尋找命題背景 解構立體幾何

武 靜

(廣東省東莞市第六高級中學)

空間圖形是現實世界物體的抽象,學生觀察世界,首先接觸的是具體的幾何體.而在解決立體幾何問題的時候,對學生而言,總感到點線面之間的位置關系錯綜復雜,難以理清各種元素之間的關系.實際上,類似于平面幾何圖形可以看作等腰三角形、直角三角形、圓、菱形、直角梯形、等腰梯形等的組合,立體幾何圖形也有一些簡單的“基本圖形”,如長方體、三棱錐、四棱錐、圓錐、圓臺、棱臺等.在實際教學過程中,先把這些“基本圖形”的元素位置關系弄清楚,再從立體幾何圖形中提煉出這些“基本圖形”,那么立體幾何的難點突破將事半功倍.

從整體到局部,一般到特殊是構建立體幾何的研究路徑.因此,利用數學建模的思想,構建符合學生認知規律的研究路徑:從現實問題——抽象出幾何體的整體模型——分析構成空間圖形的基本元素——分析元素的位置特征——尋找命題背景——結構分析求解,長度、面積、體積、角度等度量——檢驗模型,讓學生經歷研究立體圖形的過程,從中體會研究立體幾何的基本思路和方法,發展數學建模、數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養.

1.引例

【例1】(2022·全國新高考Ⅱ卷·11)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,F-ACE的體積分別為V1,V2,V3,則

( )

A.V3=2V2B.V3=V1

C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

1.1建模分析

如圖所示的幾何體為組合體,可以直接由體積公式計算V1,V2,而三棱錐F-ACE的體積需要通過數學建模解析組合體,從而突破難點.對于組合體的體積計算,我們常用的解法有兩種:割與補,接下來給出這兩種方法的數學建模分析過程.

【數學建模一】分析構成組合體的基本元素以及元素之間的位置關系,尋找命題背景幾何圖形,找到組合體的“源”與“流”.聯系條件,我們不難發現組合體底面ABCD為正方形,且ED⊥平面ABCD,FB⊥平面ABCD,因此可聯想到正方體模型,從而完成立體幾何圖形的遷移.如圖,連接MD,交平面ACE于點N,連接BD交AC于點G,連接FG,則FG即為三棱錐F-ACE的高,計算出V3,依次判斷選項即可.

【數學建模二】如圖,連接BD交AC于點M,連接EM,FM.由M為AC中點,我們可以聯想將三棱錐F-ACE拆分成兩個全等的小三棱錐,由V3=VA-EFM+VC-EFM計算出V3,依次判斷選項即可.

1.2解答過程

解法一:連接MD,交平面ACE于點N,

連接BD交AC于點G,連接FG.

設AB=ED=2FB=2a,

∵ED⊥平面ABCD,FB∥ED,

∴FB⊥平面ABCD,

在正方體中,易知體對角線MD⊥平面ACE.

易得FG為△BMD的中位線,

∴FG⊥平面ACE,即FG為三棱錐F-ACE的高,

則2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,

故選CD.

解法二:連接BD交AC于點M,

連接EM,FM,易得BD⊥AC.

設AB=ED=2FB=2a.

又ED⊥平面ABCD,

AC?平面ABCD,∴ED⊥AC.

又ED∩BD=D,

ED,BD?平面BDEF,

∴AC⊥平面BDEF.

過點F作FG⊥ED于點G,

易得四邊形BDGF為矩形,

∵EM2+FM2=EF2,∴EM⊥FM,

則2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,

故選CD.

2.活用數學建模,尋找命題背景

在研究立體幾何時,無論對于空間點、線、面位置關系的認識,還是平行、垂直等相關定理,都可以在“基本圖形”中找到對應的表示.因此,在教學中,一定要充分重視幾何體的命題背景.靈活應用數學建模,從現實問題中抽象點線要素,把握位置關系,變換不同角度,化動態為靜態,讓學生經歷識圖——畫圖——算圖——證圖的過程,體會研究立體幾何的基本思路和方法,提高發現問題、提出問題和解決問題的能力.

2.1抽象點線要素,識別組合體模型

【例2】十字貫穿體(如圖1)是美術素描學習中一種常見的教具.如圖2,該十字貫穿體由兩個全等的正四棱柱組合而成,且兩個四棱柱的側棱互相垂直,若底面正方形邊長為2,則這兩個正四棱柱公共部分所構成的幾何體的內切球的體積為________.

【建模分析】分析該幾何體的結構特征可知,十字貫穿體是完全對稱的組合體.點動成線,線動成面,面動成體,因而找出公共部分所構成的幾何體的關鍵是先找到該幾何體中的第一要素——所有的點.在圖1和圖2中,我們可以先找到如圖所示的五個點:A,B,D,P,S,再根據對稱性可以找到幾何體最后一個點C,該幾何體可以看成兩個全等的四棱錐或八個全等的三棱錐組成.利用等體積法或者直接法求出其內切球的半徑,即可代入球的體積公式,即可求出結果.

