對一道高檔導數題求解的心路歷程

2023-04-16 06:25:16王安寓

教學考試(高考數學) 2023年2期

王安寓

(江蘇省南京市六合區實驗高級中學)

在高三復習過程中,我們師生撒遍各市模考題.2023屆如皋期初調研試卷第16題是一道含lnx,ex的導數壓軸題,看我抽劍戰天涯,運用文韜武略戰而勝之.

一、題目呈現及分析

【題目1】(2023·如皋期初·16)已知關于x的不等式aeax≥lnx對任意x≥1恒成立,則實數a的取值范圍是________.

分析:題目1將自然對數、指數函數、參數巧妙揉合在一道試題中,命題設計新穎,條件簡潔,目標明確,題目短小精悍而又內蘊豐富,是一道考查能力的高檔題目.

題目1的條件有二:①x≥1是不等式成立的大前提,相當于函數的定義域,可考慮邊界值和某些特殊值(數感);②關于x的不等式aeax≥lnx是題設主干,既含有兩個變量x,a(x是主元,a是參數),又含有lnx,ex,且參數a既嵌入ex的指數中又作為其倍數,結構奇異,不易展開聯想(雖然有y=lnx與y=ex互為反函數,但很難應用上).

題目1的待求簡單:參數a的取值范圍.這是研究不等式aeax≥lnx對任意x≥1恒成立時的充要條件.

如何處理不等式aeax≥lnx是整個試題求解的難點.聯想常用處理不等式恒成立的方法,能否找到突破口?常用恒成立求參問題的一個好方法是分離參數法,但題目1中的參數a既嵌入ex的指數中又作為其倍數,難以分離;常用恒成立求參問題的另一個方法是構造一個合適的函數,研究函數的最值,由最值構造不等式,通過解不等式求解參數的取值范圍.而題目1中的函數aeax,lnx該如何組合變形,才能便于研究函數的單調性求最值?粗略觀察,構造新函數很困難.

兩種常用方法都陷入幽谷.

二、題目1求解的心路歷程

筆者再讀題目1,盯著它,審視它,該從何處破解?

解法一(數感):顯然當a=0時,

不等式aeax≥lnx不恒成立,∴a≠0.

令x=1,得aea≥ln1=0,∴a>0.

令x=e,得aeae≥lne=1,

兩邊取自然對數得lna+ea≥0,

設f(a)=lna+ea,a>0,

顯然f(a)在(0,+∞)上單調遞增,

評注:數感是指對數據的敏感性,借助對數的敏感性取數檢驗或判斷,是數感的一種合理應用,但是數感畢竟是特殊值檢驗,并不能保證答案的準確性,只能說,由特殊值所得結果將待求參數范圍大大縮小了.

重新讀題,重新審視它,重新思考.冷冰冰的“數”背后還有直觀的“形”.從形上看,y1=lnx與y=ex相隔銀河而望,銀河的邊界是直線y=x+1與直線y=x-1,如圖1,而y2=aeax是由y=ex的圖形伸縮變換而得,仍然先由特殊值縮小a的取值范圍得a>0,再考慮a對y2圖象的影響.

圖1

圖2

圖3

解法二(相切法):顯然當a=0時,

不等式aeax≥lnx不恒成立,∴a≠0.

令x=1,得aea≥ln1=0,∴a>0.

當a=a0時,設y1=lnx與y2=a0eax相切于點P(x0,y0),x≥1,

則y0=a0ea0x0=lnx0,

顯然F(t)在(0,+∞)上單調遞增,

且F(1)=0,∴F(t)=0的解有且只有t=1,

隨著a的增大,y2=aeax逐漸遠離y1=lnx,

評注:解法二是動態分析靜態求解,先由a的幾何意義(伸縮)觀察圖形,得到臨界位置—相切,再由“切”通過導數構造方程組,然后消元、取對數、構造函數解方程,最后由a的幾何意義得到a的范圍.此解法思維量大,運算繁瑣.

解法二的求解過程分為四個邏輯段.第一個邏輯段:由特殊值縮小a的范圍;第二個邏輯段:由相切構造方程組;第三個邏輯段:消元解方程組;第四個邏輯段:由a的幾何意義結合臨界值得到a的取值范圍.其思維導圖如下:

心路歷程三:解法二的核心是“相切”,由“切”借助導數構造出方程組,難點是解方程組.消元法是解方程組的常用手段,而消元后的方程仍顯復雜,再通過取對數、構造新函數解方程.此方法思維量大,運算繁瑣,有沒有更好的方法呢?

解法二的核心是“相切”,而“切”中的切線是“化曲為直”的一種方法.題目1能用嗎?

我們期望找到y=lnx的一條切線y=kx+b,使得lnx≤kx+b,且aeax≥kx+b.這條切線在何方?我們知道y=lnx的切線有無數條,應該選擇哪一條?首先否定y=x-1.由圖1可以預見,當正數a逐漸變小時,y=aeax逐漸躺平,會有y=aeax的部分圖象在直線y=x-1下方.我們期望也找到一條“躺平”的直線,與y=lnx相切.因為y=lnx圖象是確定的,所以切線也應該是確定的.

另一方面,aeax≥kx+b兩邊取自然對數得lna+ax≥ln(kx+b),再次出現ln,這個對數較復雜,我們期望ln(kx+b)經過對數運算后化為“lna+ax(含x的式子)”的形式,這就必然要求y=kx+b中的常數b=0,這樣就轉化為lnx≤kx,且aeax≥kx,后一個式子取自然對數得lna+ax≥ln(kx)=lnk+lnx,再應用lnx≤kx,得lna+ax≥lnk+kx,所以a≥k.下面就是如何求k.

解法三(以直代曲):仿解法二得a>0.

由g′(x)>0得x>e,

由g′(x)<0得1≤x

∴g(x)在[1,e)上單調遞減,

在(e,+∞)上單調遞增,

∴當x=e時,g(x)取極小值,

也是最小值g(e)=0,

評注:解法三的難點是選擇什么樣的“直”代“曲lnx”,求解的過程只是展示思維的結果,而看不到是如何想到的.

心路歷程四:解法三中“以直代曲”只代換了lnx,能否同時“以直代曲”代換eax?

解法四(兩面夾):仿解法二得a>0.

再證eax≥aex,x≥1.

設f(x)=eax-aex,x≥1,

則f′(x)=aeax-ae,

∴eax≥aex,x>0,

心路歷程五:解法三“以直代曲”化簡條件不等式aeax≥lnx,反復代替,思維邏輯段多,雖然較解法二有了很大改善,但還是不盡如人意.能更簡單些嗎?命題人想讓我們怎么解?再回想分離參數法解決不等式恒成立問題,題目1的難點是如何分離參數.我們能否從結構形式上改造所給不等式,努力讓不等式兩邊的式子“同構”?注意到ax=lneax,因此,在不等式aeax≥lnx的兩邊同乘x,不等式化為axeax≥xlnx,即eaxlneax≥xlnx,就能達到“同構”的目的,然后就能引入相應的函數,研究函數性質,簡化所給不等式,為分離參數做好準備.

解法五(分離參數):在不等式aeax≥lnx的兩邊同乘x,

得axeax≥xlnx,即eaxlneax≥xlnx,

設函數h(x)=xlnx,x≥1,

則h′(x)=1+lnx>0,

∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,

由h(eax)≥h(x)得eax≥x,

兩邊取自然對數得ax≥lnx,