例析構造法在高中數(shù)學解題中的應用

趙松金

摘?要：構造法是數(shù)學解題的重要手段之一.科學、合理地融入構造法，可促使抽象問題具體化、繁雜題目簡單化，還可將題目中的未知量轉(zhuǎn)化為已知量，有效提升了學生的解題效率、準確率，強化了學生的解題自信心和動機.本文就立足于此，以不同類型的數(shù)學題目解答為載體，對構造法的具體應用展開了詳細的探究.

關鍵詞：構造法；高中數(shù)學；解題教學；數(shù)學思維

按照最新版的《普通高中數(shù)學課程標準》中的要求，培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力是課堂教學的重中之重.學生的數(shù)學解題能力，體現(xiàn)了數(shù)學基礎知識的掌握情況，以及數(shù)學思維的發(fā)展情況，是數(shù)學核心素養(yǎng)的真實寫照.鑒于高中數(shù)學特點，學生常常會遇到一些傳統(tǒng)解題思路無法解答的題目.鑒于此，即可借助構造解題法，以原題目中的已知條件、所求結論為切入點，構造出輔助性的內(nèi)容，將原來題目中的已知條件和結論聯(lián)系起來，以此在新的題目關系中形成明確的解題思路.另外，構造法不僅僅是一種典型的解題方法，也是數(shù)學思想的凝聚點，涵蓋了類比思想、歸納思想、轉(zhuǎn)化思想等，使得學生在應用構造法的過程中，促進了數(shù)學知識的遷移、數(shù)學思維的發(fā)展等，真正促進了核心素養(yǎng)在課堂上的落地生根.

1?構造法與高中數(shù)學解題

1.1?構造法內(nèi)涵

在正常的解題中，基本上都是按照正向思維的方式，以題目中的已知條件作為起點，借助已知條件逐漸逼近所求的未知結論，最終得到問題的解答.但在實際解題中，學生也常常會遇到一些特殊的問題，正向思維解題路徑常常受阻.此時，唯有轉(zhuǎn)變解題思維，嘗試換一個新的角度思考和分析問題.構造法就是一種非常規(guī)的解題思維模式.具體來說，構造法就是依據(jù)題干中的信息，構造出合適的對象，最終通過有效的解題步驟進行解題.在數(shù)學解題中，構造法就是對原問題中的已知條件、結論展開充分、細致地分析，之后依據(jù)原問題中的數(shù)量、結構、條件、結論之間的關系特征展開聯(lián)想，利用與其相契合的數(shù)學模型，構造出函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、向量或者圖形等，最終將原題目中的已知條件和所求結論連接起來，以便于數(shù)學問題的解答.

可以說，構造法是一種創(chuàng)造性的問題解決方法，通過構造法在解題中的應用，可將題目中的未知條件轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎獥l件，將隱藏的條件可視化.有效消除了學生在解題中的畏難情緒，強化了學生的解題思路，使其在訓練的過程中，逐漸提升了自身的數(shù)學問題解答能力.

1.2?構造法解題原則

原則一：相似性.主要是在解決實際問題時，對題目中的已知條件、所求結論展開分析，明確條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，基于聯(lián)想判斷其是否與所學的問題、公式、形式相一致.最后根據(jù)基本的對象構造出相契合的數(shù)學模型，最終完成問題的解答.

原則二：直觀性.在利用構造法解答數(shù)學問題時，根據(jù)問題的結構，對題目中的條件和結論展開詳細地觀察、分析，并構造出與原問題相類似的數(shù)學形式或者數(shù)學模型，以此作為橋梁，將題目中的條件和結論聯(lián)系起來，進而完成問題的解答.

原則三：等價性.主要是將原問題中的條件進行轉(zhuǎn)化，使得新形式與之相等價，并將原問題中的條件和結論置于構造出的新形式下進行解答［1］.

2?構造法在高中數(shù)學解題中的具體應用

2.1?構造函數(shù)解題

一些非典型的數(shù)學問題，可根據(jù)問題的條件構造出一個新的函數(shù)關系，進而將復雜的數(shù)學問題進行轉(zhuǎn)化，使其成為學生所熟悉的函數(shù)關系，進而運用函數(shù)概念、定義、性質(zhì)、圖象等知識點進行解答.

