數學結構化教學探索
——以“圖形與幾何”領域的教學為例

江蘇省鎮江市潤州區教師發展中心 高欣雅

新課標指出，課程目標的確定，立足學生核心素養的發展，集中體現數學課程的育人價值。課程內容的設計，要體現結構化特征，增強內容與育人目標之間的聯系。立足學科育人的數學結構化教學，需要對教學目標、內容、方法等進行重新審視與實施，實現知識結構化、過程結構化以及學生思維的結構化，最終實現數學學科的育人價值。

一、梳理與整合：構建結構化數學知識網絡

數學學科的知識結構是一個完整的、縱橫連接的網狀結構。美國心理學家布魯納對結構的重要性有過論述：一門學科的課程應該決定于對能達到的給那門學科以結構的根本原理的最基本的理解。獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它們連在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。而現行的數學教材根據學生的認識水平和規律，將完整的知識結構拆散、碎片化，以單元的形式進行呈現。學生需要在頭腦中將一課時一課時的學習內容串聯起來，形成自己的數學認知結構。但無疑，這對學生來說是相對困難的，需要教師的有效引導。

（一）單元“結構化”：以“知識聯結”為紐帶

單元是教材的獨立內容篇章。所謂“單元教學‘結構化’”，是指從整體性視角出發，對單元范圍內知識的組成結構和內在關聯進行審視分析，探尋整體和部分的聯系，重新整合教材，按照新的結構體系展開教學實踐。

蘇教版數學四年級下冊“三角形、平行四邊形和梯形”這一單元中的第8課時“平行四邊形的認識”和第9課時“梯形的認識”，這兩個課時的教學內容聯系密切，教學過程基本一致，都是從學生已有知識和經驗出發，選取生活中常見的事物為素材，先引導學生在現實場景中找出平行四邊形和梯形，再通過觀察、操作、比較、抽象等一系列活動認識平行四邊形和梯形的特征。但這樣的課時教學并不能凸顯概念間的聯系與區別，不利于學生對圖形特征進行整體感知。因此，教學這兩個課時時，教師可以嘗試進行整合。在授課的開始環節，教師可以為學生提供形狀、大小不一樣的若干個四邊形（包括正方形、長方形、平行四邊形、梯形及不規則四邊形），引導學生進行觀察、辨析，將這些四邊形進行分類，在比較和分類中整體感知圖形的特征。接著，回憶之前研究長方形和正方形特征的一般方法，教師可以組織學生從邊和角兩方面繼續研究平行四邊形和梯形，并探究它們的相同點和不同點，使學生在交流、操作中抽象概括出圖形的特征。最后，在概念理解的基礎上，學生自己畫出兩種圖形，并對不同作品進行比較、辨析，更深層次地把握圖形的特征。

這樣深入知識內部，以“知識關聯”為紐帶，從整體把握數學知識，使學生的學習認識從“碎”到“整”、由“表”及“里”，從而形成結構化的知識。

（二）模塊“結構化”，以“多元化整合”為載體

模塊是在若干單元基礎上形成的獨立知識系統。模塊的結構化教學與單元的結構化教學的不同之處在于，前者需要對整套教材進行全面分析，根據知識關聯度及學生認知水平，對單元和課時進行重新規劃，確定新的單元教學內容及目標。

“圖形與幾何”領域的模塊主要有平面圖形的認識、立體圖形的認識、平面圖形的度量、立體圖形的度量、圖形的運動、圖形與位置等內容。

以“平面圖形的認識”這一模塊為例，蘇教版數學教材對這一模塊學習內容的單元設置是螺旋式上升的。這樣的教材編排符合學生的認識心理，減輕了學生的學習負擔，但并不利于學生進行知識間的自主關聯學習。因此，教師需要從結構化視角整體把握，根據知識的內在結構與發展路徑進行多元化整合。比如，在五年級學習“平面圖形的認識”這一模塊的內容后，教師可以給學生布置一個整合性的學習任務：“我們已經學習了這么多的平面圖形，它們之間有怎樣的關系？請你用畫圖的方式表示。”學生可以按照邊的關系將三角形、四邊形進行分類和關聯，以此進一步理解概念的本質及其相互關系，也可以依據面積計算公式的推導思路和轉化方法畫出思維導圖，更深層次體會轉化、幾何變換（圖形的運動）、極限思想等數學思想方法，還可以從面積公式之間的關系展開思考，發掘其本質。

