微納衛星與非合作翻滾目標對接的模型預測控制

趙 玲，陳丹鶴，廖文和，鄭 侃，劉婷婷

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

0 引 言

航天器交會對接操作是空間在軌服務的關鍵技術之一,可以利用交會對接操作執行大量的空間任務,例如失效航天器在軌維修救援[1]、在軌加注[2]、空間碎片主動清理[3]等。近幾年,人們提出利用微納衛星進行空間碎片清理及衛星延壽等空間任務。通常利用一顆母星攜帶并運送多顆微納子星至目標附近釋放,被釋放的子星與目標進行自主交會對接和同步機動以完成相應的任務。其優點在于能夠在一次任務過程中,實現對多個目標開展多項在軌任務[4]。此外,相比于傳統的大衛星,微納衛星具有價格低廉、生產周期短等顯著優勢。

針對微納衛星與非合作翻滾目標的對接是實現上述任務的基礎,需要控制追蹤星接近目標并最終停靠在相應的對接位置。同時要求追蹤星與目標的對接端口的相對速度為零,相對位置恒定,姿態保持同步。首先,由于目標為失效衛星或空間碎片等可能存在翻滾的非合作目標,其普遍具有的非線性特性大大增加了接近過程的難度。其次,在交會對接的最后階段,為了保證對接的安全性和準確性,必須嚴格考慮實際存在的工程約,包括控制輸入飽和約,追蹤星光學設備視場約,以及為了避免與目標產生碰撞,需要設定安全接近走廊約和接近過程的速度閾值等,在此多約情況下的控制是一個較為復雜的問題。最后,相比與大衛星對接,微納衛星的對接機構尺寸更小,對誤差的容忍范圍更小,同時微納衛星性能較弱,推進系統推力幅值僅為毫牛級別,需要在微納衛星小尺寸及低性能框架下滿足對接精度的要求。因此,微納衛星與非合作翻滾目標的對接是一項具有挑戰性的任務。

針對大型航天器的對接問題,學者進行了大量的研究。首先,針對對接同步控制中動力學建模問題,通常使用C-W方程進行圓軌道相對運動描述[5],在此基礎上,T-H方程將適用范圍拓展到橢圓軌道[6]。航天器的相對姿態通常使用姿態四元數[7]或方向余弦[8]等來描述。但實際上,追蹤航天器與目標間的相對位置和姿態運動是高度非線性和耦合的,文獻[9]利用對偶四元數同時描述航天器姿態和軌道動力學,解決了撓性航天器的一體化控制問題。文獻[10]基于T-H方程以及誤差四元數建立了相對位置和姿態的綜合模型,設計了追蹤航天器的標稱軌跡,采用魯棒自適應控制器完成了對目標的追蹤。在動力學模型建立的基礎上,需要考慮進行安全的抵近對接路徑規劃與控制器設計。文獻[11]采用了自適應高斯偽譜方法來生成最佳軌跡,以確保超近距離飛行任務的安全。文獻[12]研究了平面對接機動的抵近制導問題,提出了基于龐德里亞金最小值原理的最優能量制導方案。文獻[13]利用人工勢函數設計了安全約下的有限時間滑模控制器進行自主對接,有效地避免了追蹤航天器與目標航天器周圍大型固定附件發生碰撞問題。但上述論文僅考慮了規劃過程中的避障問題,忽略了實際工程中其他可能的約。文獻[14]利用一種新型人工勢函數與滑模技術結合的方法解決了路徑約和視場約下的位置跟蹤問題,同時考慮了航天器運動學耦合、未知擾動、運動約和輸入飽和問題。文獻[15]研究了一種基于θ-D的三維非線性最優控制技術,設計了一種閉環控制律。該控制律可以同時減小相對位置和姿態的跟蹤誤差以及柔性結構的振動。文獻[16]中提出了一種魯棒自適應控制器,采用基于范數估計的自適應方法處理目標慣性參數未知引起的動態耦合效應。文獻[17]提出了一種基于特征模型的對接控制方法,克服了對接過程中追蹤航天器配有較大帆板時所產生的撓性問題。另外,滑模控制器[18-19]和自適應模糊控制器[20-21]也被廣泛用于航天器交會對接控制中。文獻[22]中提出了一種基于神經網絡的自適應滑模控制器,將滑模控制與神經網絡逼近相結合,采用徑向基函數(Radial basis function, RBF)神經網絡對系統未知部分進行自適應逼近。然而,多數文獻存在以下不足:1)忽略了追蹤航天器與目標間相對位置與姿態的耦合關系,尤其對于翻滾目標,追蹤航天器的期望位置與姿態間存在聯系,必須進行統一的姿態軌道控制;2)在對追蹤航天器進行規劃控制的過程中,僅考慮避障或視覺系統視場,而沒有對整個對接過程進行完整的約分析。

