特殊四邊形運動型問題探究

張穎

動點問題是近幾年各地中考的熱點，特殊四邊形存在性問題是其中一類常見題型.下面帶領同學們探究此類問題的常見考點及解題思路.

考點提煉

考點1：特殊四邊形的判定定理

解題思路：結合分類標準，依據平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，尋找四邊形確定位置.對于平行四邊形，當已知線段為邊時，通常使用定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，先將直尺的邊緣與已知邊重合擺放，通過平移直尺找到合適位置.當已知線段為對角線時，通常使用定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，先將直尺過已知線段中點擺放，通過旋轉找到合適位置.對于矩形，通常使用定理“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”，先構造直角三角形，再構造平行四邊形.對于菱形，通常使用定理“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，先構造等腰三角形，再構造平行四邊形.

易錯點：不能靈活有效地利用題目中的已知條件結合判定定理構造所求圖形；構造過程中情況分析不完整，存在丟解的情況.

解題要點：在分析題目時關注已知線段與未知線段的數量位置關系，尋找四邊形確定位置.當已知線段為邊時，利用直尺從已知位置向不同方向平移，動態觀察對邊長度變化趨勢.當已知線段為對角線時，利用直尺繞已知線段中點旋轉180°，動態觀察另一條對角線是否可以達到被平分的效果，最終確定圖形位置.

考點2：特殊四邊形的性質定理

解題思路：對于平行四邊形運動問題通常使用以下兩條性質進行求解：“平行四邊形的對邊平行且相等”“平行四邊形的對角線互相平分”.從圖形中抽取出一組線段，利用其數量及位置關系進一步構造全等三角形或相似三角形，最終通過對應邊關系求解問題.而矩形和菱形是特殊的平行四邊形，在解決動點問題時通常將矩形分解成直角三角形和平行四邊形，將菱形分解成等腰三角形和平行四邊形.

易錯點：方法選擇不當，運算復雜，導致計算準確率低.

解題要點：利用圖形性質，尋求變化過程中一組線段的不變數量關系和位置關系，轉化成方程，進行合理求解.

真題精講

例1 （2022·重慶）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線[y=-34x2+bx+c]與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，求[PM+65AM]的最大值及此時點P的坐標.

（3）在（2）的條件下，點P′與點P關于拋物線[y=-34x2+bx+c]的對稱軸對稱．將拋物線[y=-34x2+bx+c]向右平移，使新拋物線的對稱軸l經過點A，點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A，P′，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．

分析：（1）將點A，B坐標分別代入拋物線解析式，解方程組即可；

（2）利用△AQM∽△AOB，得 [AM=53MQ]，設P [p，-34p2+bp+c]，用含p的代數式表示出[PM+65AM]，利用二次函數的性質求出答案；

（3）先求出新拋物線的解析式，再利用已知線段AP'分別為邊或對角線進行分類討論，用對邊平行且相等構造全等三角形列方程（組），從而解決問題．

解：（1）拋物線的函數表達式為[y=-34x2+94x+3].

（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA = 4，OB = 3. 由勾股定理得AB? =? 5.

∵PQ⊥OA，∴PQ[?]OB，∴△AQM ∽ △AOB，∴[AMAB=MQOB]，

∴[AM=53MQ]，∴[PM+65AM=PM+2MQ].

∵B（0，3），A（4，0），∴直線AB的解析式為[y=-34x+3].

設P [p，-34p2+94p+3]，M [p，-34p+3]，Q（p，0），

∴[PM+2MQ=-34p2+32p+6=-34p-12+274].

∵[-34<0]，∴拋物線開口向下.

∵0 < p < 4，

∴當p? =? 1時，[PM+65AM]的最大值為[274]，此時P [1，92] .

（3）[y=-34x2+94x+3=-34x-322+7516]，

所以拋物線對稱軸為直線x? =? [32]，

∴P'[2，92] .

由題意知新拋物線的對稱軸為直線x? =? 4，

∴平移后拋物線解析式為[y=-34x-42+7516=-34x2+6x-11716].

設D（4，m），C [n，-34n2+6n-11716]，

①如圖2，AP'為對角線時，AP'與CD互相平分，

∴[2+4=4+n，0+92=m-34n2+6n-11716.]

∴[n=2，m=4516.] ∴D [4，4516].

②如圖3，AP'為邊時，AP'與CD平行且相等，

可得D [4，- 4516]或[4，9916].

綜上，D [4，4516]或[4，- 4516]或[4，9916]．

點評：此題點D的位置雖然不確定，但是由于點D和點A同時在對稱軸上，所以也可以以AD為邊或對角線進行分類討論.

總結提升

解特殊四邊形動點問題，應先根據題目特點確定分類標準，再利用相關判定定理，尋找四邊形的確定位置，最后利用四邊形性質靈活求解.

專題精練

例2 如圖4，在平面直角坐標系中，經過點A（4，0）的直線AB與y軸交于點B（0，4）．經過原點O的拋物線[y=-x2+bx+c]與直線AB交于點A，C，拋物線的頂點為D．點P是拋物線上一動點，Q是平面直角坐標系內一點. 是否存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

解析：易得拋物線的解析式為[y=-x2+4x]，直線AB的解析式為[y=-x+4]，C（1，3）.

①如圖5，若AC是矩形的邊，設拋物線的對稱軸與直線AB交于點R（2，2），過點C，A分別作直線AB的垂線交拋物線于點P1，P2，可得CD2 + CR2 = DR2，∴∠RCD = 90°，∴點P1與點D重合，當CP1[?]AQ1，CP1 = AQ1時，四邊形ACP1Q1是矩形，則P1（2，4），Q1（5，1），此時直線P1C的解析式為y = x + 2. 可得P2A的解析式為y = x - 4，由點P2是直線y = x - 4與拋物線[y=-x2+4x]的交點，可得P2（-1，-5），則Q2（-4，-2）.

②如圖6，若AC是矩形的對角線，設P3（m，-m2 + 4m），當∠AP3C = 90°時，過點P3作P3H⊥x軸于H，過點C作CK⊥P3H于K，∴∠P3KC = ∠AHP3 = 90°，∠P3CK = ∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴[P3KCK=AHP3H]，∴[-m2+4m-3m-1=4-m-m2+4m]，∵點P不與點A，C重合，∴m ≠ 1且m ≠ 4，∴m2 - 3m + 1 = 0，∴[m=3±52].

∴滿足條件的點P有兩個，即[P33+52，5+52 ，P43-52，5-52]，由平移可得[Q37-52， 1-52]，[Q47+52，1+52].

綜上，點Q的坐標為（5，1）或（-4，-2）或[7-52， 1-52]或[7+52，1+52]．

（作者單位：大連理工大學附屬學校）