GEO混合推力機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤IMM算法

王常虹，張大力，夏紅偉，馬廣程

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

0 引 言

地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星的軌道周期與地球自轉(zhuǎn)周期一致,具有對(duì)地覆蓋區(qū)域廣、星下點(diǎn)軌跡固定等特點(diǎn),在通信、遙感、氣象、數(shù)據(jù)中繼等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用,是極為寶貴的空間資產(chǎn)[1]。然而,隨著在軌空間目標(biāo)數(shù)量的不斷攀升和空間安全形勢(shì)的風(fēng)云變幻,GEO環(huán)境愈加擁擠和復(fù)雜,亟需發(fā)展天基態(tài)勢(shì)感知技術(shù)來(lái)應(yīng)對(duì)潛在的安全風(fēng)險(xiǎn)[2-4]。其中,對(duì)具備機(jī)動(dòng)能力的空間目標(biāo)的穩(wěn)定跟蹤是最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一[5-6]。特別對(duì)于無(wú)法提供有效信息的非合作目標(biāo),由于機(jī)動(dòng)大小和時(shí)間通常先驗(yàn)未知,目標(biāo)速度的突變會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)基于目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)狀態(tài)設(shè)計(jì)的跟蹤算法性能退化甚至發(fā)散,嚴(yán)重時(shí)會(huì)丟失目標(biāo)導(dǎo)致任務(wù)失敗[7]。

為了解決機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了廣泛的研究工作,相關(guān)成果可大致分為單模型方法和多模型方法。單模型方法采用單一模型,研究重點(diǎn)在于濾波器的改進(jìn)。當(dāng)目標(biāo)發(fā)生未知機(jī)動(dòng)時(shí),濾波器估計(jì)值將偏離真實(shí)值,若能提高其對(duì)未知輸入的處理能力使其對(duì)偏差不敏感,那么可避免濾波器發(fā)散[8]。周東華等[9]在擴(kuò)展卡爾曼濾波(Exte-nded Kalman filter, EKF)算法中引入一種漸消因子(也稱衰減因子),利用殘差序列中的有效信息提高對(duì)過(guò)程參數(shù)變動(dòng)的魯棒性,并進(jìn)一步提出一種強(qiáng)跟蹤卡爾曼濾波(Strong tracking Kalman filter, STKF)算法,引入了軟化因子使?fàn)顟B(tài)估計(jì)更加平滑,對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的模型不確定性具有一定的魯棒性[10]。在此基礎(chǔ)上,Jwo等[11]提出一種用于GPS導(dǎo)航處理的自適應(yīng)模糊STKF算法(AFSTKF),采用模糊邏輯實(shí)現(xiàn)了軟化因子的在線調(diào)整,改善了STKF的發(fā)散問(wèn)題。劉玉磊等[12]在Quadrature卡爾曼濾波(QKF)算法中引入漸消因子,并將其用于無(wú)源機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題,以增加計(jì)算量為代價(jià)提高了對(duì)系統(tǒng)突變狀態(tài)的跟蹤能力。Wang等[13]提出了一種用于跟蹤機(jī)動(dòng)目標(biāo)的自適應(yīng)魯棒無(wú)跡卡爾曼濾波(ARUKF)算法,通過(guò)在協(xié)方差預(yù)測(cè)過(guò)程引入基于新息序列正交原理計(jì)算的衰減因子,降低了動(dòng)力學(xué)模型誤差,提高了算法的跟蹤性能。Zhang等[14]在容積卡爾曼濾波(Cuba-ture Kalman filter, CKF)算法的遞歸過(guò)程中引入時(shí)變因子,使濾波增益與量測(cè)值同時(shí)更新,提出了基于強(qiáng)跟蹤方法的CKF算法(STCKF),提高了CKF算法對(duì)狀態(tài)突變的處理能力。Li等[15]通過(guò)引入一個(gè)改進(jìn)先驗(yàn)概率密度函數(shù)來(lái)解決建模不確定性問(wèn)題,并將輔助截?cái)嗔Ｗ訛V波與自適應(yīng)最小二乘法相結(jié)合,用于處理僅測(cè)角機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題,取得了比傳統(tǒng)粒子濾波算法更優(yōu)的性能。Jiang等[16]提出了一種基于歸一化殘差正交性原理的強(qiáng)跟蹤濾波器,提高了算法對(duì)狀態(tài)突變的敏感度,對(duì)于脈沖機(jī)動(dòng)較小的情況比傳統(tǒng)方法有更好的跟蹤性能。