針對微納衛星的對接任務還未在軌實踐,且很少有論文涉及其控制問題。文獻[23]介紹了美國CPOD任務的主體情況和控制策略,但沒有對其中涉及的技術細節進行描述。文獻[24]提出了一種針對參數不確定的離散線性系統的采樣隨機模型預測控制算法,并在氣浮實驗臺上對該算法進行了驗證。文獻[25]提出了一種用于微納衛星交會對接的基于H∞的魯棒控制器,采用μ-Synthesis方法提高了控制器的魯棒性。文獻[4]提出了一種立方星姿軌跟蹤翻滾目標的并發控制器,利用動量輪系進行立方星姿態調整控制,僅配備單軸推力器做軌道調整。但以上論文均忽略了對接過程中的安全問題及光學設備視場約問題。實際上,對于微納衛星與非合作翻滾目標對接控制問題,不僅需要考慮其位置跟蹤問題,也要考慮與翻滾目標對接端口的姿態同步問題。同時,微納衛星所攜帶的推進設備通常在毫牛級別,需要考慮輸入飽和問題,以及為了保證對接的安全性,應該對安全接近走廊提出約并對接近速度作出一定的限制,以保證危險發生時能夠及時進行“剎車”等操作。另外,需要考慮追蹤星光學設備的視場約,保證導航系統對目標的可見性。

模型預測控制(Model predictive control,MPC)是一種可以用于處理動態系統的高度非線性以及系統約的有效控制方法,其在控制工程領域有著悠久的歷史。MPC策略具有許多優點,如滾動優化、顯式處理約的能力以及適用于求解多變量優化問題,適用于本文提出的非線性約控制問題。在過去幾年中,有部分學者將模型預測方法用于處理近距離對接約問題,文獻[26]基于MPC策略設計了大型非合作航天器對接的位置控制對接器,但其忽略了航天器姿態同步控制問題。文獻[27]設計了基于MPC的大型航天器交會對接的圓形及橢圓軌道的姿軌耦合控制器,但沒有考慮接近目標過程中的路徑約問題。文獻[28]采用跟蹤模型預測控制方法設計了立方星對接控制器,但其目標為相對靜止目標,只考慮追蹤星位置跟蹤問題,沒有考慮翻滾目標對接中的姿態同步問題,其控制器對于空間翻滾目標并不適用。另外,其約考慮并不全面,僅考慮了推力幅值約以及安全接近走廊約。

針對上述問題,本文針對微納衛星與非合作翻滾目標對接控制問題,建立了六自由度姿軌耦合動力學模型,為了實現安全對接,充分考慮對接過程中可能存在的工程實際約,包括輸入飽和約、速度約、追蹤星視場約及安全接近走廊等約,提出了一種基于MPC的魯棒非合作目標對接控制器,實現了微納衛星對接非合作翻滾目標的姿軌一體化控制,為微納衛星與非合作翻滾目標的對接提供了技術方案。

1 系統動力學

本文研究的場景是微納衛星主動與非合作目標自主對接的最后階段。目標是一個翻滾的非合作航天器或空間碎片,存在位置和姿態兩種運動變化。假設可以通過探測獲取追蹤星與目標間的相對位置、相對速度、相對姿態及相對角速度等狀態信息[29-31]。在存在約的情況下,追蹤星從百米距離接近目標。在此超近距離下,目標在視覺相機中較大,不能將目標視為質點。考慮相對姿態與相對軌道動力學間存在耦合效應,本節首先建立六自由度追蹤星與目標間的姿軌耦合相對動力學模型。