（三）領域“結構化”，以“思想方法”為核心

領域是在若干模塊基礎上形成的獨立知識系統。對于領域的結構化教學，不僅是對所學知識的簡單的結構化，還強調運用數學思想方法，對知識更深入、更全面的結構化，促進學生更深層次地理解知識間的關聯。

“圖形與幾何”領域主要有圖形的認識（包括平面與立體圖形的概念、性質、關系、結構）、圖形的度量（包括角度、長度、面積、體積）等。

以“圖形的認識”這一領域的教學為例，教師不僅僅是教學一個個孤立的概念，而是從整體出發，對平面圖形和立體圖形的概念、性質及其關系進行關聯，包括體與體的關系、面與面的關系、體與面的關系等。例如，教學六年級下冊“圓柱和圓錐的認識”時，教師教給學生的不僅是圓柱和圓錐特征的認識，還要利用圖形的運動體驗立體圖形的形成過程，構建學生的空間意識。教師要引導學生經歷“點動成線→線動成面→面動成體”的過程，使學生在觀察、操作、想象等一系列活動中明確點是形成線的基本要素，線是面的基本構成要素，面是體的基本構成要素，體是由線和面構成的，明晰幾何圖形從一維空間到二維空間再到三維空間的形成過程，更深層次體會平面圖形與立體圖形之間的關系，發展空間觀念。

二、內化與遷移：實現結構化數學學習過程

數學結構化教學不僅是靜態的知識結構化，還是動態的學生學習過程的結構化。學習過程的結構化是指學生在學習過程中所形成的特定程序或步驟。學習過程的結構化主要包含兩方面的內容：一是數學學習方法的結構化；二是知識探究過程的結構化。實現學習過程結構化，學生就能自己在學習中進行有效遷移，完成新知識的建構。

（一）“自主關聯”和“類比”，促學習方法結構化

數學結構化教學總體上主張將學生的自主學習、合作學習、探究學習與教師的有意義講授相結合，達到一種相對平衡的狀態。其中，學生的自主學習與合作探究應為主要學習方式。

結構化教學強調學生新舊知識間的自主關聯，即在遇到新知識時或需要解決的問題時，能夠自主聯想到相關的條件，喚醒既有的認知結構，找出進行運算和推理所需要的前提條件；或者根據給定的條件能夠進行推理和運算，直到解決問題為止。在結構化教學中，教師還要引導學生學會用類比的思想研究問題，找出具有共性的知識點進行對比分析，經歷類比的過程。學生在自主關聯、類比、比較中，實現新舊知識間的轉化，達到舉一反三、觸類旁通的目的，充實原有認知結構，架構新的知識結構，提高思維品質。

例如，在教學“圓的面積”時，教師首先引導學生回憶之前推導平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式的過程，都是通過轉化為學過的圖形來推導，這樣就喚醒了學生的既有認知，啟發了學生繼續用轉化的思想探究圓的面積計算公式。接著，學生動手操作、合作探究、驗證猜想、獲得結論。最后，教師帶領學生回顧本節課的整個探究過程，提煉研究方法和步驟，即找聯系—猜想—驗證—獲得結論，促進學習方法的結構化。

（二）“連續”和“循環”，促探究過程結構化

對于數學結構化教學，課堂中的每一個環節都應具有結構性，每一個小結構之間緊密聯系，構成了整節課的大結構。數學結構化教學至少應包含以下三個大環節。

環節一：追本溯源，建立聯系。美國心理學家奧蘇貝爾倡導建構主義學習思想，他認為學生是否能夠進行有意義的學習取決于兩個條件：一是學生是否愿意將新的學習內容與已有的認知建立聯系；二是已有的認識結構與新的知識內容是否存在內在的聯系。學生學習新知識的過程，實質就是對新知識的順應與同化。因此，教師在設計教學活動時，首先要準確把握學生的學習起點。這里的學習起點，既包含學生的現實經驗起點，也包含學生的邏輯經驗起點，也就是學生已經具備的知識基礎和生活經驗。接著，解讀知識的基本元素，在各元素間進行有機聯結，將原先分散、孤立的知識串聯成一個連續的知識體系，并納入學生原有的認識結構中，形成新的知識網絡和認知結構。最后，在形成新的知識體系和認知結構的基礎上，確立結構化的教學目標。教學目標要體現結構的整體性，重點要關注數學思想方法的滲透和基本活動經驗的積累，要尊重學生的差異性。

