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判斷函數(shù)單調(diào)性的三種策略

2023-04-22 11:44:00吳靜怡
數(shù)學(xué)之友 2023年19期

吳靜怡

摘?要:函數(shù)的重要性質(zhì)之一就是單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用廣泛,利用函數(shù)單調(diào)性對(duì)解決某些數(shù)學(xué)問題也有“奇效”,故而函數(shù)單調(diào)性也一直是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn),常作為解題中至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn).如何判斷函數(shù)的單調(diào)性也是很多學(xué)生面臨的問題,故本文結(jié)合具體例題來介紹三種常見的解題思路:利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、利用導(dǎo)數(shù)判斷、利用“同增異減”規(guī)律判斷.

關(guān)鍵詞:函數(shù)問題;單調(diào)性;判斷技巧

1?利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷

定義是解決問題的最基本方式,判斷函數(shù)的單調(diào)性也是如此,對(duì)一部分函數(shù)而言,利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性十分簡(jiǎn)單.函數(shù)單調(diào)性的概念是:在函數(shù)f(x)的定義域I的某個(gè)子集D內(nèi)取兩個(gè)自變量x1、x2,當(dāng)x1<x2,則有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減).解答這類問題,解題思路一般為:① 在區(qū)間D內(nèi)任取兩個(gè)自變量x1、x2,令x1<x2;② 求f(x1)-f(x2),并將上式轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)因式的乘積或商的形式;③ 根據(jù)因式的大小判斷f(x1)-f(x2)的符號(hào),最后得出結(jié)論.

3?利用“同增異減”規(guī)律判斷

判斷形如f[g(x)]的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是判斷函數(shù)單調(diào)性問題中較為復(fù)雜的一類,對(duì)于這一類問題要注意三個(gè)點(diǎn),一是要注意函數(shù)的定義域,二是要注意復(fù)合函數(shù)中內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)性,三是要利用“同增異減”規(guī)律判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.“同增異減”就是指當(dāng)內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)性一致時(shí),則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);反之,當(dāng)內(nèi)、外函數(shù)單調(diào)性不一致時(shí),則復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).解答這類問題,解題思路一般為:① 分別判斷內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)性;② 利用“同增異減”規(guī)律判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

典例1:求函數(shù)y=-x2+4x-3的單調(diào)區(qū)間.

思路分析:本題就是典型的f[g(x)]的復(fù)合函數(shù),需分別找出內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,當(dāng)區(qū)間相同且單調(diào)性一致時(shí),函數(shù)y=-x2+4x-3在此區(qū)間上就是增函數(shù),當(dāng)區(qū)間相同但單調(diào)性不一致時(shí),函數(shù)y=-x2+4x-3在此區(qū)間上就是減函數(shù).

除此之外,還可以利用圖象的直觀性判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性等.等.總而言之,在求解函數(shù)的值域、數(shù)列、最值等問題時(shí),函數(shù)的單調(diào)性發(fā)揮著巨大的作用,因此穩(wěn)固掌握函數(shù)的單調(diào)性及其判斷單調(diào)性的方法能夠幫助學(xué)生快速求解.本文提供了三種求函數(shù)單調(diào)性問題的解題思路和應(yīng)用步驟:利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、利用導(dǎo)數(shù)判斷、利用“同增異減”規(guī)律判斷.不同思路對(duì)應(yīng)解題方式各不相同,有助于學(xué)生快速采取正確合理的思路解答這一類問題,提高解題的效率.

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