變式是金鏈,模型是核心,突破是關鍵
——新高考數學建模單元復習的變式思考

2023-04-16 06:14:32陳友兵

教學考試(高考數學) 2023年2期

陳友兵

(江蘇省姜堰第二中學)

2017年制定2020年修改的《普通高中數學課程標準》中有關數學建模核心素養的要求:“能夠運用數學建模的一般方法和相關知識,創造性地建立數學模型,解決問題;能夠理解數學建模的意義與作用;能夠運用數學語言,清晰、準確地表達數學建模的過程和結果”,在數學建模單元復習中,通過挖掘近幾年高考數學應用題中的數學模型,引導學生通過現實情境的具體實例,學會中學數學建模的一般步驟:讀懂問題,建立模型,求解模型,檢驗模型.數學建模高考復習的重要途徑就是選取經典問題,從不同角度拓展變式,讓學生理解數學應用題求解要突破三關:事理關,文理關,數理關,提升學生的數學建模能力.

本文以新高考數學應用題為基本抓手,將函數模型、數列模型、空間圖形模型設計變式問題串,通過變式教學掌握數學應用問題的基本模型與建模方法,提升破解數學應用題的能力,通過問題情境教學滲透教育功能,使新高考數學建模復習進入核心素養階段.

1.中學數學建模步驟與三關突破

1.1中學數學建模方法一般步驟

一是讀懂問題情境,包括對題意的整體理解和局部理解,以及分析關系、領悟實質,

“整體理解”就是弄清問題情境所述的事件和研究對象;

“局部理解”是指抓住問題情境中的關鍵字句,正確把握其含義;

“分析關系”就是根據題意,弄清題中各有關量之間的數量關系;

“領悟實質”是指抓住問題情境中的主要元素,正確識別其類型.

二是建立數學模型,將實際問題抽象為數學問題,數學建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關系中找出最關鍵的數量關系,將此關系用有關的量及數字、符號表示出來,即可得到解決問題的數學模型;

三是求解數學模型,根據所建立的數學模型,選擇合適的數學方法,設計合理簡捷的運算途徑,求出數學問題的解,其中特別注意實際問題中對變量范圍的限制及其他約束條件;

四是檢驗回歸情境,既要檢驗所得結果是否適合數學模型,又要評判所得結果是否符合實際問題的要求,從而對原問題作出合乎實際意義的回答,這些環節是中學數學應用問題建模的基本構件.

1.2掌握數學建模方法必須突破三關

第一關,事理關,明白數學應用問題情境說了一件什么事,學會數學應用題的建模分析;

第二關,文理關,即閱讀理解關,一般數學應用問題的文字閱讀量都比較大,通過審題找出關鍵詞和關鍵句,并理解其數學意義;

第三關,數理關,對問題情境建立的數學模型,會用恰當的數學方法去正確求解并給出實際意義.

2.函數模型

2.1研究目標及背景

根據《普通高中數學課程標準》高考水平測試要求,研究目標是在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當方法(圖象法、列表法、解析法)表示函數,理解函數圖象的作用.

母題選取:

【例1】(2022·北京卷·7)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術,為實現綠色冬奧作出了貢獻,如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和lgP的關系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位bar,下列結論中正確的是

( )

A.當T=220,P=1 026時,二氧化碳處于液態

B.當T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態

C.當T=300,P=9 987時,二氧化碳處于超臨界狀態

D.當T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態

(1)事理關,閱讀文字與符號和圖,問題情境中的變量是溫度與壓強,研究制冰過程中兩者數量關系與制冰狀態間的聯系;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中關鍵詞溫度與壓強,它們之間聯系著4個狀態;

(3)數理關,通過數字計算T和lgP,在圖象中判斷4個命題的正確性.

當T=220,lgP=lg1026>3,二氧化碳處于固態,故A選項不正確;

當T=270,lgP=lg128>2,二氧化碳處于液態,故B選項不正確;

當T=300,lgP=lg9987≈4,二氧化碳處于固態,故C選項不正確;

當T=360,lgP=lg729∈(2,3),二氧化碳處于超臨界狀態,故D選項正確,故選D.

高考數學命題專家設計現實情境,應試者根據情境計算數據,并判斷狀態情況.由此,函數模型的變式角度,一是問題情境;二是函數模型;三是函數表示方法,一般而言,數學命題專家會在這幾個方面尋找命題切入點.