1.1 坐標系定義

為了建立追蹤星和目標之間的相對運動模型,定義了下列坐標系,見圖1。

圖1 坐標系定義Fig.1 Coordinate frames

1)地球慣性坐標系Fi:其原點在地心,Xi軸指向春分點,Zi軸垂直于赤道面指向北極,Yi軸由右手定則確定。

2)目標軌道坐標系Fo:其原點在目標質心,Xo軸與目標位置矢量rt重合,由地心指向目標,Yo軸在目標軌道面內與Xo軸垂直,沿目標運動方向為正,Zo軸垂直于軌道平面,與Xo軸、Yo軸構成右手坐標系。

3)體坐標系Ft:OtXtYtZt及Fc:OcXcYcZc:其原點分別位于目標及追蹤星質心,Xk軸、Yk軸、Zk軸(k=t/c)分別與其慣性主軸重合。

1.2 相對軌道動力學模型

追蹤星相對于目標的相對軌道動力學模型在Fo下可以表示為

(1)

式中:rc和rt分別為追蹤星及目標星質心與地心之間的距離;mc表示追蹤星質量;fdc=[fdxfdyfdz]T為在Fo坐標系下的未知有界相對攝動加速度;Fc=[FxFyFz]T為在Fo下的作用在追蹤星上的控制力;其中ρ=[xyz]T表示Fo坐標系中兩者的相對位置;μ表示地球引力參數,取μ=398600.5 km3/s2;θ代表目標的真近點角。假設目標處于近圓軌道,追蹤星與目標間的距離較小,即||ρ||?rt,可以將式(1)線性化,則追蹤星相對于目標質心的運動近似表達為

(2)

式中:

1.3 相對姿態動力學模型

本文采用修正型羅德里格參數(Modified rodr-igues parameters,MRP)描述追蹤星與目標間的相對姿態運動。目標的絕對姿態動力學可以表示為:

(3)

(4)

以慣性坐標系Fi作為參考坐標系,目標的姿態運動學可以表示為

(5)

(6)

式中:Ir∈Rr×r表示一個r維單位矩陣。

同理,將追蹤星姿態動力學和運動學方程描述為

(7)

(8)

式中:Rct為目標體坐標系Ft到追蹤星體坐標系Fc的坐標轉換矩陣,可由σct根據下式得到

(9)

式(8)對時間求導可得

(10)

結合式(3), (5), (7)可得,追蹤星與目標的相對姿態動力學與運動學方程可以表示為

(11)

式(11)中矩陣Td,P,Q分別為

(12)

1.4 六自由度姿軌耦合動力學模型

AX+BU+d

(13)

(14)

2 控制器設計

MPC控制方法可以將最優控制問題轉化為在線數值求解優化問題,能夠大幅降低計算復雜度,并且可以處理各種控制輸入約及狀態量約。因此,本節主要推導系統的狀態空間模型,建立輸入量及狀態量約并設計目標函數,利用MPC方法求解有約的非線性最優控制問題。

2.1 控制目標

控制的最終目標是追蹤星能夠實現對目標的位置追蹤和姿態同步。具體表現為在抵近的過程中,即使目標處于翻滾狀態時,追蹤星對接端口始終保持與目標對接端口對齊,接近目標對接端口并到達指定對接位置。

相對位置控制的目標是保持追蹤星與目標對接軸的視線指向,并最終轉移到與目標對接的位置。在此過程中追蹤星在坐標系Fo下的期望相對位置矢量rd、相對位置誤差er和相對速度誤差ev可以表示為

(15)

由于目標處于不受控的翻滾狀態,因此,對接端口位置實時變化,追蹤星的期望姿態也在實時變化,姿態控制的目的是消除期望端口位置與當前方位的姿態誤差,使得追蹤星沿對接軸方向接近端口,保證追蹤星與目標的姿態同步。