環節二：突出關聯，整體架構。在探究過程中，結構化教學強調“整體關聯”。這里的關聯是指知識間的橫向關聯、縱向關聯、文本教材與學生現實生活經驗的關聯、個人經驗之間的關聯等。教師在確立結構化教學目標后，需要站在學科結構和單元主題結構的高度，用結構化的方法對教材內容進行加工和重組，找出知識結構的點、線、面、體，突出知識間相互聯系的主干線，使學生在自主學習、合作探究中豐富知識經驗，形成自己的穩固的知識結構體系。在知識結構化的鑄造過程中，教師還要注重思維和方法的關聯，引導學生采用邏輯推理、數學抽象、建模等數學思想方法，搭建新舊知識間的橋梁，形成結構化的思維和方法。另外，教師在組織課堂活動時，要充分尊重學生的認知結構和思維特點，調動學生多種感官協調運作，促進學生的自主建構。教師只有將知識、思維和活動彼此關聯，使課堂教學各要素之間建立起密切聯系，才能真正實現結構化的教學。

環節三：前連后延，實現循環。這一環節是指對知識的回顧與反思，也包含對知識背景（如數學思想、文化）的滲透和對后續知識的孕伏等。練習的設計，要體現層次性、結構性特點，做到前后連貫、環環相扣，引導學生逐步內化知識，掌握數學學習方法，構建知識模型和方法結構，逐步形成完整的認知結構。總結提升時，教師要引導學生回顧本節課的探究過程和重點知識，根據知識間的內在聯系進行歸類，對學習方法進行提煉，對學習過程（學習的主動性、思維的靈活性和開放性等）進行評價。同時，教師還要注重本課內容的延伸。教師要鼓勵學生質疑，如“根據本節課的學習，你還能提出什么新問題”，在質疑中促延伸。延伸可以是關于新知識的探尋、數學文化的滲透，也可以是方法多樣性的進一步探究等。通過這一環節，學生所形成的新的認識，不僅是知識本身，還包含由知識學習生發的情感和價值體驗，形成一個良性循環系統。在這個循環中，學生應用所學知識去解決問題，對知識進行歸納和整理，對思想方法進行提煉與內化，對數學文化與內涵進行更深入的體會，實現知識的循環、活動的循環和思維的循環。

三、跨越和提升：形成結構化思維品質

“結構化思維”起源于管理學，是指在思考問題時，以事物的結構為思考對象，來引導思維、表達和解決問題的一種思考方法。結構化思維能夠幫助我們形成快速有效地處理信息的思維方式，簡化思考過程，從而提升效率。將結構化思維遷移到數學學習中，可以看成學生解決問題的一種思維方式和思考習慣。數學教學不僅是知識的教學，還是數學思想方法的教學、學生思維的教學。結構化思維幫助學生在面對問題時，從多角度進行思考，用系統性、結構化、整體性思維找出解決問題的方案，進而順利解決問題。結構化思維的培養需要教師用整體化、結構化的思想組織教學活動，引導學生將數學學科的知識結構轉換成完整的認知結構。接下來，筆者以“圖形和幾何”領域的教學為例，分析學生結構化思維培育的有效路徑。

