拋物線中平行四邊形存在性問題探究

毛麗麗

拋物線背景下的平行四邊形存在性問題是中考的熱點，常見的考查類型有兩種：一是已知平行四邊形的三個頂點，求解第四個頂點，即“三定一動”型；二是已知平行四邊形的兩個頂點，求解其余兩個頂點，即“兩定兩動”型.下面與同學們探究此類問題的解題策略.

考點提煉

考點1：“三定一動”型

例1 平面直角坐標系中，點A，B，C是不在同一直線上的三點，點D是坐標平面內一點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，請求出點D的坐標.

解題思路：分類—畫圖—計算

易錯點：不會畫圖，或者畫圖不全面，或者計算復雜，導致漏解錯解.

解題要點：（1）分類：①以AB，BC為邊（或以AC為對角線）；②以AC，BC為邊（或以AB為對角線）；③以AB，AC為邊（或以BC為對角線）.

（2）畫圖：

方法1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，據此作平行線即可得平行四邊形.

如圖1，連接AB，BC，AC，分別過點A，B，C作其對邊的平行線，三條直線的交點為D1，D2，D3，則四邊形ABCD1，ACBD2，ABD3C均為平行四邊形．

方法2：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，據此倍長中線即可得平行四邊形.

如圖2，延長AC，AB，BC邊上的中線，使延長部分與中線相等，得到點D1，D2，D3，連接D1D2，D1D3，D2D3. 則四邊形ABCD1，ACBD2，ABD3C均為平行四邊形．

（2）計算：以求解D1為例，設A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D1（xD1，yD1）.

方法1：如圖3，過點A，D1分別作y軸的平行線，過點B，C分別作x軸的平行線，交點分別為E，F. 由AB[?]CD1，AB = CD1得△ABE ≌ △D1CF，∴CF = BE，D1F = AE，即xD1 - xC = xA - xB，yD1 - yC = yA - yB.由此可求得D1的坐標為（xA + xC - xB，yA + yC - yB）.

方法2：如圖4，設點M為AC，BD1中點，由中點坐標公式得，[xA+xC2=xM=xB+xD12]，[yA+yC2=yM=yB+yD12]（若對中點坐標公式不熟悉，可結合圖5理解），由此可求得D1的坐標為（xA + xC - xB，yA + yC - yB）.

綜上，無論利用平行四邊形何種判斷方法畫圖，都可得到平行四邊形四個頂點坐標之間的關系，從而求得第四個頂點的坐標.

其實，在“三定一動”型題目中，我們還常見到一種簡單情況，如已知A，B，C三個定點，在坐標平面內尋找點D，使得四邊形ABCD為平行四邊形，此種題目為確定問題，無須再分類，為上述考點分類中的一種情況.

考點2：“兩定兩動”型

例2 如圖6，平面直角坐標系中，點A，B是兩個定點，點C為某直線上一個動點，點D是某拋物線上一個動點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，請求出點C，D的坐標.

解題思路：分類—畫圖—計算.

易錯點：不會畫圖，畫圖不全面，或者計算復雜，導致漏解錯解.

解題要點：（1）分類：①以AB為邊；②以AB為對角線.

（2）畫圖：可先將直線上點C位置確定，再尋找滿足條件的點D.當以AB為邊時，利用與AB平行且相等畫CD，得到以A，B，C，D為頂點的平行四邊形；當以AB為對角線時，取AB中點M，利用DM = CM，畫出點D，得到以A，B，C，D為頂點的平行四邊形.

（3）計算：從上述畫圖過程可知，將“兩定兩動”型轉化為“三定一動”型，進而借助考點1的計算方法即可求點D的坐標.

真題精講

例3 （2022·遼寧·阜新）已知二次函數[y=-x2+bx+c]的圖象交x軸于點A（ - 1，0），B（5，0），交y軸于點C．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）已知P是拋物線上一點，在直線BC上是否存在點Q，使以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

解析：（1）用待定系數法求得二次函數表達式為[y=-x2+4x+5].

（2）由（1）得點C的坐標為（0，5），直線BC的表達式為：[y=-x+5].借助考點2的解題思路和要點分析問題.

根據兩動點所滿足的函數關系，設點P的坐標為（[m]，[-m2+4m+5]），點Q的坐標為（[n]，[-n+5]）.

如圖7，以AC為邊，探究點Q在線段BC上，畫圖得平行四邊形AQ1P1C.

則有[-1+m=0+n，0+（-m2+4m+5）=5+（-n+5） ，]解得[m1=2，n1=1，][m2=3，n2=2.]

如圖8，以AC為邊，探究點Q在線段CB的延長線上，畫圖得平行四邊形AP2Q2C.

則有[-1+n=0+m，0+（-n+5）=5+（-m2+4m+5） ，]

解得[m1=6，n1=7，][m2=-1，n2=0.]（不符合題意，舍去）

如圖9，以AC為對角線，探究點Q在直線BC上，最終當點Q在線段BC的延長線上時畫圖得平行四邊形AP3CQ3.

則有[-1+0=m+n，0+5=（-m2+4m+5）+（-n+5） ，]解得[m1=6，n1=-7，] [m2=-1，n2=0.]（不符合題意，舍去）

綜上所述，點Q的坐標為（1，4），（2，3），（7， - 2），（ - 7，12）.

點評：本題中對平行四邊形的探究開放性強，有一定難度，解題第一個關鍵步驟是在明確分類的情況下畫圖探究，第二個關鍵步驟是用含字母的代數式表達動點坐標，借助平行四邊形四個頂點坐標之間的關系解決問題.

總結提升

拋物線背景下平行四邊形存在性問題，從“幾何角度”切入問題，以邊、對角線構造平行四邊形畫出圖形，然后再利用相對頂點（可簡稱對點）坐標間關系列出方程組求解，這種數形結合解決問題是一種常用方法.隨著解題經驗越來越豐富，我們可以將數形結合的方法簡化為盲解盲算的代數方法，可以簡稱為“對點法”. 無論是“三定一動”型，還是“兩定兩動”型，甚至是“四動”，都可以用對點法直接計算.

具體做法如下：對于以A，B，C，D為頂點的平行四邊形，設A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），當點A和點B相對時，可得[xA+xB=xC+xD，yA+yB=yC+yD;]當點A和點C相對時，可得[xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD;]當點B和點C相對時，可得[xB+xC=xA+xD，yB+yC=yA+yD.]利用以上方程組即可得到所求動點坐標.這種從“代數角度”思考解決問題的方法，不易漏解，而且動點越多優越性越明顯. 同時應該注意題目中頂點位置的特殊性，若其中一邊與y軸平行，除用上述通法解決問題，還可利用特殊解法求解.

專題精練

如圖10，已知二次函數[y=-38x2+bx+c]的圖象與x軸交于點A，C，與y軸交于點B，直線[y=34x+3]經過A，B兩點，點D為線段AB中點.

（1）求拋物線的表達式.

（2）在坐標平面內是否存在一點E，使得以C，B，D，E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）點Q是拋物線對稱軸上的一動點，在拋物線上是否存在點F，使得以C，D，Q，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

答案：（1）[b=-34]，[c=3]；

（2）存在，點E的坐標為[4，32] ，[0，-32]， [-4， 92]；

（3）存在，點F的坐標為[1，158]， [3，-218]， [-5，-218].

（作者單位：沈陽市于洪區教育研究中心）