則追蹤星與目標間期望相對姿態為

(16)

2.2 約模型

追蹤星接近目標直至對接的過程中,需要考慮一系列實際的工程約,以保證對接的安全性與穩定性。將約分為兩類,一類為控制量約,主要為控制飽和約;另一類為狀態量約,包括接近目標過程中的速度約、安全接近走廊約、追蹤星視場約等。

(1)控制飽和約

在實際工程中,星載推力器的能力是有限的,尤其是以微納衛星作為載體時,推力器所提供的推力通常只有毫牛級,必須對控制輸入進行限制,具體可將輸入飽和約表述為

(17)

式中:Fmax為星載推力系統能提供的最大力;Tmax為星載推力系統能提供的最大力矩。

(2)速度約

如果要進行超近距離作業,應該考慮速度限制。如果在這個過程中發生了緊急情況,必須在很短的時間內改變預定的交會軌道,從而確保不會發生碰撞。在本文中,速度約描述如下

(18)

ΓX≤Vlim

(19)

式中:

式中:0m×n表示一個m×n維的零矩陣。

(3)安全接近走廊約

追蹤星應遵循安全路徑,以避免在接近過程中與目標或其帆板等可展開附件發生任何意外碰撞。將安全接近走廊定義為以目標對接端口為原點,以對接端口中心軸為軸線的圓錐體。坐標系Fp:OpXpYpZp表示對接裝置安裝坐標系,坐標原點位于對接端口中心,對接裝置安裝在目標-Xp軸上,假設Xp軸與Xt軸重合。實際上,Xp軸與Xt軸不一定重合,只需要將約方程做相應的坐標轉換即可。將安全接近走廊約表述為

-xp 0lt≥||lt||cosβ

(20)

式中:lt表示Ft系下目標對接裝置與追蹤星間的相對位置矢量;xp 0表示Ft系下Xt軸的單位矢量;β表示安全接近走廊旋轉軸最大角度。

式(20)可以表示為

-xp 0Rtor≥||lt||cosβ

(21)

式中:Rto為軌道坐標系Fo到目標體坐標系Ft的坐標轉換矩陣,表示將其記為

ΞX≤hx

(22)

圖2 安全接近走廊約示意圖Fig.2 Illustration of approach corridor constraint

(4)追蹤星視場約

交會對接操作的最后階段很大程度上依賴基于視覺的相對測量,由于星載相機和激光測距儀等光學傳感器的視野有限,因此在接近目標的過程中,要始終保持目標的對接端口在追蹤星所攜帶光學設備的視場中。因此,本文假設視線錐體從追蹤星上突出,要求對接端口始終保持在該視線錐體內以進行基于視覺的測量。本文假設光學設備視線坐標系Fs:OsXsYsZs(如圖3)與坐標系Fc重合,在實際星上任務中,其安裝位置不固定,只需要將約方程從Fs中轉化到Fc系下即可。以矩形圓錐視軸建立約模型,在Fs(Fc)系下將其表示為

圖3 視場約示意圖Fig.3 Illustration of line-of-sight constraints

(23)

(24)

式中:

將式(24)中表示的約從Fc系轉化到Fo系下,其中的變換可以定義為

(25)

則追蹤星視場約可以改寫為

ΛX≤blos

(26)

2.3 MPC控制策略

在MPC控制過程中,每一步都要解決一個約優化問題,在最小化未來跟蹤誤差的加權平均值的同時考慮系統的控制約。因此,MPC的優化目標可以表述如下

Qj(YP(k+j|k)-Yd(k+j))+

(27)

假設在采樣時刻k可以得到系統狀態變量X(k)。其中,Yp(k+j|k),Yd(k+j), ΔU(k+j-1|k)分別表示在k時刻預測的系統在k+j時刻的輸出、期望輸出以及控制輸入的增量。Qj及Rj分別表示狀態量及控制增量的加權因子。Np為預測時域,Nc為控制時域。

引入向量

(28)

系統狀態空間模型可以寫為

(29)