由于空間目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況復(fù)雜,單一模型很難充分描述其狀態(tài)演化,這極大限制了單模型方法的應(yīng)用,因此以交互多模型(Interactive multiple model, IMM)算法為代表的多模型方法受到越來(lái)越多的關(guān)注[17]。IMM算法采用多個(gè)模型來(lái)匹配目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),通過(guò)相應(yīng)的濾波器對(duì)每個(gè)模型獨(dú)立進(jìn)行估計(jì),模型間采用轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行交互,具有很強(qiáng)的適應(yīng)性,且實(shí)現(xiàn)較為方便,得到了較為廣泛的應(yīng)用[18]。Lee等[19]通過(guò)將機(jī)動(dòng)目標(biāo)建模為多模型跳變Markov系統(tǒng),并采用軌道根數(shù)對(duì)每個(gè)模型進(jìn)行描述,實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的跟蹤估計(jì),但受量測(cè)噪聲影響,有一定幾率發(fā)生機(jī)動(dòng)誤檢。進(jìn)一步,Lee等[20]提出一種基于狀態(tài)依賴轉(zhuǎn)移概率的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法,在轉(zhuǎn)移概率計(jì)算中引入了目標(biāo)脈沖機(jī)動(dòng)的發(fā)生條件,因而可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)目標(biāo)機(jī)動(dòng),需要注意的是該方法需要對(duì)目標(biāo)特定機(jī)動(dòng)行為預(yù)先設(shè)置相應(yīng)的跳躍條件。Manish等[21]提出一種概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)方法對(duì)基于狀態(tài)依賴的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行修正,降低了算法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的誤檢率。Goff等[22]針對(duì)非合作機(jī)動(dòng)目標(biāo)地面跟蹤問(wèn)題,提出了一種在檢測(cè)到脈沖機(jī)動(dòng)后進(jìn)行協(xié)方差膨脹的跟蹤方法,膨脹程度通過(guò)IMM算法確定,實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的實(shí)時(shí)跟蹤,獲得了與離線初始軌道確定相近的估計(jì)性能。許登榮等[23]針對(duì)傳統(tǒng)IMM算法在模型集設(shè)計(jì)和轉(zhuǎn)移概率方面的不足,采用強(qiáng)跟蹤修正輸入估計(jì)模型和勻速運(yùn)動(dòng)模型來(lái)構(gòu)建模型集,并通過(guò)模型似然函數(shù)值對(duì)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行實(shí)時(shí)修正,提高了模型切換速度和跟蹤精度。在此基礎(chǔ)上,尹聚祺等[24]提出一種改進(jìn)自適應(yīng)模型轉(zhuǎn)移概率計(jì)算方法,克服了模型似然函數(shù)比在機(jī)動(dòng)時(shí)刻出現(xiàn)奇異的問(wèn)題,并進(jìn)一步在量測(cè)方程中引入速度測(cè)量,提高了跟蹤精度。Ebrahimi等[25]提出了一種基于二階馬爾可夫模型的IMM算法,能夠更精確的描述系統(tǒng)行為,取得了比一階方法更好的跟蹤效果。

以上研究均假設(shè)目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式為脈沖機(jī)動(dòng),對(duì)于有限推力機(jī)動(dòng)的場(chǎng)景,任家棟等[26]提出一種自適應(yīng)變維兩段狀態(tài)估計(jì)法,該方法基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)檢測(cè)信息修正偏差濾波器的觀測(cè)矩陣,以匹配目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度至濾波新息的轉(zhuǎn)移矩陣演變特性,提高了算法的響應(yīng)速度。馬廣富等[27]針對(duì)IMM算法模型集先驗(yàn)信息不準(zhǔn)確影響導(dǎo)航精度的問(wèn)題,引入自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器在實(shí)際模型參數(shù)附近逼近真實(shí)的模型參數(shù),提高了算法的魯棒性和抗干擾能力。Yin等[28]將殘差歸一化強(qiáng)跟蹤算法與當(dāng)前統(tǒng)計(jì)Jerk模型相結(jié)合,提出一種自適應(yīng)估計(jì)方法,解決了傳統(tǒng)方法在目標(biāo)機(jī)動(dòng)的開(kāi)始和結(jié)時(shí)刻估計(jì)精度低和不穩(wěn)定的問(wèn)題,可實(shí)現(xiàn)對(duì)不同機(jī)動(dòng)水平目標(biāo)的有效跟蹤。

