模型思想在小學數學教學中滲透策略的研究

郭勝男

摘 要：在數學教學中滲透模型思想能促使學生更好地理解知識的特點與學習價值，發展抽象思維，提高解題能力，形成創新意識.研究發現，在小學數學教學過程中滲透模型思想可從以下幾方面著手：擇取背景材料，提出問題 ；選擇教學方式，構造關系；回歸現實問題，檢驗結果.

關鍵詞：模型思想；背景材料；檢驗

史寧中教授認為：抽象、推理與模型是促進數學發展的主要思想，其中，抽象為核心，推理是過程，建模則是關鍵［1］.建立數學模型是指用數學語言、圖形或符號等形式對數學事物進行刻畫、反映與描述的過程，反映了特定問題與具體事物的一般關系，是促進學生從數學的角度認識、描述具體事物的基本形式.數學模型的建構需以具體情境或實際問題為依托，在抽象思想的輔助下進行.

1 擇取背景材料，提出問題

問題是數學的心臟，高質量的問題能順利激活學生的認知經驗，激發學生的探索欲，促使學生產生探究行為.同時，問題還能讓學生有針對性地展開由此及彼的思考與聯想，讓學生對相應的數學思想方法理解得更加透徹.基于模型思想滲透的小學數學課堂教學中，該如何引導學生自主發現并提出有質量的問題呢？

鑒于小學生身心發展尚未完全成熟，思維模式以直觀形象思維為主，在數學教學時需教師提供或創設教學背景，以激發學生的主體參與熱情，為提高教學效率奠定基礎［2］.教學背景材料的選擇，需根據知識發生、發展的內在邏輯性來確定，既可源自學生的生活實際，又可進行模擬創設.

案例1：“長方形面積公式”的教學

本節課的教學，教師選擇了“如何測量學校操場面積”為背景材料，要求學生自主選擇測量方式，提出質疑，生成高質量的問題，并嘗試自主解決問題.

討論過程中，有學生根據自身的認知經驗提出：將大量邊長為1m的泡沫地板鋪在操場上，即可獲得相應的面積.這種想法獲得了部分學生的贊同，但也遭到很多學生質疑.

因此，學生產生了如下思考：操場的面積可能與什么有關呢？長方形的面積與什么有關呢？長和寬與面積有關系嗎？該如何確定長方形面積中長與寬的關系呢？

隨著一系列疑惑的形成，學生正式進入探索階段.無需教師的引導，學生就能沿著幾個關鍵問題形成了探索意識，產生了探索行為.當然，在此過程中教師可從多角度發揮引導作用，讓學生的思維逐層深入，提出由淺入深、由表及里的問題.事實證明，結合學情與教情選擇合適的教學背景材料，往往能實現有效激勵，讓學生自主提出高質量的問題，為模型思想的建立奠定基礎.

2 選擇教學方式，構造關系

問題一旦明確，則可選擇合適的模型去分析與解決這些問題.解決問題中的“擬定計劃”環節的精髓在于啟發聯想，學生在逐層深入的聯想過程中，通過合理的數量關系或結構的構造，趨向解決問題.學生在這種教學策略的助攻下，不僅能感受到模型思想對解決問題的作用，還能開發學生的思維，培養學生的創新意識，讓數學教學體現出育人功能.

教學方式的選擇，合理的關系與結構的構造應注意以下幾點：① 對問題本身的理解要深刻.要盡最大可能利用已有的信息來辨別問題中出現的多余信息，發現缺少的條件，為有序、有效地解決問題奠定思維基礎；② 為學生提供充足的探索時間與空間.小學生思維啟動需要一個過程，教師在課堂上應耐心等待，讓學生有更多的機會表現自己；③ 幫助學生提升認知.數學教學的目的在于促進學生思維的發展，讓學生對數學模型有一個清晰的認識，為知識的遷移作準備.

案例2：“長方體表面積與體積”的應用教學

當學生對長方體的表面積與體積計算方法有了一定認識后，筆者帶領學生通過合作學習的方式解決下列生活實際問題：若想用彩紙將8個長是12厘米，寬是4厘米，高也是4厘米的長方體禮品盒包裝在一起，則怎么操作最節約彩紙？

解決這個生活實際問題的本質：求8個大小一樣的小長方體拼接成一個大長方體的面積問題，拼接方法的異同決定了大長方體表面積的不一樣，若想用最少的彩紙進行包裝，則需要探尋到一種表面積最小的拼接方法.

