基于APOS理論的高中數學概念教學

欒兆輝

(龍口市第一中學東校,山東煙臺,265701)

一、引言

概念教學是高中數學教學的重要環節。當前部分高中數學概念教學存在教學方法單一、學生缺乏興趣、教學效果不理想等問題。這些問題嚴重影響了學生的學習效果和數學能力的發展。因此,對高中數學概念教學進行改革和創新迫在眉睫。APOS(action,process,object,schema)理論是一種新的數學教育理論,它認為學生學習數學概念的過程是由心理認知結構的變化所決定的。APOS理論強調學生在學習數學概念時需要經歷一系列的心理認知過程,這種理論為高中數學概念教學提供了新的視角和思路。本研究旨在探討基于APOS理論的高中數學概念教學的實踐應用及效果,希望基于APOS理論的數學概念教學能在一定程度上提高學生的數學概念學習興趣,加強學生對數學概念的理解和掌握,提高教學效果。

二、概念意義

(一)APOS理論概述

APOS理論是杜賓斯在20世紀80年代提出的關于數學概念教學的理論,是對皮亞杰提出的數學學習反思抽象理論的進一步拓展。[1]該理論認為,學生在學習數學概念的過程中必須經過一系列的心理建構,包括操作階段、過程階段、對象階段和圖式階段,才能形成完整的數學概念。操作階段是指學生通過實際操作,感受概念的實際意義;過程階段是指學生通過思維過程,理解概念的形成過程;對象階段是指學生將概念作為一個獨立的對象,能夠在頭腦中形成清晰的數學概念;圖式階段是指學生將概念與其他知識聯系起來,從而構建豐富的知識網絡。APOS理論強調通過操作和探究生成數學概念,結合已有的知識經驗用積極的思維活動獲得數學概念,通過對概念進行準確的定義,形成心理圖式,構建起自身的數學知識結構。[2]總之,APOS理論基于實踐的教育理論,旨在幫助學生通過主動構建深入理解概念。通過活動、過程、對象和結構的引導,學生可以在實踐中探索、思考和歸納,不斷提高自己的學習能力。同時,APOS理論也可以為教師提供有效的教學策略和方法,提高教學質量。

(二)在高中數學概念教學中應用APOS理論的重要意義

第一,APOS理論強調學生的自我操作和體驗,通過自主探究和發現,學生從被動接受轉變為主動參與,學生的求知欲和自信心會有效提升,學習動機和積極性提高。第二,APOS理論強調過程性,要求學生逐步思考和理解數學概念,從概念的背景和定義出發,經歷數學概念的抽象過程。這有助于學生深入理解數學概念的本質和內涵,提高他們的數學思維能力和解決問題的能力。第三,APOS理論強調對象性,即將數學概念作為一個對象進行研究和探討。這有助于學生明確數學概念的地位和作用,更好地掌握數學知識的體系和結構,提高他們的數學應用能力。第四,APOS理論還可為教師提供新的教學思路和方法,幫助教師更好地理解和把握學生的學習過程和需求,從而制定更有效的教學策略,提高教學質量和效果。

三、具體策略

不同知識點的相關性、相似性要素可以組成一個數學概念的內涵與外延。[3]研究表明,APOS理論可以為高中數學教師提供概念教學實踐的指導,使教師能夠更好地把握教學節奏,更高效地引導學生進行自我處理和建構,提高概念教學質量。結合已有研究,在高中數學概念教學中應用APOS理論,可按照以下具體策略進行。

(一)操作階段

操作階段是幫助學生理解數學概念的關鍵步驟。這個階段的設計應關注學生學習興趣的激發,幫助學生進行觀察、歸納、演繹、推理等學習活動。首先,問題情境的設計是操作階段的重要部分,生動的教學情境能夠引起學生的學習興趣,激發學生主動思考。例如,教師在教授“指數函數”這個概念時,可以提供一張細胞分裂的圖片,讓學生觀察細胞的個數和時間的函數關系,進而引入指數函數的概念。其次,觀察和歸納是操作階段的重要技能。教師可通過具體的例子,引導學生觀察和分析,歸納出數學概念的特征。例如,在教授“等差數列”這個概念時,教師可給出一些具體的等差數列,讓學生觀察并總結這些數列的規律,進而理解等差數列的概念。最后,演繹和推理是操作階段的更高層次技能。教師可通過問題解決的方式,引導學生進行演繹和推理,從而使學生深入理解數學概念。例如,教授“不等式”這個概念時,教師可通過一些不等式的例子,讓學生進行推理和證明,進而理解不等式的性質和證明方法。