變式方向一:給定指數函數模型,解決現實情境數學問題

變式1:(2020·全國新高考Ⅰ卷·6)基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎(注:2022年12月26日,國家衛健委發布,將“新型冠狀病毒肺炎”更名為“新型冠狀病毒感染”.本題為2020年真題,保留原說法,下同)的流行病學基本參數,基本再生數指一個感染者傳染的平均人數,世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間,在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數模型:I(t)=ert描述累計感染病例數I(t)隨時間t(單位:天)的變化規律,指數增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數據估計出R0=3.28,T=6.據此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的變量是累計感染病例數、時間,研究兩者之間的變化規律;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中關鍵詞為基本再生數,累計感染病例數,指數增長率等;

(3)數理關,抓住指數模型函數進行數據計算、分析與突破.

變式方向二:給定數學化的分段函數,計算圖案面積

若方程f(x)=a的根的個數為2,則a的取值范圍是________;由y=f(x)與y=-f(x)圖象所圍成的圖案面積是________dm2.

(1)事理關,閱讀文字與符號,圖案已經進行了函數建模并給出了函數表達式;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中的主干就是函數解析式;

(3)數理關,畫出函數y=f(x)的大致圖象,如圖所示,

第(1)空,方程f(x)=a的根的個數為2,則a的取值范圍是[0,1),(1,2).

第(2)空,利用割補法可知,所求圖案面積為一個長方形面積,長為5 dm,寬為2 dm,所以所求圖案面積為10 dm2.

變式方向三:給定函數圖象,解決現實情境問題

變式3:某游客登高山要乘坐四段纜車才能到達海拔2 970 m的峰頂,海拔高度h(x)(m)與起點水平距離x(m)之間關系圖象如圖,起點O(0,0),A(100,500),B(200,1 300),C(400,2 100),D(508,2 964),則函數h(x)的表達式是________;如果纜車的行駛速度為6千米/小時,且中間需要三次換乘打卡,每次用時2分鐘,則游客從山底到山頂乘纜車需要________分鐘.

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的變量是海拔高度,水平距離;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中關鍵詞:海拔高度,水平距離,行駛速度等;

纜車的行駛速度為100米/分鐘,所以游客從山底到山頂乘纜車需要30.11+6=36.11(分鐘).

變式方向四:融指數模型于情境之中,注重方程求解與檢測

變式4:某制藥企業為了響應并落實國家污水減排政策,加裝了污水過濾排放設備,在過濾過程中,污染物含量M(mg/L)與時間t(h)之間的關系為M=M0e-kt(M0,k是正常數),已知經過1 h,設備可以過濾掉20%的污染物,則過濾一半的污染物需要的時間最接近(lg2≈0.301 0)

( )

A.3 h B.4 h C.5 h D.6 h

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的變量是污染物含量與時間,研究兩者變化規律;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中關鍵詞:污染物含量與時間等;

(3)數理關,由經過1 h,設備可以過濾掉20%的污染物,從而確定k,

【變式規律及思考】上述問題串說明,變式串主要是對問題情境(現實情境、科學情境、數學情境)、函數模型、函數表達形式(解析式、圖象、分段函數等)進行變化,訓練復習者對函數概念、方法、思想的理解程度,解決函數模型問題的基本功一是審題、二是運算,重點是分式、指數、對數運算.

3.數列模型

研究目標及背景

根據《普通高中數學課程標準》高考水平測試要求,研究目標如下:

①能在具體的問題情境中,發現數列的等差關系,并解決相應的問題;

②能在具體的問題情境中,發現數列的等比關系,并解決相應的問題.

母題選取:

【例2】(2021·上海卷·19)已知某企業今年(2021年)第一季度營業額為1.1億元,以后每個季度的營業額比上個季度增加0.05億元,該企業第一季度的利潤為0.16億,以后每季度比前一季度增長4%.

(Ⅰ)求2021年起前20季度營業額的總和;

(Ⅱ)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業額的18%?

引導學生參與市場經濟活動,突出數列基本運算.