隨著技術(shù)的不斷發(fā)展,目前越來(lái)越多的GEO衛(wèi)星配置了混合推進(jìn)系統(tǒng),如俄羅斯的Express通信衛(wèi)星、中國(guó)的“實(shí)踐-20”等[29-30],同時(shí)具備脈沖機(jī)動(dòng)和有限推力機(jī)動(dòng)兩種機(jī)動(dòng)模式,而已有的研究工作多針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式僅為其中一種的場(chǎng)景,對(duì)同時(shí)存在兩種機(jī)動(dòng)模式的情況考慮較少。針對(duì)上述實(shí)際需求,本文研究了一種適用于混合推力機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的自適應(yīng)IMM算法。首先,考慮目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)、脈沖機(jī)動(dòng)和有限推力機(jī)動(dòng)三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài),建立了混合推力機(jī)動(dòng)模式下的交互模型集;然后,針對(duì)IMM算法存在模型間交互概率近似和跟蹤響應(yīng)速度慢的問(wèn)題,提出基于自適應(yīng)模型轉(zhuǎn)移概率的IMM算法;最后,通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)所提算法的性能進(jìn)行校驗(yàn),分析本文所提跟蹤算法的有效性。

1 混合推力機(jī)動(dòng)模型集設(shè)計(jì)

IMM算法的一個(gè)關(guān)鍵步驟是交互模型集的設(shè)計(jì)。一個(gè)理想的模型集應(yīng)能全面覆蓋目標(biāo)實(shí)際可能出現(xiàn)的運(yùn)行狀態(tài),從這一角度出發(fā)模型集的規(guī)模應(yīng)盡可能大。然而,過(guò)大的模型集會(huì)造成模型間的無(wú)效競(jìng)爭(zhēng)以及計(jì)算量的急劇增大,導(dǎo)致算法跟蹤性能下降。因此,為了更加準(zhǔn)確的描述機(jī)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài),且不過(guò)度增加計(jì)算成本,本節(jié)從GEO衛(wèi)星典型的混合推力配置出發(fā),構(gòu)建混合推力下的交互模型集。

1.1 GEO衛(wèi)星機(jī)動(dòng)特性

GEO衛(wèi)星配置的推進(jìn)器從技術(shù)層面大致可分為化學(xué)推進(jìn)和電推進(jìn)兩類。化學(xué)推進(jìn)是目前應(yīng)用最廣泛、技術(shù)最成熟的推進(jìn)方式,具有推力大、響應(yīng)快、沖量控制精度高等特點(diǎn),但比沖低,需要攜帶大量燃料。中國(guó)常見(jiàn)的化學(xué)推進(jìn)器有1 N、5 N、10 N、20 N以及490 N推力器,如東方紅4號(hào)平臺(tái)的推進(jìn)系統(tǒng),由1臺(tái)490 N和14～16臺(tái)10 N化學(xué)推進(jìn)器構(gòu)成。其中,490 N推進(jìn)器用于遠(yuǎn)地點(diǎn)軌道轉(zhuǎn)移,10 N推進(jìn)器用于衛(wèi)星位置保持機(jī)動(dòng)、衛(wèi)星姿態(tài)控制等。電推進(jìn)是近年來(lái)國(guó)內(nèi)外重點(diǎn)發(fā)展的推進(jìn)技術(shù),具有比沖高、能耗低、壽命長(zhǎng)等特點(diǎn),但推力較小,輸出推力幅值通常為毫牛級(jí),遠(yuǎn)小于化學(xué)推進(jìn)器,如“實(shí)踐-20”(東方紅五號(hào)平臺(tái))配置的LIPS-300電推進(jìn)系統(tǒng)有兩個(gè)不同檔位,具備100 mN(高比沖模式)/200 mN(大推力模式)雙模式輸出,比沖可達(dá)到3500 s以上,設(shè)計(jì)壽命超過(guò)20000 h,可滿足高軌衛(wèi)星15年以上壽命需求,任務(wù)能力由南北位置保持單項(xiàng)任務(wù)拓展到變軌、位置保持和動(dòng)量輪卸載等多項(xiàng)任務(wù)。其中,在進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)時(shí)電推進(jìn)器需要以大推力模式工作,在進(jìn)行位置保持機(jī)動(dòng)時(shí)需要以高比沖模式工作。