例1?在實數(shù)范圍內(nèi)解（x²-x+1）⁵-x⁵+4x²-8x+4=0.

解析：該方程屬于高次方程，已超出高中生所學范圍.同時，該方程也極為復雜，傳統(tǒng)正向解題思維不可取.基于此，就可通過方程與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，通過構造法，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識，并利用函數(shù)的奇偶性進行分析、解答：

將原方程變形為（x²-x+1）⁵+4（x²-x+1）=x⁵+4x.

令f（t）＝t⁵+4t，則f（t）在Ｒ上為增函數(shù)，且方程可化為

f（x²-x+1）=f（x），所以x²-x+1=x，解得x=1.

例2：已知方程x²-（2a+1）sin（cosx）+1-4a²=0存在唯一實數(shù)解，求實數(shù)a的值.

解析：這一題目為二次方程，但是方程中含有未知參數(shù)，并融入了三角函數(shù)的問題，存在一定的綜合性，給學生增加了解題難度.當正向解題思維受阻時，可結合題目中的已知條件，運用構造法，利用函數(shù)關系將題目中的已知條件和未知參數(shù)表達出來，進而從另一個角度尋求出解題的思路：

令f（x）=x²-（2a+1）sin（cos x）+1-4a².

因為f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，

假設x₀為f（x）=0的解，因此-x₀也為f（x）=0的解.

根據(jù)題目已知條件，得出f（x）=0存在唯一實數(shù)解，所以-x₀=x₀，則x₀=0.

即f（0）=0₂-（2a+1）sin（cos₀）+1-4a2=0，

經(jīng)化簡，得（2a+1）（1-2a-sin 1）=0，

解方程，得a=-12或者a=1-sin 12.

2.2?構造方程解題

數(shù)學知識存在極強的系統(tǒng)性，方程常常與數(shù)量關系、函數(shù)知識相連.在面對一些非典型問題時，可基于方程與其他知識的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)題目中已知條件構造出新的方程，以此打開解題的思路，獲取更為便捷的解題方案.

例3?求函數(shù)y=2x+1/x²+x+1的值域.

解析：鑒于本題目的特點，常規(guī)的解題思維顯然存在極大的難度.鑒于此，即可借助構造解題法，基于函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，將其構造成為方程進行解答：

在函數(shù)兩邊同時乘以（x²+x+1），即可得到一個關于x的方程，y（x²+x+1）=2x+1

，即yx²+（y-2）x+y-1=0.

由于該方程在R范圍內(nèi)有解，則可通過y的討論，對原函數(shù)的值域進行求解：

當y=0時，則有x=-12，該方程的解符合題目條件.

當y≠0時，則有Δ≥0，即3y2≤4，

解得-233≤y≤233且y≠0.綜上，

函數(shù)的值域為-233，233.

例4?已知a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的取值范圍.

解析：根據(jù)已知條件分析，可利用題目中的結構和數(shù)量關系，構造出等量的方程式，借助變形恒等式，將問題進行轉(zhuǎn)化.

因為a+b+c=1，所以a+b=1-c，即（a+b）2=（1-c）2，

將a2+b2+c2=1代入其中，即可得出ab=c2-c.

因為a，b是方程x2+（c-1）x+（c2-c）=0兩個不等的實數(shù)根，

所以Δ＞0，即Δ=（c-1）2-4（c2-c）=-3c2+2c+1＞0，

解不等式，得-13＜c＜1，所以-13＜1-（a+b）＜43.

又a2+b2+c2=1，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1，

所以1+2（ab+bc+ac）=1，即ab+bc+ac=0.

又a，b，c不同號，即c＜0，

所以a+b=1-c＞1，即1＜a+b＜43［2］.

2.3?構造數(shù)列解題

數(shù)列是高中數(shù)學知識體系中的重要組成，也是考試的熱點，在各類考試中尤為常見.在面對一些復雜的數(shù)列題目時，傳統(tǒng)解題思維常常受到阻礙，唯有科學融入構造法，才能將原本繁瑣的題目進行簡單化，以便于學生形成明確的解題思路.

例5?求證：1n+1+1n+2+…+13n+1＞1，且n為正整數(shù).