學生一旦明確了問題的核心，思維就有了方向.在此認識的基礎上，學生通過對長方體模型的擺放，借助a×b×c的形式列表記錄各種拼接方法所獲得的表面積.經過多輪嘗試，學生在直觀觀察與表格分析中探尋出合理的拼接方法.在此基礎上，教師可進一步進行啟發式教學.

師：若利用兩個長、寬、高分別為12、4、4的長方體來拼接大長方體，且讓拼得的長方體面積最小，該怎么操作呢？

生1：可拼成一個長、寬、高分別為12、4、8的大長方體.

師：若將兩個長、寬、高分別為12、4、8的長方體拼接成一個大長方體，且讓拼得長方體的面積值最小，則該怎么操作呢？

生2：可以拼成一個長、寬、高分別為12、8、8的大長方體.

師：若將兩個長、寬、高分別為12、8、8的長方體拼接成一個大長方體，且讓拼得長方體的面積值最小，則該怎么操作呢？

生3：可以拼成一個長、寬、高分別為12、8、16的大長方體.

師：請大家合作交流，通過以上幾個問題，能總結出怎樣的結論？

學生討論并獲得結論：想將兩個同樣大小的長方體拼接成一個面積最小的大長方體，只要將兩個小長方體面積最大的部分重疊在一起即可，所獲得的大長方體的表面積中有一個最大的數不會發生變化，另兩個較小的數則變成兩倍.

此探索過程在教師的引導與學生的思考與交流中，根據小長方體長寬高與所拼得的長方體長寬高的數量關系，獲得了一般性的模型，為解決這一類拼接最小面積的問題提供了通性通法，節約了大量的思考與探索時間.

操作與合作交流相結合的教學方式，為長方體表面積與體積的實際應用構造了明確的關系，此過程不僅充分體現了學生在課堂中的主體地位，還凸顯出操作為促進學生思維發展提供了良好的平臺的作用，說明實操對建構數學模型具有重要意義.

3 回歸現實問題，檢驗結論

成功建模后還需將所獲得的模型回歸到現實問題中進行檢驗，即使用實際數據和觀察現象來驗證模型的科學合理性，以及在實際問題中的適用性，此為建模必不可少的環節之一［3］.只有經過檢驗且符合實際的模型，才能應用到實際問題中去.未經驗證的模型只能算得上是一種猜想，無法直接使用.

案例3：“列方程解決問題”的教學

當學生具備了列方程解決簡單的實際問題的能力后，要求學生探索如下問題：

已知有紅黃綠三種顏色的繩子各一根，三根繩子的全長為3.6米，紅繩長度為黃繩長度的3倍，而黃繩長度又是綠繩長度的2倍，求這三種繩子分別有幾米.

巡視過程中，筆者發現有學生呈現出如下解題過程：假設綠繩長度為x米，列式為x×3×2=3.6，解出x=1.2，2x=2.4，3x=3.6，由此可確定綠、黃、紅繩的長度分別為1.2m、2.4m、3.6m.

該結論是否正確呢？還需要通過檢驗來確定.從本題條件出發，三根繩子的總長度為3.6m，而該生所解得的紅繩長度就有3.6m，顯然與題意并不相符.由此也能確定這種解題方法是錯誤的，至于錯誤的原因與解決措施，需進一步探討.

想要解決這一類問題，可從直觀的示意圖出發，通過圖示往往能一目了然地發現三根繩子長度之間存在的數量關系.依然將綠繩的長度設為x，構造出式子x+2x+6x=3.6，由此可獲得結論.

總之，滲透模型思想需經歷漫長的過程.教師不僅要明確模型思想的內涵、教育價值和主要特點等，還要充分了解學生的認知發展規律，只有將兩者有機地融合在一起，才能讓學生體驗到模型思想的本質.

參考文獻：

［1］ 史寧中.數學思想概論（第5輯）——自然界中的數學模型［M］.長春：東北師范大學出版社，2012.

［2］ 張和平，裴昌根，宋乃慶.小學生幾何直觀能力測評模型的構建探究［J］.數學教育學報，2017（5）：49-53.

［3］ M·克萊因.古今數學思想（第四冊）［M］.上海：上海科技出版社，1979.