（一）繪制思維導圖，促進學生思維結構化

思維導圖是一種表達發散性思維的圖形思維工具。思維導圖將存在思維聯系的思維觸點連接起來，形成嚴密的、通達的思維網絡，將人們的思維形象化，具有很強的邏輯性和發散性。在數學教學中，教師引導學生自主設計、獨立思考、自主羅列，繪制思維導圖，形成清晰的思維脈絡，有助于學生學科知識內容的自我完善，有助于學生聯想能力和發散性思維的培養、認知結構的整體構建，從而促進學生的思維結構化。思維導圖可以是某一核心概念與其他一些概念相關聯的微型思維導圖，也可以是對一節課教學過程的回顧反思，還可以是一個單元、一個模塊或一個領域的思維導圖。

例如，在“三角形、平行四邊形和梯形”這個單元的教學中，學生可以根據學過的平面圖形繪制出思維導圖。在復習“圖形的測量”這一領域的知識時，教師可以引導學生根據測量的對象（長度、角度、面積、體積）進行分類，回顧所學知識，繪制思維導圖。

（二）培養推理意識，促進學生思維結構化

推理意識主要指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。推理是人們在日常生活中經常使用的一種思維方式，也是數學學習的基本思維方式。推理一般包括歸納、類比、演繹等形式。小學階段重點強調合情推理能力的培養，使學生能夠將新知識和新問題與既有經驗進行關聯，通過歸納、類比，實現知識與方法的正遷移，促進知識結構和方法結構的整體構建，促進學生思維結構化。

例如，在教學“三角形的三邊關系”這一課時，教師引導學生根據要求從四根小棒中任意選擇三根嘗試圍三角形。學生在觀察和交流中初步發現，只有當三根小棒中任意兩根的長度之和小于第三根時，才能圍成三角形，因此提出猜想，圍成的三角形的三根小棒，任意兩邊之和大于第三邊，再通過觀察、實驗、比較等，驗證猜想，得出結論。這一系列活動，發展了學生合情推理的能力。

（三）發展空間觀念，促進學生思維結構化

空間觀念是小學階段核心素養的主要表現之一，主要指對圖形或空間物體的形狀、大小及位置關系的感悟。空間觀念有助于學生理解現實生活中空間物體的形態與結構，是形成空間想象力的經驗基礎。空間觀念的建構，有助于學生感受平面圖形與立體圖形之間的關系，感受幾何圖形從一維空間到二維空間，再到三維空間的形成過程，有助于學生想象思維和抽象能力的提升，是促進學生思維結構化的有效途徑。

例如，在教學 “長方體和正方體的認識”這一課時，在學生通過觀察、操作比較等一系列活動得出長方體特征后，教師進行質疑追問：“長方體每個面都有4個頂點和4條棱，長方體共有6個面，那不是應該有24個頂點和24條棱嗎？”這樣的追問，使學生進一步思考幾何圖形各要素之間的關系，溝通了二維圖形和三維圖形之間的聯系，發展了空間觀念，有效促進了學生思維的結構化。

（四）培育量感，促進學生思維結構化

量感是對事物可測量屬性及其大小關系的直觀感知。建立量感，培養度量意識，有助于學生用定量的方法分析和解決問題，有助于學生用“聯系”的方式看待問題，促進學生深度思考，促進學生思維的結構化。

“周長、面積和體積”是“圖形與幾何”領域的重要學習內容，也是學生學習的難點。這些內容的教學雖然分設在不同年級，但它們的本質屬性相同，其內在結構具有高度的關聯性。復習時，教師需要引導學生從知識建構的整體視角進行關聯，發展結構化思維。教學中，教師要幫助學生在周、面、體中架構結構關系，幫助學生準確把握度量的定義，理解度量的本質。長度（周長）是對一維圖形大小的度量；面積是對二維圖形大小的度量，是指物體表面或圍成的平面圖形的大小；體積是對三維圖形大小的度量，是指物體所占空間的大小，它們的本質都是度量。同時，它們在構成要素上具有內在的邏輯性：一維的長度是二維的面積的構成要素，一維的長度和二維的面積是三維體積的構成要素。教學中，教師還要關注學生對思想方法的整體感知和遷移運用。

數學結構化教學，將教學從點狀向結構化轉變，使學生在整體上感知數學知識的關聯性、系統性、結構性，形成結構化的思想和結構化的解決問題的方法，形成整體性、關聯性的結構化思維，從而真正提高學生的綜合素養，實現學科育人的目標。