由于工作原理不同,化學(xué)推進(jìn)和電推進(jìn)呈現(xiàn)出不同的機(jī)動(dòng)特性。以位置保持機(jī)動(dòng)為例,受攝動(dòng)力的影響,GEO衛(wèi)星自由漂飛過(guò)程中會(huì)逐漸偏離定點(diǎn)位置,需定期進(jìn)行東西和南北向機(jī)動(dòng)來(lái)維持軌位,以避免鄰近衛(wèi)星的信號(hào)干擾甚至碰撞,保證自身的安全和工作性能。特別是南北向位置保持,每年需提供約50 m/s的速度增量,差不多是東西向的10倍。采用化學(xué)推進(jìn)時(shí),通常需每?jī)芍茳c(diǎn)火一次,每次持續(xù)數(shù)十分鐘,提供約2 m/s的速度增量,由于與軌道周期相比推力輸出時(shí)間很短,故可視為脈沖機(jī)動(dòng)。而采用電推進(jìn)時(shí),由于推力較小,需要采取一種預(yù)防式的運(yùn)行策略,每天開(kāi)機(jī)數(shù)小時(shí),來(lái)達(dá)到與化學(xué)推進(jìn)相同的效果,此時(shí)脈沖機(jī)動(dòng)假設(shè)便不再適用,通常稱為有限推力或連續(xù)小推力。上述特性在軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)過(guò)程中表現(xiàn)更為明顯。

由于推力大小的不同直接反應(yīng)為加速度的不同,故本文直接以目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度來(lái)表征目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性。考慮GEO衛(wèi)星質(zhì)量通常較大,在2000～5000 kg不等,根據(jù)牛頓第二定律給出目標(biāo)機(jī)動(dòng)類型、特性和相應(yīng)配置,如表1所示。

表1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性Table 1 Target maneuverability

化/電混合推進(jìn)系統(tǒng)將化學(xué)和電推進(jìn)兩種方式結(jié)合,在降低燃料消耗的同時(shí),減少了軌道機(jī)動(dòng)時(shí)間,拓寬了GEO任務(wù)設(shè)計(jì)的可行空間,提高了應(yīng)對(duì)意外情況的能力。相應(yīng)地,其機(jī)動(dòng)特性也更加多樣,可出現(xiàn)表1所示機(jī)動(dòng)類型中的任意形式。

1.2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程

結(jié)合脈沖機(jī)動(dòng)和有限推力機(jī)動(dòng)不同的機(jī)動(dòng)特性對(duì)兩星相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模。衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)通常在軌道坐標(biāo)系中研究,以目標(biāo)星質(zhì)心為原點(diǎn)建立VVLH(vehicle velocity local horizontal)坐標(biāo)系,其中X軸指向目標(biāo)星速度方向,Z軸指向地球質(zhì)心,Y軸滿足右手定則,如圖1所示。

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig.1 Relative motion diagram

由于GEO衛(wèi)星軌道偏心率較小,可視為近圓軌道,且在機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景中兩星相對(duì)距離較近,根據(jù)苛式定律,可得GEO兩星相對(duì)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述,即C-W方程,有

(1)

若不考慮推力作用,式(1)的解可寫為

X1(t)=Φ1(t,t0)X1(t0)+G1W1(t)

(2)

式中:Φ1(t,t0)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;G1為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣,且有

(3)

其中,

Φvr(t,t0)=

式中:τ=t-t0。

式(2)離散化后可得

X1(k+1)=Φ1(k)X1(k)+G1w1(k)

(4)

式(2)給出了目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)時(shí)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程,那么當(dāng)目標(biāo)執(zhí)行脈沖機(jī)動(dòng)時(shí),其狀態(tài)方程為

X2(t)=Φ1(t,t0)X2(t0)+BU(t)+G2w2(t)

(5)

將控制輸入納入到狀態(tài)變量中,相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變?yōu)橛晌恢盟俣纫约凹铀俣冉M成的增廣相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),即X2=[x,y,z,vx,vy,vz,ux,uy,uz]T,那么式(5)可寫為增廣狀態(tài)方程的形式

X2(t)=Φ2(t,t0)X2(t0)+G2W2(t)

(6)

其中,

(7)

對(duì)式(6)離散化后有

X2(k+1)=Φ2(k)X2(k)+G2W2(k)

(8)

式中:U(k)=δt,kU;U=[ux,uy,uz]T為脈沖推力加速度,為克羅內(nèi)克函數(shù),當(dāng)t=k時(shí),δt,k=1,其余時(shí)刻δt,k=0。