式中:Sx∈R12Np;Yp∈R12Np;Su∈R6Nc,表述為

(30)

式中:“?”用來表示兩個矩陣的克羅內克積[26]。

目標函數式(27)可以改寫為

(31)

將控制輸入約式(17)表示為

(32)

將式(32)記為

WuUp(k)≤wu

(33)

將狀態變量約式(19)、(22)和(26)記為

WxXp(k)≤wx

(34)

MPC策略采用以后退方式解決最優控制問題,該問題基于系統狀態空間模型式(29)、系統約式(33)、(34)及目標函數式(31),表述為

(35)

3 仿真校驗

本節針對兩種不同對接場景,對前述基于MPC的對接控制器進行仿真校驗。第一種是相對較簡單的情況,令追蹤星接近一個非旋轉的目標,在對接過程中僅考慮輸入飽和約,用于驗證控制器的有效性及處理控制飽和約的能力。第二種是較為復雜的情況,當微納衛星與翻滾目標進行對接,考慮對接過程中的輸入飽和約、速度約、追蹤星視場約和安全接近走廊約,用于驗證控制器對翻滾目標對接的有效性以及同時處理多種復雜約的能力。

在實際空間環境中,衛星始終受到空間環境各種攝動力和力矩的作用,包括地球形狀非球形攝動、大氣阻力、太陽光壓等攝動力,以及重力梯度力矩、氣動力矩等空間環境力矩。對追蹤星增加干擾力及力矩,模擬太空真實環境,驗證控制器具有處理外部干擾和模型不確定性的能力。將追蹤星受到的干擾力和力矩描述為如下形式

(36)

3.1 與非旋轉目標對接校驗

在追蹤星與非旋轉目標對接的情況下,無論是相對位置、相對速度、相對姿態角及相對角速度的期望值都是恒定的。追蹤星和目標的物理參數數值以及約參數如表1所示。控制參數選擇為Np=5,Nc=5。為了說明本文所提出控制器的先進性,引入文獻[19]所提出的滑模控制策略(Sliding mode control,SMC)進行比較,設置兩者的物理參數及控制輸入約相同。

表1 非旋轉目標對接仿真主要參數Table 1 Main parameters of the simulation for docking with a non-rotating target

圖4和圖5分別給出了坐標系Fo中追蹤星相對目標的相對位置誤差及相對速度誤差隨時間變化的曲線。圖6和圖7給出了在坐標系Ft中追蹤星相對目標的相對姿態和相對角速度的誤差曲線。從圖中可以看出,在存在相同初始誤差,且執行機構所提供的力及力矩存在同等幅值約情況下,MPC控制器可以實現在200 s內到達期望對接位置,在50 s之內實現與目標的姿態同步,跟蹤位置誤差在1×10-3m之內,速度誤差在1×10-4m/s之內,姿態同步誤差在2×10-3之內,角速度誤差在6×10-5rad/s之內。相比之下,SMC控制器達到目標的時間更長,精度更差,并且滑模控制方法會存在抖振問題,需要通過引入干擾觀測器或改變趨近律等方法消除抖振。另外,由圖4可以觀察到,采用MPC控制器不會產生超調問題,而SMC控制器則存在超調現象,在工程實踐過程中可能會導致追蹤星與目標發生碰撞。MPC控制方法下的控制輸入信號隨時間變化曲線如圖8所示,可以看到控制輸入總是在預定的邊界內,這表示控制策略具有處理控制飽和約的能力。因此,可以得出結論,所開發的MPC控制器能夠實現對期望位置的有效停靠和對目標姿態的同步追蹤,并且相比于一般的SMC控制器具有更好的性能。

圖4 位置誤差隨時間變化曲線Fig.4 Time response of the relative position error

圖5 速度誤差隨時間變化曲線Fig.5 Time response of the relative velocity error

圖6 相對姿態誤差在追蹤星體坐標系下隨時間變化的曲線Fig.6 The relative attitude error in the chaser spacecraft body frame

圖7 相對角速度誤差在追蹤星體坐標系下隨時間變化的曲線Fig.7 The relative angular velocity error in the chaser spacecraft body frame