解答過程:該幾何體的直觀圖如圖所示,這兩個正四棱柱公共部分所構成的幾何體為兩個全等的四棱錐S-ABCD和P-ABCD組成.

由題意,這兩個正四棱柱的中心既是其外接球的球心,也是其內切球的球心,設內切球的半徑為R,連接AC,設AC的中點為H,連接BH,SH,可知SH即為四棱錐S-ABCD的高,

在Rt△ABH中,

又SH=BH=2,

2.2把握位置關系,建立四棱錐模型

【例3】如圖為四棱錐A-DEFG的側面展開圖(點G1,G2重合為點G),其中AD=AF,G1D=G2F,E是線段DF的中點,請寫出四棱錐A-DEFG中一對一定相互垂直的異面直線:________.(填上你認為正確的一個結論即可,不必考慮所有可能的情形)

【建模分析】要找出四棱錐A-DEFG中一對一定相互垂直的異面直線,必須從折疊前的直線與直線的位置關系入手,直觀想象折疊變化過程中長度與角度等度量的不變量,特別是垂直關系或者長度關系.由AD=AF,E是線段DF的中點結合全等三角形的判定定理與性質定理可證DF⊥平面AOE,故異面直線DF⊥AE,同理可證AE⊥DG,AE⊥GF.由AD=AF,G1D=G2F可證DF⊥平面AEG,故異面直線DF⊥AG.

解答過程:將四棱錐A-DEFG的側面展開圖還原為四棱錐A-DEFG,如圖所示,連接DF,GE交于點O,連接AO.

因為DG=FG,DE=EF,GE=GE,

所以△GDE≌△GFE,所以∠DGO=∠FGO.

又DG=GF,GO=GO,

所以△DGO≌△FGO,

所以DF⊥GE.

因為AD=AF,OD=OF,所以AO⊥DF.

又因為AO∩OE=O,AO,OE?平面AOE,

所以DF⊥平面AOE.

又AE?平面AOE,

所以DF⊥AE.

(同理可證AE⊥DG,AE⊥GF,DF⊥AG)

2.3變換不同角度,重構三棱錐模型

( )

A.30° B.45° C.60° D.120°

【建模分析】要求解二面角,必須先作出二面角的平面角.由條件知直線AB⊥AC,AB⊥BD,故過點A作AF⊥AB,過點B作BE⊥AB,∠FAC或∠DBE即為所求二面角的平面角,且平面FAC∥平面DBE,故從二面角的角度分析,可以重構二面角為三棱柱模型.

解答過程:如圖,過點A作AF⊥AB且AF=BD,過點B作BE⊥AB且BE=AC,連接FD,CE,FC,DE.

又AB⊥AC,AF∩AC=A,

所以AB⊥平面ACF,

則∠FAC即為所求二面角的平面角.

又AB∥FD,所以FD⊥平面ACF.

又FC?平面ACF,所以FD⊥FC.

故該二面角的大小為60°,故選C.

2.4轉動態為靜態,搭建三棱錐模型

【例5】如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知點E,F分別為直線BD,AD1上的動點,則|EF|的最小值為________.

【建模分析】點E,F兩個點都在運動,無法直接度量長度,因而需要尋找點的運動源頭,化動態為靜態.點E,F分別在直線BD,AD1上運動,所以EF的最小值即為異面直線BD,AD1公垂線段的長度.公垂線與兩條直線都垂直,就可以平移其中一條直線,使之與另外一條直線構成平面,將公垂線的長度轉化為線到面的距離,繼而轉化為點到面的距離,從而搭建三棱錐模型,利用等體積法或直接法等求出公垂線段的長度.

解答過程:如圖,連接BC1,DC1,BD1.

∵點E,F分別在直線BD,AD1上運動,

∴|EF|的最小值即為異面直線BD,AD1公垂線段的長度.

∵BC1∥AD1,BC1?平面BC1D,AD1?平面BC1D,

∴AD1∥平面BC1D,

異面直線BD,AD1公垂線段的長度,

即AD1到平面BC1D的距離,

即點D1到平面BC1D的距離.

設點D1到平面BC1D的距離為d,

∵VD1-BC1D=VB-D1C1D,

3.立體幾何的教學策略

在立體幾何的執教過程中發現,學生的空間想象能力參差不齊,更多依賴于向量法解決立體幾何問題,一味回避幾何法.為了改善這種情況,滲透幾何研究的基本路徑和方法,對學生空間想象、數學抽象、數學建模、推理論證能力的培養可以借助實物操作、加強識圖繪圖、融合信息技術、重視幾何分析等方面進行突破.