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的變量是營業額、利潤、增長率;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中的營業額、利潤、增長率之間的聯系;

(Ⅱ)設2021年起,第n季度(n∈N*)營業額為an,則an=a1+(n-1)d=0.05n+1.05,設第n季度利潤為bn,則bn=b1qn-1=0.16×(1+4%)n-1,an×18%

命題專家對于數列模型的變式角度,一是問題情境變化——尋找活的貼近時代的熱點;二是數列類型變化;三是數列表達形式變化,但核心之一就是滲透教育功能.

變式方向一:改變問題情境形式,突出數列(函數)擬合

變式1:某大江截流電視直播,從上午9點開始,當時龍口水面寬40米,水深若干米,每隔一段時間播音員報告龍口的水面寬和工程進展情況,現記錄部分分段公布的數據如下,

時間9點10點11點12點…16點龍口寬40米39米…34米…工程進度1米…5米…數據列a1…a2+a3…

預計下午4點(16點)合攏,現根據截止12點的部分數據.

(1)學生甲將工程進度模擬成等差數列,a1=1,a2+a3=5;

(2)學生乙將工程進度模擬成等比數列,a1=1,a2+a3=5.

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的數據(龍口寬與工程進度)間關系是什么,可以用什么數列(函數)去擬合;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中關鍵詞是龍口寬(米)與工程進度(米),時間等;

(3)數理關,學生甲的模擬預測方法:將工程進度{an}模擬成公差為d的等差數列,由a1=1,a2+a3=5,得2a1+3d=5,所以d=1,所以S7=7a1+21d=28<40,這說明按甲的模擬預測不能如期合攏;

變式方向二:滲透數學文化,突出數學解模

變式2:高斯是德國著名數學家,享有“數學王子”的稱號,他最早提出用[x]表示不超過x的最大整數,因此人們稱f(x)=[x],x∈R,為高斯函數,已知數列{an}滿足a1=1,且(n+1)an+1-nan=2n+1,若bn=[lgan],數列{bn}的前n項和為Tn,則T2023=

( )

A.4 956 B.4 959

C.4 962 D.4 965

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的取整函數,一般學生會有所了解;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中有兩個數列間關系,研究后一數列前n項和;

(3)數理關,問題的主干是“(n+1)an+1-nan=2n+1”,

為了運算簡潔,作變換令cn=nan,則cn+1-cn=2n+1,

由c1=a1=1,c2-c1=3,…,cn-cn-1=2n-1,累加可得cn=n2,n≥2.

當1≤n≤9時,bn=0;當10≤n≤99時,bn=1;

當100≤n≤999時,bn=2;當1 000≤n≤2 023時,bn=3,

所以T2023=9×0+90×1+900×2+1 024×3=4 962,故選C.

【變式規律及思考】數列也是函數,命題專家收集現實情境中新穎的能夠聯系教育功能的案例,以等差數列、等比數列模型為基礎,多種形式呈現,因此,變式角度非常豐富,著力檢測學生的創新思考的意識.

4.空間圖形模型

研究目標及背景

根據《普通高中數學課程標準》高考水平測試要求,研究目標如下:知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.

母題選取:

( )

圖1

圖2

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

(1)事理關,閱讀文字與符號,看懂問題情境中古建筑物的剖面圖,舉與步是什么;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中OA斜率與各相鄰桁斜率間的數量關系;

(3)數理關,設OD1=DC1=CB1=BA1=1,則CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3,依題意可得方程,

變式方向一:改變問題情境,關注教育功能

變式1:資料表明,2021年某小麥主產區收獲的小麥為9×1010kg,為了收購儲存這些小麥,需建設n(n∈N*)個糧倉,每個糧倉是直徑為10 m,高5 m的圓柱和底面直徑為10 m,高3 m的圓錐組成的,每立方米空間可以儲存0.9×103kg小麥,則n至少是________(π≈3.141 592 6).

(1)事理關,閱讀文字與符號,問題情境中的變量是小麥倉儲中糧倉體積與個數;

(2)文理關,通過閱讀,發現問題情境中關鍵詞圓柱與圓錐的糧倉體積;

變式方向二:創設復雜問題情境,突破綜合分析障礙

變式2:勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”,它能在兩個平行平面間自由轉動,并且始終保持與兩平面都接觸,因此它能像球一樣來回滾動(如圖1),利用這一原理,科技人員發明了轉子發動機,勒洛四面體是以正面體的四個頂點為球心,以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體,如圖2,若正四面體ABCD的棱長為2,則下列說法正確的是

( )