類似,當(dāng)目標(biāo)執(zhí)行有限推力機(jī)動(dòng)時(shí),其離散化的增廣狀態(tài)方程可寫為

X3(k+1)=Φ3(k)X3(k)+G3W3(k)

(9)

式中:Φ3與Φ2的區(qū)別在于,有限推力加速度U(k)=U。

式(4)、式(8)、式(9)共同組成了混合推力機(jī)動(dòng)下的交互模型集的狀態(tài)方程。與已有研究?jī)H對(duì)無(wú)機(jī)動(dòng)和脈沖或有限推力機(jī)動(dòng)進(jìn)行建模不同,本文所建立的混合推力機(jī)動(dòng)模型包含了無(wú)機(jī)動(dòng)、脈沖機(jī)動(dòng)和有限推力機(jī)動(dòng)三種狀態(tài),覆蓋了衛(wèi)星可能的機(jī)動(dòng)形式。需要注意的是,模型1的狀態(tài)變量中不包含加速度項(xiàng),使得無(wú)機(jī)動(dòng)情況下相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為6維,而模型2和模型3的狀態(tài)變量均包含加速度項(xiàng),模型規(guī)模增加到9維。

1.3 相對(duì)運(yùn)動(dòng)量測(cè)方程

追蹤星利用自身攜帶的雷達(dá)設(shè)備實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)星的狀態(tài)測(cè)量,量測(cè)量為相對(duì)距離ρ、俯仰角α和偏航角β,可建立天基量測(cè)方程為

Z(t)=h(X)+v(X)

(10)

式中:v為量測(cè)噪聲,且有

(11)

對(duì)于無(wú)機(jī)動(dòng)情況,量測(cè)方程的雅克比矩陣為

(12)

式中各元素為

H2,3=[H1,03×3]

(13)

2 IMM算法原理及其改進(jìn)

2.1 IMM算法步驟

標(biāo)準(zhǔn)IMM算法包含模型輸入交互、模型估計(jì)、模型交互概率更新、狀態(tài)綜合輸出4個(gè)模塊。由于模型集中有三個(gè)模型,故濾波器采用三個(gè)EKF濾波器,記為EKFi(i=1,2,3)。下面以k-1(k=1,2,…,n)時(shí)刻到k時(shí)刻的算法運(yùn)行過(guò)程為例給出IMM算法的步驟。

1)模型輸入交互

(14)

式中:mi|j(k-1)為k-1時(shí)刻從模型i到模型j的預(yù)測(cè)模型交互概率;mi(k-1)為k-1時(shí)刻模型i的發(fā)生概率;γij表示從模型i到模型j模型交互概率,且有

(15)

2)模型估計(jì)

首先得到狀態(tài)和誤差協(xié)方差一步預(yù)測(cè),

(16)

接著計(jì)算新息和新息協(xié)方差,

(17)

然后計(jì)算濾波增益和狀態(tài)估計(jì)及協(xié)方差值,

(18)

3)模型交互概率更新

假設(shè)模型j的新息vj(k)服從高斯分布,那么新息似然函數(shù)Λj(k)和模型發(fā)生概率mj(k)的更新公式為

(19)

(20)

4)狀態(tài)綜合輸出

(21)

2.2 IMM算法模型交互概率分析

在面向GEO衛(wèi)星的跟蹤任務(wù)中,如果目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力弱、機(jī)動(dòng)范圍小,比如進(jìn)行有限推力機(jī)動(dòng)時(shí),那么可采用區(qū)分較小的模型集設(shè)計(jì)方法,以便獲得更好的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能,此時(shí)量測(cè)噪聲通常遠(yuǎn)大于過(guò)程噪聲,那么在估計(jì)過(guò)程中,過(guò)程噪聲所包含的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性完全被量測(cè)噪聲所覆蓋,使得新息噪聲特性僅由后者決定。根據(jù)式(17)可得如下關(guān)系

(22)

使得各模型新息似然函數(shù)取值近似相等,有

Λ1(k)≈Λ2(k)≈Λ3(k)?m1(k)≈

m2(k)≈m2(k)≈1/3

(23)

在這種情況下,各子模型的交互概率趨于一致,導(dǎo)致跟蹤結(jié)果實(shí)際上是對(duì)各模型估計(jì)結(jié)果取平均,這與IMM算法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的初衷背道而馳。

2.3 自適應(yīng)模型交互概率設(shè)計(jì)