3.1借助實物操作,提升數學建模素養

利用數學建模,尋找命題背景研究立體幾何的一般路徑:從現實問題——抽象出幾何體的整體模型——分析構成空間圖形的基本元素——分析元素的位置特征——尋找命題背景——分析結構,求解長度、面積、體積、角度等度量——檢驗模型.在研究過程中,我們可以借助實物來幫助學生建立符合題目背景的數學模型.如,講解點線面的位置關系,我們在執教過程中可如表1來演示:以筆為線,以講臺、書本、桌面為面,移動筆可以將抽象的線面位置關系進行直觀展示;講解折疊問題,我們可以拿起草稿紙,按照題目要求一步步折疊,在折疊的過程中可以觀察變化過程中保持不變的角度、長度等度量,為動態問題設置階梯,降低難度;涉及到正方體、長方體模型,我們可以借助橡皮擦、粉筆盒等進行演示.在實物演示的過程中注意數學相關概念的準確性,也就是在建模過程中提前做出假設,如演示點線面的位置關系時,假設書面是可以無限延伸的.借助實物操作確認,就是為學生設置思維的階梯,從日常的點滴入手,提高數學建模素養.

表1

3.2加強識圖繪圖,提升數學抽象素養

在立體幾何執教過程中還發現,對于一些沒有給出幾何圖形的題目,部分學生無法正確繪圖,無法將文字語言轉化為圖形語言.因此,我們在上立體幾何起始課的時候,應設置制圖、識圖、繪圖活動,幫助學生從整體上感知立體幾何的結構特征,如手工制作棱錐、棱柱模型,立體幾何折紙活動等等;在學習點線面的位置關系時,給學生留出足夠的時間書寫點線面位置關系的文字、符號、圖形語言;在學習垂直、平行關系的時候,要求學生用尺規規范作圖,斜二測畫法中平行關系保持不變,規范作圖可以讓我們的邏輯推理錦上添花.此外,還應重視“基本圖形”的識圖繪圖過程.

3.3融合信息技術,提升直觀想象素養

靜態的立體幾何圖形我們可以借助實物操作確認、加強識圖作圖的方法來一步步培養學生的空間感.當學生遇到動態問題,可能無法通過直觀想象幾何體的結構,那么就需要我們借助網絡畫板、幾何畫板等軟件幫助學生構建動態幾何體,將運動軌跡一一呈現出來,從而推演其形成過程,達到識圖——畫圖——算圖的目的.如圖1,在上圓錐曲線起始課和圓錐曲線統一定義的時候,可以借助幾何畫板改變切割角度,形成橢圓、雙曲線和拋物線,使學生親身經歷圓錐曲線的形成過程,通過信息技術的加持一步步引導學生發現圓錐曲線的內在聯系;如圖2,在研究正方體中的截面問題時,可以利用網絡畫板等,動態展示運動過程中不同的截面形狀,分析截面形狀的所有情況,完成文字語言——圖形語言——符號語言的轉化,提升直觀想象素養.

圖1

3.4重視幾何分析,提升邏輯推理素養

通過實物操作和感知,歸納出空間幾何體的結構特征,通過識圖繪圖,發現幾何體中點線面的位置關系,接下來算圖——證圖則需要嚴密的邏輯推理.立體幾何的教學一般遵循“直觀感知——操作確認——推理論證”的研究過程,因此在對幾何問題展開研究時,應該從一般到特殊,將空間問題降維為平面問題,重視幾何分析過程,使學生在掌握知識、方法的同時,提高發現問題、分析問題和解決問題的能力.如對于直線與平面垂直的研究,呈現的幾何分析過程如下:

(1)觀察現象,設置問題.

如圖,陽光下直立于地面的旗桿,觀察它在地面的影子位置的變換,旗桿所在直線與其影子所在直線是否保持垂直?

將旗桿和影子抽象為直線,將所有影子抽象為平面,旗桿直立于地面的文字語言翻譯為數學語言:直線與平面垂直,由這一現象發現,旗桿垂直于影子,翻譯為數學語言為直線垂直于平面內的任意一條直線.至此,得到直線與平面垂直的定義.

(2)知識遷移,提前鋪墊.

在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.將這一結論推廣到空間,過一點垂直于已知平面的直線有幾條?為什么?

畫圖可以發現只有一條,但是直接證明似有難度,我們不妨從反面入手.假設過一點垂直于已知平面的直線有兩條,連接兩個垂足,記為l,則這兩條直線都與已知平面內任意一條直線垂直,故這兩條直線都垂直于l,這與在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾,故假設不成立,所以空間中,過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條,垂線段的長度叫做點到平面的距離.

(3)實驗操作,形成定理.

如圖,準備一塊三角形紙片,過三角形的一個頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起來放置在桌面上,如何翻折才能使折痕與桌面垂直?這樣的折痕有幾條?