽象能力.例如在建立向量概念時，可以通過分析力、速度、加速度、位移的共同特征（既有大小、又有方向），再比較這些量與距離、身高、路程、質量等量的區別（只有大小，沒有方向），在此基礎上，從物理學和實際問題中抽象出平面向量的概念.

3.2 發展四能，形成數學建模意識

在學習過程中，尤其在新概念建構過程中，不只是得到概念，更重要的，是要發展學生的“四能”，特別是發現和提出問題的能力.

在學習了向量的概念和運算之后，還要設計例題和習題，引導學生利用向量解決物理、幾何以及其它的實際問題，培養學生建模意識和解決實際問題的能力.

3.3 問題驅動，提高邏輯推理水平

提高學生的邏輯推理水平，是數學教學一項極其重要的任務.在教學中，要通過問題來驅動學生的思維，讓學生在分析問題和解決問題的過程中，逐步發展邏輯思能力.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 蘇靜霞，馬紹文.基于“綜合與實踐”活動培養學生發現和提出問題的能力［J］.數學之友，2022，36（1）：16-18.

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