中點加中點 構造中位線

吳瓊

大連市第十九中學王洪宇老師的直播課《三角形中位線的構造》選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

觀摩了王洪宇老師的直播課，我深受啟發. 三角形的中位線定理在幾何證明、線段求值、角度分析等方面應用廣泛. 在一些幾何圖形中，有時雖有中點卻無三角形的中位線，這時就要深入挖掘隱含條件，適當添加輔助線，以便構造中位線求解.

模型構建

例 如圖1，在△ABC中，AB = AC，點D，E分別是邊AB，AC上的點，連接BE，DE，∠ADE = ∠AED，點F，G，H分別為BE，DE，BC的中點. 求證：FG = FH.

解析：∵∠ADE = ∠AED，∴AD = AE.

∵AB = AC，∴AB - AD = AC - AE，即BD = CE.

∵點F，G，H分別為BE，DE，BC的中點，

∴FG，FH分別是△EDB，△BCE的中位線，

∴FG =? [12]BD，FH = [12]CE，∴FG = FH.

反思：遇中點找中點，構建中位線. 取兩個三角形中一條公共邊的中點，可將兩個分散的中點構建成兩個有聯系的三角形的中位線，再利用中位線的平行和相等關系，解決要證的問題.

變式：改變模型中兩條相等線段的位置，產生圖形變式. 如圖2， AB = CD ，F，E，P分別為BD，AC，BC的中點，可得PE = PF.

模型應用

如圖3，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB = CD，點E，F分別是BC，AD的中點，連接EF，分別交DC，AB于點M，N，判斷△OMN的形狀，并說明理由.

解析：如圖4，取BD的中點P，連接PE，PF，

∵點E，F，P分別是BC，AD，BD的中點，

∴PE[?]CD，PE = [12]CD，PF[?]AB，PF = [12]AB，

∴∠PEF = ∠OMN，∠PFE = ∠ONM.

∵AB = CD，∴PF = PE，∴∠PEF = ∠PFE，

∴∠OMN = ∠ONM，∴OM = ON，

∴△OMN是等腰三角形.

變式演練

如圖5，在△ABC中，AC > AB，點D在AC上，AB = CD，點E，F分別是BC，AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC = 60°，連接GD，判斷△AGD的形狀，并說明理由.

解析：如圖6，連接BD，取BD的中點H，連接HF，HE，

∵F是AD的中點，∴HF[?]AB，HF = [12]AB.

同理可得HE[?]CD，HE = [12]CD，∴∠EFC = ∠HEF.

∵AB = CD，∴HF = HE，∴∠1 = ∠HFE.

∵∠EFC = 60°，∴∠HEF = 60°，∴△HEF是等邊三角形，

∴∠HEF = ∠HFE = 60°，∴∠1 = ∠EFC = ∠AFG = 60°，∴△AGF是等邊三角形.

∵AF = FD，∴GF = FD，∴∠FGD = ∠FDG = 30°，∴∠AGD = 90°，

∴△AGD是直角三角形.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

如圖7，在△ABC中，點D為AC的中點，延長CA至E，使AE = BC，連接BE，點F為BE的中點，連接FD并延長交BC的延長線于點G. （1）求證：CD = CG；（2）若∠ACB = 60°，BC = 6，求FD的長. （答案見第33頁）

（作者單位：大連市第三十七中學）