圖8 MPC方法下控制輸入隨時間變化的曲線Fig.8 Time response of control input under MPC

3.2 在多約情況下與翻滾目標對接校驗

在此場景下,令追蹤星追蹤一個動態翻滾目標,該目標存在一定的初始角速度并受到一定的干擾力矩(物理參數如表2所示)影響。在此情況下,期望位置、相對速度、相對姿態及相對角速度均為時變量。追蹤星和目標的物理參數數值以及約參數如表2所示。另外,半長軸、追蹤星質量,兩者的轉動慣量及目標對接軸參數與3.1小節相同。控制參數選擇為Np=5,Nc=5。

表2 翻滾目標對接仿真主要參數Table 2 Main parameters of the simulation for docking with a tumbling target

仿真結果如圖9～13所示。圖9～11分別給出了追蹤星實際狀態量與期望狀態量隨時間變化的曲線,分別為相對位置、相對速度、相對姿態變化情況。從圖中可以注意到,盡管在目標翻滾情況下,控制器依舊在300 s內到達期望對接位置,100 s內實現對目標的姿態同步,之后保持對目標姿態的追蹤。位置跟蹤誤差在0.04 m之內,速度誤差在2×10-3m/s之內,姿態同步誤差在5×10-3之內,角速度誤差在6×10-3rad/s之內。

另外,可以從圖5中觀察到,在與相對靜止目標對接時,追蹤星y向速度分量達到了0.7 m/s。在實際對接操作過程中,應該盡量保持速度在一個較小的范圍,這樣可以保證緊急情況下有足夠的時間對衛星進行相應的調整。從圖10可以觀察到,在增加速度增量約后,y向速度分量始終在約量0.5 m/s之內,可以認為所設計的控制律能夠有效地處理速度約。從圖9可以觀察到追蹤星與目標對接軸之間的相對距離始終大于預定的邊界距離,以及在圖12中,接近目標對接軸的角度始終保持在邊界值60°以下,滿足安全接近走廊約。因此可以認為所設計的控制律能滿足避碰需求。在圖13中可以觀察到目標在追蹤星視線坐標系下的相對路徑始終在追蹤星光學設備的視場約之內,保證了追蹤星對目標的持續可觀性。

圖9 相對位置隨時間變化曲線Fig.9 Time response of the relative position

圖10 相對速度誤差隨時間變化曲線Fig.10 Time response of the relative velocity error

圖11 相對姿態誤差在追蹤星體坐標系下隨時間變化曲線Fig.11 Time response of the relative attitude error in frame Fc

圖12 與目標對接軸夾角隨時間變化的曲線Fig.12 Time response of the approach angle

圖13 三維對接軌跡圖Fig.13 3D docking trajectory diagram

4 結 論

本文針對微納衛星與非合作翻滾目標交會對接過程中的控制問題,面向位置跟蹤與姿態同步過程,結合姿態與軌道動力學耦合關系及MPC控制策略,充分考慮控制輸入飽和約、速度約、追蹤星視場約以及安全接近路徑約等一系列工程實際約,完成了多約下微納衛星與非合作翻滾目標對接器的設計。在此基礎上,針對不同的對接場景,評估所開發MPC控制器的有效性和魯棒性。仿真校驗結果說明本文所設計的MPC控制器能夠有效實現與翻滾目標的位置跟蹤與姿態同步。相比于一般的SMC控制器,本文提出的MPC控制器具有更高的精度,并且無超調現象發生。當目標為翻滾目標時,MPC控制器的位置跟蹤誤差在0.04 m之內,速度誤差在2×10-3m/s之內,姿態同步誤差在5×10-3之內,角速度誤差在6×10-3rad/s之內。另外,其能夠有效保證追蹤星在接近目標過程中同時滿足所提出的系統約,保證了安全和視覺測量要求,并具有處理控制飽和約的能力。同時,控制器可以較好地處理外部擾動引起的不確定性以及非線性動力學形式的模型不確定性,具有較好魯棒性。