逆向思維探究不等式組中字母取值

邱煥芬

一、已知不等式組整數解的個數，確定字母取值范圍

例1 （2022·四川·達州）關于x的不等式組[-x+a<2，3x-12≤x+1]恰有3個整數解，則a的取值范圍是 ．

解析：解第1個不等式得x > a - 2，解第2個不等式得x ≤ 3，

[∴]原不等式組的解集為a - 2? <? x ≤ 3.

[∵]恰有3個整數解，所以只能是3，2，1，[∴]0 ≤ a - 2? <? 1，[∴]2 ≤ a? <? 3.

二、根據不等式組整數解的個數，探究字母的最大值

例2 （2022·湖南·邵陽）關于x的不等式組[-13x>23-x，12x-1<12（a-2）]有且只有三個整數解，則a的最大值是（ ）．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解析：由第1個不等式得x > 1，由第2個不等式得x? <? a，解得1 <? x? <? a．

[∵]不等式組有且僅有三個整數解，即2，3，4，[∴]4? <? a ≤ 5，

[∴]a的最大值是5. 故選C．

三、已知不等式組負整數解的個數，確定字母取值范圍

例3 若關于x的一元一次不等式組[x-a>0，2x-3<1]有2個負整數解，則a的取值范圍是 ．

解析：解第1個不等式得x > a，解第2個不等式得x < 2，

∵原不等式組有2個負整數解，從x < 2可以判斷2個負整數解只能是-1， -2. 觀察數軸可以直觀看出-3 ≤ a < -2. 故應填-3 ≤ a < -2.

反思：確定a的范圍我們可以借助數軸，采用特殊值法：比如本題當a = -2時，由于解集為x > a，就排除了-2這個負整數解，因此a < -2，當a = -3時，由于解集為x > a，恰巧有2個負整數解-1，-2，所以a的取值范圍為-3 ≤ a < -2．

四、已知不等式組的解集，求待定字母取值或范圍

例4 （2022·黑龍江）若關于x的一元一次不等式組[2x-1<3，x-a<0]的解集為x < 2，則a的取值范圍是 ．

解析：將原不等式組整理得[x<2，x<a，]因為不等式組的解集為x < 2，根據“同小取小”可知a的取值范圍為a ≥ 2. 故應填a ≥ 2．

五、已知不等式組無解，求字母的取值范圍

例5 （2022·內蒙古）關于x的不等式組[5-3x≥-1，a-x<0]無解，則a的取值范圍是 ．

解析：由第1個不等式得x ≤ 2，由第2個不等式得x > a，

[∵]不等式組無解，[∴]a ≥ 2. 故應填a ≥ 2．

反思：解決本題容易忽視當a = 2時兩個不等式的解集仍然無公共部分，因此當不等式組無解時，a ≥ 2.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：4分鐘

不等式組[x-13-12x<-1，4（x-1）≤2（x-a）]有3個整數解，則a的取值范圍是（ ）.

A. -6 ≤ a < -5? ? B. -6 < a ≤ -5? ? ? C. -6 < a < -5? ? D. -6 ≤ a ≤ -5

（答案見本頁）

（作者單位：山東省濱州實驗學校）

答案速遞

第25頁：取AB的中點M，連接FM，DM，證明過程略. （2）3[3]

第28頁：1. ∠A = 90° 2. D

第33頁：B