針對(duì)上述問(wèn)題,本文對(duì)模型概率計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn),使得在目標(biāo)處于無(wú)機(jī)動(dòng)狀態(tài)時(shí),模型1的概率提高,在目標(biāo)處于機(jī)動(dòng)狀態(tài)時(shí),模型2或3的概率提高。

可定義函數(shù)

(24)

顯然,當(dāng)目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)時(shí),λi(k)約為1,當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí),λi(k)為小于1的一個(gè)較小值,且目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度越大,λi(k)的數(shù)值衰減越快。根據(jù)這一規(guī)律,采用縮放變換的思想設(shè)計(jì)自適應(yīng)修正函數(shù)κ,有

κi(k)=r1r2(1-λi(k))

(25)

式中:r1,r2為調(diào)節(jié)參數(shù),用于調(diào)整修正函數(shù)κ的調(diào)節(jié)速度。

對(duì)于式(25),當(dāng)目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)時(shí),κi(k)為1,當(dāng)目標(biāo)執(zhí)行機(jī)動(dòng)時(shí),κi(k)的值應(yīng)迅速增大,根據(jù)調(diào)試經(jīng)驗(yàn),可取r1=10,r2=6。

修正后的模型概率更新公式為:

(26)

改進(jìn)后的算法應(yīng)更能貼合目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性的變化。結(jié)合表1中給出的GEO衛(wèi)星典型機(jī)動(dòng)特性,可以做出如下判斷:若加速度估計(jì)狀態(tài)小于0.00005 m/s2,可認(rèn)為目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)或者微小機(jī)動(dòng),此時(shí)應(yīng)提高模型1所占比重,最終的估計(jì)結(jié)果接近模型1;若加速度估計(jì)狀態(tài)大于0.00005 m/s2而小于0.002 m/s2,此時(shí)要提高模型3所占比重;若加速度估計(jì)狀態(tài)大于0.002 m/s2,可認(rèn)為目標(biāo)機(jī)動(dòng)較為劇烈,應(yīng)以模型2為主,最終的估計(jì)結(jié)果接近模型2。

3 仿真校驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性,采用GEO衛(wèi)星位置保持和軌道轉(zhuǎn)移兩種典型的機(jī)動(dòng)工況進(jìn)行仿真,并進(jìn)行性能比較。

假設(shè)追蹤星運(yùn)行在GEO上,采用雷達(dá)對(duì)目標(biāo)星進(jìn)行測(cè)量,實(shí)時(shí)獲得目標(biāo)的相對(duì)距離、俯仰角和偏航角參數(shù),量測(cè)噪聲根據(jù)某實(shí)際系統(tǒng)取為[(0.0005ρ)2m2, (0.01/57.3)2rad2, (0.01/57.3)2rad2],兩星初始相對(duì)距離為20 km,初始相對(duì)狀態(tài)為[20 km,0,0,0,0.1 m/s,0.1 m/s]T,初始過(guò)程噪聲矩陣為diag(10-4,10-4,10-4,10-8,10-8,10-8),初始模型交互矩陣對(duì)角線元素分別為0.9,0.05,0.05。

目標(biāo)星在自由漂飛一段時(shí)間后執(zhí)行未知機(jī)動(dòng)。需要指出的是,在通常情況下,脈沖推力機(jī)動(dòng)在前,有限推力機(jī)動(dòng)在后,這是因?yàn)槿粝冗M(jìn)行有限推力機(jī)動(dòng)后再進(jìn)行脈沖推力機(jī)動(dòng)可能會(huì)對(duì)衛(wèi)星造成瞬時(shí)沖擊影響,嚴(yán)重時(shí)甚至對(duì)太陽(yáng)翼帶來(lái)?yè)p傷。

1)工況一:假設(shè)追蹤星與目標(biāo)星均處于自由漂飛狀態(tài);無(wú)控運(yùn)行4000 s后,目標(biāo)星執(zhí)行南北向的位置保持控制,首先啟動(dòng)化學(xué)推進(jìn)器,徑向推力大小為10 N,控制加速度為0.002 m/s2,執(zhí)行時(shí)間持續(xù)500 s后停止,在6000 s啟動(dòng)電推進(jìn)器,徑向推力大小為100 mN,控制加速度為0.00005 m/s2,持續(xù)運(yùn)行至20000 s,具體如圖2所示。

圖2 目標(biāo)位置保持控制標(biāo)稱推力加速度Fig.2 Target position holding control nominal thrust acceleration

