判斷函數(shù)單調(diào)性的三種策略

吳靜怡

摘?要：函數(shù)的重要性質(zhì)之一就是單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用廣泛，利用函數(shù)單調(diào)性對(duì)解決某些數(shù)學(xué)問題也有“奇效”，故而函數(shù)單調(diào)性也一直是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)，常作為解題中至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn).如何判斷函數(shù)的單調(diào)性也是很多學(xué)生面臨的問題，故本文結(jié)合具體例題來介紹三種常見的解題思路：利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、利用導(dǎo)數(shù)判斷、利用“同增異減”規(guī)律判斷.

關(guān)鍵詞：函數(shù)問題；單調(diào)性；判斷技巧

1?利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷

定義是解決問題的最基本方式，判斷函數(shù)的單調(diào)性也是如此，對(duì)一部分函數(shù)而言，利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性十分簡(jiǎn)單.函數(shù)單調(diào)性的概念是：在函數(shù)f（x）的定義域I的某個(gè)子集D內(nèi)取兩個(gè)自變量x1、x2，當(dāng)x1＜x2，則有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）.解答這類問題，解題思路一般為：① 在區(qū)間D內(nèi)任取兩個(gè)自變量x1、x2，令x1＜x2；② 求f（x1）-f（x2），并將上式轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)因式的乘積或商的形式；③ 根據(jù)因式的大小判斷f（x1）-f（x2）的符號(hào)，最后得出結(jié)論.

3?利用“同增異減”規(guī)律判斷

判斷形如f［g（x）］的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是判斷函數(shù)單調(diào)性問題中較為復(fù)雜的一類，對(duì)于這一類問題要注意三個(gè)點(diǎn)，一是要注意函數(shù)的定義域，二是要注意復(fù)合函數(shù)中內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)性，三是要利用“同增異減”規(guī)律判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.“同增異減”就是指當(dāng)內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)性一致時(shí)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；反之，當(dāng)內(nèi)、外函數(shù)單調(diào)性不一致時(shí)，則復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).解答這類問題，解題思路一般為：① 分別判斷內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)性；② 利用“同增異減”規(guī)律判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

典例1：求函數(shù)y=-x2+4x-3的單調(diào)區(qū)間.

思路分析：本題就是典型的f［g（x）］的復(fù)合函數(shù)，需分別找出內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)區(qū)間相同且單調(diào)性一致時(shí)，函數(shù)y=-x2+4x-3在此區(qū)間上就是增函數(shù)，當(dāng)區(qū)間相同但單調(diào)性不一致時(shí)，函數(shù)y=-x2+4x-3在此區(qū)間上就是減函數(shù).

除此之外，還可以利用圖象的直觀性判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性等.等.總而言之，在求解函數(shù)的值域、數(shù)列、最值等問題時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性發(fā)揮著巨大的作用，因此穩(wěn)固掌握函數(shù)的單調(diào)性及其判斷單調(diào)性的方法能夠幫助學(xué)生快速求解.本文提供了三種求函數(shù)單調(diào)性問題的解題思路和應(yīng)用步驟：利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷、利用導(dǎo)數(shù)判斷、利用“同增異減”規(guī)律判斷.不同思路對(duì)應(yīng)解題方式各不相同，有助于學(xué)生快速采取正確合理的思路解答這一類問題，提高解題的效率.

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