解析：鑒于本題目特點，直接按照常規(guī)思維進行解答十分復雜，即可利用題目中“n為正整數(shù)”這一條件，依據(jù)所要證明不等式的結構展開聯(lián)想，使其與數(shù)列知識相連，并基于構造法形成新的解題思路：

令an=1n+1+1n+2+…+13n+1，則an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4，

則an+1-an=13n+4+13n+3+13n+2-1n+1=2（3n+2）（3n+3）（3n+4）.

因為n為正整數(shù)，

所以an+1-an＞0，{an}為遞增數(shù)列.

又a1＞1，所以1n+1+1n+2+…+13n+1＞1成立.

例6?已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，且S4=4，當n≥2時，則an=12（Sn+Sn-1），求Sn的表達式.

解析：按照正向解題思維，學生需要對數(shù)列的前幾項和求解條件展開分析，進而利用通項公式將Sn求出來.但針對本題來說，正向解題思維面臨著較大的難度.鑒于此，即可融入構造的思想，對本題目的流程和思路進行簡化，最終達到高效解題的目的.

根據(jù)已知條件，得當n≥2時，an=Sn-Sn-1=12（Sn+Sn-1），

即2（Sn-Sn-1）=Sn+Sn-1，所以Sn-Sn-1=12.

又S4=4，S3=94，S2=1，S1=14，

所以Sn是等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項為12，公差為12，

所以Sn=14n2［3］.

2.4?構造向量解題

在高中數(shù)學中，向量不僅僅是一個重要的知識點，還是一種非常重要的解題工具，并且常常與其他知識相融合.鑒于此，在解答部分復雜數(shù)學問題時，即可運用構造向量的方式，將抽象問題直觀化、函數(shù)問題圖形化，最終高效解答相關題目.

例7?函數(shù)y=2x+1+4-x，求其最大值是多少.

解析：這是一道典型的函數(shù)問題，按照正向的解題思維，學生將要面臨著繁重的計算步驟，極容易產(chǎn)生各種錯誤.鑒于此，在優(yōu)化解題時，唯有立足于函數(shù)與向量知識的內(nèi)在聯(lián)系，通過構造向量的方式進行解答.

假設向量m=（2，1），向量n=（x+1，4-x）（-1≤x≤4），根據(jù)向量知識得出m·n≤｜m｜·｜n｜，

代入坐標還可得出y=m·n≤5，

所以當x=3時，y=2x+1+4-x存在最大值，且ymax=5.

例8?已知α，β∈0，π2，且滿足cosα+cosβ-cos（α+β）=32，求α，β值.

解析：這是一道典型的三角函數(shù)問題，也是高考中比較重要的知識點.按照正向解題思維，學生需要對題目中的已知條件進行展開，如此學生將面臨著繁重的運算，無法高效解答出α，β的值.鑒于此，即可引導學生結合已知條件展開聯(lián)想，通過構造向量的方式，形成新的解題思路.

因為cosα+cosβ-cos（α+β）=32，

所以cosα+cosβ-cosαcosβ+sinαsinβ=32，

即sinαsinβ+（1-cosα）cosβ=32-cosα，

令m=（sinα，1-cosα），n=（sinβ，cosβ），

則m·n=32-cosα.因為｜m·n｜≤｜m｜·｜n｜，

所以32-cosα=｜m·n｜≤｜m｜·｜n｜=sin2α+（1-cosα）2·sin2β+cos2β=2-2cosα，

所以32-cosα2≤2-2cosα，化簡，得cosα-122≤0，

所以cosα=12，則α=π3，根據(jù)對稱性，得β=α=π3.

2.5?構造幾何圖形解題

在高中數(shù)學解題中，部分題目十分復雜，很難厘清題目中的關系.鑒于此，即可根據(jù)數(shù)形結合思想，結合題目中的已知條件與信息，構造相關的圖形，以此將題目中的數(shù)據(jù)關系呈現(xiàn)出來，并形成新的解題思路.

例9?若0≤x≤4，求1+x2+4+（4-x）2的最小值.

解析：經(jīng)已知條件分析，可結合數(shù)形結合的思想，結合題目中已知條件，根據(jù)“兩定點之間的距離”，構造相關的幾何圖形，進而在圖形的輔助下解答題目.