分別采用“經(jīng)典IMM算法”“經(jīng)典IMM+混合模型算法”“混合模型+自適應(yīng)模型交互概率算法”(本文)進(jìn)行機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤估計(jì),如圖3所示。

圖3 目標(biāo)位置保持控制加速度估計(jì)性能比較Fig.3 Comparison of target position holding control acceleration estimation performance

由圖3可以看出,在目標(biāo)進(jìn)行脈沖機(jī)動(dòng)時(shí),三種方法均能夠?qū)ζ溥M(jìn)行跟蹤,但跟蹤性能有明顯區(qū)別。脈沖機(jī)動(dòng)部分的跟蹤曲線如圖4所示。

圖4 工況一目標(biāo)脈沖機(jī)動(dòng)跟蹤性能對(duì)比Fig.4 Target pulse maneuver tracking performance comparison of Scenario 1

“經(jīng)典IMM”算法跟蹤過(guò)渡時(shí)間長(zhǎng),持續(xù)約300 s,且濾波峰值較大,在需要較短時(shí)間的脈沖機(jī)動(dòng)跟蹤情況下很難得到準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。引入混合模型后,收斂速度和收斂精度有了明顯的改善,經(jīng)過(guò)約200 s后即可較為穩(wěn)定的估計(jì)出目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度。

圖3有限推力機(jī)動(dòng)跟蹤部分如圖5所示。由圖5可以看出,對(duì)于有限推力機(jī)動(dòng)跟蹤,經(jīng)典IMM方法完全失效。在增加了混合模型后,估計(jì)效果有了明顯改善,但依然無(wú)法穩(wěn)定收斂到標(biāo)稱加速度。本節(jié)所提“混合模型+自適應(yīng)模型交互概率算法”具有最好的跟蹤性能,能夠快速準(zhǔn)確地估計(jì)出目標(biāo)有限推力加速度,且跟蹤精度較高。

圖5 工況一目標(biāo)有限推力機(jī)動(dòng)跟蹤性能對(duì)比Fig.5 Target limited thrust maneuver tracking performance comparison of Scenario 1

再進(jìn)一步,給出位置和速度誤差仿真曲線,如圖6和圖7所示。

圖6 工況一位置誤差曲線Fig.6 Position error of Scenario 1

可以看出,三種方法中本節(jié)所提算法具有最好的位置和速度估計(jì)性能。實(shí)際上,目標(biāo)執(zhí)行位置保持控制期間,脈沖和有限推力加速度均比較小,位置和速度的變化較慢,相應(yīng)的過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲也較小,因此在誤差量級(jí)上沒(méi)有特別巨大的差距。經(jīng)典IMM算法在整個(gè)跟蹤過(guò)程中對(duì)所有模型平均分配,在脈沖機(jī)動(dòng)期間具有一定的跟蹤能力,但無(wú)法匹配有限推力機(jī)動(dòng)情況,使得在目標(biāo)執(zhí)行有限推力機(jī)動(dòng)時(shí)跟蹤失效。在引入了混合模型后,雖然改善了脈沖機(jī)動(dòng)的估計(jì)效果,但在目標(biāo)執(zhí)行有限推力機(jī)動(dòng)時(shí)沒(méi)有能夠切換至對(duì)應(yīng)的模型,在無(wú)機(jī)動(dòng)模型和有限推力模型間取了折衷,跟蹤效果依然不理想。而本文所提算法能夠在目標(biāo)執(zhí)行機(jī)動(dòng)后迅速切換至匹配模型,說(shuō)明了改進(jìn)設(shè)計(jì)的有效性。

2)工況二:假設(shè)追蹤星與目標(biāo)星自由漂浮運(yùn)行4000 s后,目標(biāo)星執(zhí)行軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng),首先啟動(dòng)化學(xué)推進(jìn)器,徑向推力大小為490 N,控制加速度為0.245 m/s2,執(zhí)行時(shí)間持續(xù)500 s后停止,在6000 s啟動(dòng)電推進(jìn)器,徑向推力大小為200 mN,輸出加速度為0.0001 m/s2,持續(xù)運(yùn)行至20000 s(實(shí)際要比這個(gè)時(shí)間長(zhǎng)得多),具體有:

分別采用“經(jīng)典IMM算法”“經(jīng)典IMM+混合模型算法”“混合模型+自適應(yīng)模型交互概率算法”進(jìn)行機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤,有