(二)過程階段

在過程階段,高中數學教師應引發學生一系列的思維活動,引導學生逐步理解數學概念的形成過程。例如,教授“極限”這個概念時,教師可引導學生思考一些無限趨近于某個數值的例子,讓學生理解極限的概念,以及極限在數學中的意義和作用。首先,教師可以向學生展示一些極限的例子,如一個圓形的半徑逐漸趨近于一個點,或者一個物體在運動中逐漸趨近一個極限位置。通過這些例子,學生可較為直觀地感受極限的概念。其次,教師可引導學生思考一些抽象的問題。例如,可以讓學生思考一個數列的極限,這個數列由一些數字組成,當這些數字逐漸趨近于某個值時,這個值就是這個數列的極限。通過解決這些問題,學生可深入理解極限的概念和極限在數學中的應用。最后,學生可通過一些數學練習題加深理解,更好地掌握極限這個數學概念,并在實際問題中進行應用。

(三)對象階段

在對象階段,教師需要有的放矢地引導學生將數學概念作為一個獨立的對象進行思考和運用。例如,教授“導數”這個概念時,教師可引導學生掌握導數的定義、性質、應用等知識,從而能夠熟練地運用導數解決一些數學問題。第一,學生需要理解導數的定義,即函數在某一點的變化率。第二,學生需要掌握導數的性質,如可導必連續、連續不一定可導等。第三,學生需要知道導數在數學問題中的應用,如求切線斜率、求最大值或最小值等。在掌握這些知識后,學生就能夠更好地理解和應用導數這個數學概念。此外,教師還需通過大量的實例幫助學生理解和應用導數,如速度公式、路程公式等。通過這些實例,學生能夠更好地理解導數的應用,并能將其應用到實際生活中。除以上提到的一些重點內容外,教授導數這個概念時,教師還可以引導學生從以下幾個方面深入理解和學會應用導數。第一,函數的變化率。教師可講授函數在某一點的變化率,引導掌握導數的概念和具體應用策略。例如,教師可引導學生尋找身邊的函數變化率,如氣溫隨時間的變化、物體運動的速度等。第二,導數的幾何意義。教師通過計算函數的導數,幫助學生掌握曲線的斜率變化規律,使學生更好地理解函數的圖象和性質。第三,導數在物理中的應用。教師可通過物理實驗引導學生理解和應用導數。例如,通過計算物體的運動速度或熱傳導等物理問題,學生可以更好地理解導數的幾何意義和應用。

(四)圖式階段

在圖式階段,教師應引導學生將數學概念形成一個完整的認知圖式,這有助于學生更好地理解和應用這些概念。例如,在教授“三角函數”這個概念時,教師可引導學生將三角函數的定義、周期性、奇偶性、振幅、相位等知識點構建成一個認知圖式,從而更好地掌握和應用三角函數的概念。第一,讓學生了解三角函數的定義。三角函數是描述周期性現象的重要數學工具,可用來表示周期性運動的位移、速度和時間之間的關系。例如,正弦函數可以表示一個周期性運動的位移隨時間的變化關系,余弦函數可以表示一個周期性運動的速度隨時間的變化關系。第二,讓學生了解三角函數的周期性。三角函數具有周期性,即在一個周期內,函數的取值是重復出現的。例如,正弦函數和余弦函數的取值都以2π為周期。第三,讓學生了解三角函數的奇偶性。三角函數具有奇偶性,即在一個周期內,函數的取值是奇數還是偶數。例如,正弦函數和余弦函數的取值都是偶數。第四,讓學生了解三角函數的振幅和相位。三角函數具有振幅和相位,即在一個周期內,函數的取值的大小和初始位置。例如,正弦函數和余弦函數的取值都是以振幅和相位為參數的。第五,讓學生將以上知識點整合成一個認知圖式,從而更好地掌握和應用三角函數的概念。例如,教師可讓學生畫出正弦函數和余弦函數的圖象,并觀察它們的周期性、奇偶性和振幅等性質。