結合題目已知條件構造圖形（如圖1所示），假設AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，令AC=1，BD=2，P是AB上任意一點，設AP=x，則PC=1+x2，PD=4+（4-x）2.如此，即可將原題目中的問題轉(zhuǎn)化為：當P在何處，PC+PD存在最小值？

根據(jù)所學的幾何知識，設點C

關于AB的對稱點為點C′，連接C′D，并與AB相交于點P.結合已知條件，得出△PAC′∽△PBD，

則有x4-x=12，解方程得x=43，此時PC+PD存在最小值等于5.

故1+x2+4+（4-x）2的最小值為5.

例10?已知a＞0，b>0，a+b=1，求證：2＜a+12+b+12≤2.

解析：針對這一問題，正向解題思維只會導致學生受阻，難以找到問題的解答方式.此時，結合題目中的條件a+b=1，a+12+b+12，即可采用構造圖形的方式，將題目中已知條件和所求結論結合起來.

因為a+b=1，所以a+12+b+12=2，即a+122+b+122=（2）2.

根據(jù)這一公式，即可構造出直角三角形（如圖2所示），即可結合三角形“兩邊之和大于第三邊”的定理，得出a+12+b+12＞2.

又a+12=2cosα，b+12=2sinα，

所以a+12+b+12=2（cosα+sinα）=2·2sinα+π4≤2，

即2＜a+12+b+12≤2成立［4］.

3?應用構造法解答數(shù)學問題的注意事項總結

構造法的內(nèi)涵已經(jīng)在高中數(shù)學解題中得到了廣泛地應用，但是當前高中生的構造應用能力低下，教師在日常教學中，應關注方法引導，幫助學生理解構造法的本質(zhì)內(nèi)涵，并將其靈活應用到日常解題中.首先，基于構造法的內(nèi)涵，在日常教學中應強化學生的觀察能力.因為構造法屬于一種創(chuàng)新思維，學生在解題之前必須要運用所學的知識，對題目內(nèi)容進行仔細觀察、分析，明確知識與知識的內(nèi)在聯(lián)系，進而為應用構造法解題奠定堅實的基礎.這就要求在日常教學中，教師應借助適當?shù)慕虒W情境，將數(shù)學定理、數(shù)學知識滲透其中，或者運用趣味性的聯(lián)系，提升學生的觀察能力.其次，培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力.構造法是思維深化的過程，屬于一種創(chuàng)新思維解答問題的模式.這就要求教師在日常教學中，引導學生多角度思考問題，并經(jīng)歷假設分析、舉例驗證、反向推理等思維過程，使得學生在學習中逐漸打破定勢思維的束縛，為應用構造法奠定堅實的基礎.再次，培養(yǎng)學生的舉一反三能力.構造法要求學生具備系統(tǒng)化的知識體系，由此展開聯(lián)想，最終構造出新的關系，以便于原問題的解答.鑒于此，教師在日常教學中，應全面加強舉一反三訓練，增強學生的知識靈活運用能力.最后，還應及時進行總結和反思，以便于學生歸納具體的解題步驟，并逐漸提升自身的構造法解題能力［5］.

4?結束語

綜上所述，基于數(shù)學學科性質(zhì)來說，在數(shù)學學習中不僅僅要善于解答一般的、典型的題目，還應借助獨立思考、轉(zhuǎn)變思路，解決一些非典型的題目.構造法在解答非典型題目中尤為常見，常常被應用到各類問題中.鑒于此，教師在日常教學中，必須要結合構造法的內(nèi)涵，借助針對性的練習，使得學生在應用構造法解題中，循序漸進提升自身的數(shù)學解題能力.

參考文獻：

［1］ 莊素慧.基于“構造法”的高中數(shù)學解題思路探索［J］.數(shù)理化解題研究，2022（31）：5557.

［2］ 張宏敏.應用構造法在高中數(shù)學中的解題策略［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（18）：4951.

［3］ 劉海杰.構造法在高中數(shù)學解題中的運用措施分析［J］.數(shù)理化解題研究，2022（12）：1416.

［4］ 顧冬梅.構造法在高中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（6）：23.

［5］ 丁愛年.高中數(shù)學解題教學中構造法運用分析［J］.數(shù)學之友，2022，36（4）：2527.