由圖9可以看出,在目標(biāo)執(zhí)行脈沖機(jī)動(dòng)時(shí),三種方法均能夠?qū)ζ溥M(jìn)行跟蹤。脈沖機(jī)動(dòng)部分的跟蹤曲線如圖10所示。

圖10 工況二目標(biāo)脈沖機(jī)動(dòng)跟蹤性能對(duì)比Fig.10 Comparison of target pulse maneuvering tracking performance of Scenario 2

在軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)條件下,三種算法的過(guò)渡時(shí)間均小于工況一。經(jīng)典IMM算法的在目標(biāo)機(jī)動(dòng)期間并未完全收斂,很難得到準(zhǔn)確的估計(jì)結(jié)果。其余兩種結(jié)果在收斂精度和收斂速度方面均有較好表現(xiàn)。

圖8有限推力機(jī)動(dòng)部分如圖11所示。

圖8 目標(biāo)軌道轉(zhuǎn)移控制標(biāo)稱推力加速度Fig.8 Target orbit transfer control nominal thrust acceleration

圖11 工況二目標(biāo)有限推力機(jī)動(dòng)跟蹤性能對(duì)比Fig.11 Comparison of target limited thrust maneuvering tracking performance of Scenario 2

可以看出,與工況一相同,對(duì)于工況二目標(biāo)軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)條件下的有限推力機(jī)動(dòng)跟蹤,經(jīng)典IMM方法完全失效。在增加了混合模型后,估計(jì)效果有較為明顯改善,但依然無(wú)法穩(wěn)定收斂。本文所提“混合模型+自適應(yīng)模型交互概率算法”跟蹤性能最好,在收斂速度和精度方面均有較好表現(xiàn)。

進(jìn)一步地,給出位置和速度誤差仿真曲線,如圖12所示。

圖12 工況二位置估計(jì)誤差曲線Fig.12 Position estimation error of Scenario 2

由圖12和圖13可以看出,在三種方法的比對(duì)中,本文所提算法具有最好的位置和速度估計(jì)性能。由于軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)期間,脈沖和有限推力加速度與工況一相比均比較大,位置和速度的變化較快,因此估計(jì)誤差明顯比工況一要大。

圖13 工況二速度估計(jì)誤差曲線Fig.13 Velocity estimation error of Scenario 2

與工況一類似,在引入了混合模型后,對(duì)脈沖機(jī)動(dòng)的跟蹤估計(jì)效果得到改善,但在目標(biāo)執(zhí)行有限推力機(jī)動(dòng)時(shí)無(wú)法有效切換至對(duì)應(yīng)的模型,跟蹤效果依然不理想。本文所提算法在目標(biāo)執(zhí)行脈沖機(jī)動(dòng)時(shí),能夠迅速切換至脈沖機(jī)動(dòng)模型,并在后續(xù)執(zhí)行有限推力機(jī)動(dòng)時(shí),能夠及時(shí)切換,保證了跟蹤速度和精度。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)配置了混合推進(jìn)系統(tǒng)的GEO機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題,從交互模型集構(gòu)建和模型交會(huì)概率設(shè)計(jì)兩個(gè)方面出發(fā),提出了基于改進(jìn)IMM算法的GEO混合推力機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法。首先,針對(duì)混合推進(jìn)機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型較難匹配的問(wèn)題,給出了GEO目標(biāo)典型機(jī)動(dòng)特性,分別建立了無(wú)機(jī)動(dòng)、脈沖機(jī)動(dòng)和有限推力機(jī)動(dòng)三種情況下的狀態(tài)方程,覆蓋了GEO衛(wèi)星典型機(jī)動(dòng)特性,構(gòu)建了較為完善的交互模型集;其次,給出了IMM算法的基本步驟,針對(duì)IMM算法存在模型間交互概率近似的問(wèn)題,提出一種基于加速度估計(jì)自適應(yīng)修正的模型交互概率修正方法,增強(qiáng)了匹配模型的作用,充分發(fā)揮了模型交互的優(yōu)勢(shì);面向目標(biāo)進(jìn)行位置保持機(jī)動(dòng)和軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)的算例分析表明,本文所提算法是解決混合推力模式下的GEO機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問(wèn)題的有效手段,在收斂速度和收斂精度等方面與傳統(tǒng)方法相比有較大提高。根據(jù)對(duì)目標(biāo)未知機(jī)動(dòng)的估計(jì)結(jié)果,能夠反推出目標(biāo)執(zhí)行機(jī)動(dòng)的目的,為我方衛(wèi)星的下一步動(dòng)作提供參考。