四、注意事項

APOS理論操作性強,可以指導教師設計符合學生認知規律的探究活動,幫助學生對概念學習進行自主探究。[4]然而,如何將其有效地應用于實際教學,還需進一步探討和研究。為提升實際應用成效,具體踐行過程中還應著重注意把握以下三點問題。

(一)重視概念的形成階段

APOS理論認為,概念的形成階段是概念教學的基礎和前提,能夠促進之后的數學學習。因此,教師需要重視概念的形成階段,引導學生能夠通過自主學習思考和解決問題,使學生獲得學習數學的自豪感。在概念形成階段,教師需要鼓勵學生勇于面對問題,敢于質疑,通過分析和探索,逐步理解和認識數學概念。這樣不僅可讓學生掌握數學知識,還能夠培養學生的數學思維和解決問題的能力。在概念教學中,教師可設計一些具有挑戰性的問題,引導學生進行思考和探索,提高學習數學的積極性。此外,教師還可通過一些數學活動,如數學實驗、數學建模等,讓學生在實際操作中體驗數學概念的形成和應用,更好地理解和掌握數學知識。

(二)強調學生的主體作用

在高中數學概念教學中,教師需以學生為中心,引導學生進行自主學習和探索,讓學生主動參與概念的形成過程。首先,教師需了解學生的認知水平和興趣愛好,以便更好地引導學生進行自主學習。教師可根據學生的實際情況,設計出適合學生的教學方案,讓學生在輕松愉快的氛圍中學習。其次,教師需引導學生進行自主學習和探索。教師可讓學生通過自己的操作、過程、對象和圖示學習概念,讓學生主動參與到概念的形成過程中。例如,在講解三角函數的概念時,教師可引導學生主動測量教室的長度、高度、寬度等數據,計算出三角函數的值,從而更好地理解三角函數的概念。最后,教師需給予學生反饋和評價。教師可根據學生的表現,適當地表揚和鼓勵學生,讓學生感受到教師的認可和肯定,提高學生的自信心和學習積極性。

(三)注重概念的應用階段

教師需要注重概念的應用階段,通過引導學生解決實際問題,讓學生更好地理解和掌握高中數學概念,提高其數學應用能力。在概念的應用階段,教師可采取以下措施。第一,創設問題情境。教師可根據所學概念,創設相應的問題情境,讓學生在實際問題中應用所學概念。例如,在學習“函數的單調性”時,教師可讓學生通過觀察函數圖象,分析函數在某一區間內的單調性,從而解決實際問題。第二,引導學生探究。教師需注重學生的探究過程,引導學生自主探究問題的解決方法。例如,在學習“三角函數的圖象”時,可讓學生通過觀察三角函數的圖象,探究三角函數的性質,從而解決實際問題。第三,幫助學生總結。教師需要幫助學生總結所學知識,形成知識體系。例如,在學習“導數的應用”時,可讓學生總結導數的應用范圍、導數的計算方法,以及導數在解決實際問題中的應用等,從而更好地掌握所學知識。

五、結語

在高中數學概念教學中應用APOS理論具有重要意義。通過APOS理論的應用,學生可以更好地理解數學概念,提高數學能力和素養。因此,教師在具體的概念教學過程中,應注重操作階段、過程階段、對象階段及圖式階段,采用豐富的教學方法。除此之外,在數學概念教學中應用APOS理論時,還需要重視概念的形成階段,強調學生的主體作用,注重概念的應用階段,更好地促進學生的數學學習,提高其數學能力和素養。將APOS理論應用于數學概念教學,需要教師在實際教學中進行深入研究和探索,根據具體的教學內容和學生的實際情況靈活運用,以達到更好的教學效果。同時,教師也需要對學生進行適當的引導和鼓勵,激發他們的學習熱情和主動性,推動學生在數學學習中的全面發展。