探析水銀外溢問題的通解

■湖南省株洲市第二中學 朱興中

題目：如圖1所示,長度為Lcm,粗細均勻的玻璃管開口向上,豎直放置,管內用長度為hcm的水銀柱封閉一定質量的理想氣體,氣體的初始長度為L0cm,溫度為T0K。設大氣壓強為p0cmHg,若使水銀柱全部溢出,則應對氣體加熱到多高的溫度？

圖1

分析：在水銀柱的上端面到達管口之前,氣體發生的是等壓變化,根據蓋-呂薩克定律(C為常數)可知,隨著氣體體積的增大,其溫度也一定升高。從水銀柱上端面到達管口位置開始考慮,當水銀柱的溢出長度為xcm 時,因其溫度,即T∝pV,故接下來只需要考慮pV的變化即可。因為pV=(p0cmHg+hcmHg-xcmHg)(Lcmhcm+xcm),其中0≤x≤h,所以pV-x圖像為開口向下的拋物線,零點x1=h-L＜0,x2=p0+h＞h,對稱軸,它的三種可能性如圖2甲、乙、丙所示。

圖2

在圖2 甲中,x0≤0,即L≥p0+2h,在0≤x≤h的范圍內圖像遞減,故從x=0狀態氣體開始降溫,水銀自動溢出,須加熱到的最高溫度;在圖2 乙中,0＜x0＜h,即p0＜L＜p0+2h,在0≤x≤h的范圍內圖像先遞增再遞減,故從x=x0狀態氣體開始降溫,水銀自動溢出,須加熱到的最高溫度;在圖2 丙中,x0≥h,即L≤p0,在0≤x≤h的范圍內圖像遞增,故須一直加熱到水銀柱的下端面到達管口位置為止,此時的溫度。

例1如圖3所示,將長度為L,粗細均勻的玻璃管開口向上,豎直放置,管內用長度h=5 cm 的水銀柱封閉一定質量的理想氣體,氣體的初始長度L0=50 cm,溫度T0=300 K。設大氣壓強p0=75 cmHg,試求下列三種情景下使水銀全部溢出所需加熱到的最高溫度Tmax。

圖3

①L=90 cm;②L=80 cm;③L=70 cm。

解析：①當L=90 cm 時,對應L＞p0+2h的情景,此時x0=-2.5 cm＜0,即只需加熱到水銀柱的上端面到達管口即可,此后氣體降溫,水銀自動溢出,故須加熱到的最高溫度。

②當L=80 cm 時,對應p0＜L＜p0+2h的情景,此時x0=2.5 cm,即水銀柱溢出2.5 cm 時達到最高溫度,此后氣體降溫,水銀自動溢出,故須加熱到的最高溫度Tmax=。

③當L=70 cm 時,對應L＜p0的情景,此時x0=7.5 cm＞5 cm,即需要一直加熱到水銀柱的下端面到達管口為止,故須加熱到的最高溫度。

例2如圖4所示,粗細均勻的U 型玻璃管豎直放置(底端水平),左端封閉,右端用一段水銀柱封閉一定質量的理想氣體,溫度T0=300 K。玻璃管左右兩端高度相同,圖中L0=20 cm,L1=30 cm,L2=10 cm,h=10 cm。若大氣壓強p0=75 cmHg,現在均勻加熱管內封閉氣體,試求使水銀全部溢出所需加熱到的最高溫度Tmax。

圖4

解析：設溢出水銀柱長度為x時,玻璃管內封閉氣體的溫度為T,玻璃管的橫截面積為S,根據理想氣體狀態方程得數學表達式代入數據解得因此當x=7.5 cm 時,Tmax=450.3 K,此后水銀自動溢出,氣體溫度開始降低。

例3如圖5所示,長度為L,粗細均勻的玻璃管開口向下,豎直放置,管內用長度為h的水銀柱封閉一段長為L0、溫度為T0的空氣柱。設大氣壓強為p0,均勻加熱管內封閉氣體,試求使水銀柱全部溢出所需加熱到的最高溫度Tmax。

圖5

解析：設溢出水銀柱長度為x時,玻璃管內封閉氣體的溫度為T,玻璃管的橫截面積為S,根據理想氣體狀態方程得 數 學 表 達 式解得T=,表明隨著x(x＞0)的增加,T也增大。因此當x=h時,氣體的溫度最高,且。

小結:求解水銀外溢問題的基本思路是從最根本的理想氣體狀態方程入手,準確描述各種情景下壓強p和體積V的特征,通過合乎物理條件的數學分析,求得正確答案。

拓展：若將玻璃管內長度為h的水銀(密度為ρ)換成另一種密度為ρ'的液體,則描述其產生壓強對應的高度應換算成,但描述其對體積影響的長度仍為h;若玻璃管與水平面成夾角θ放置,則描述水銀柱產生壓強對應的高度應換算成h'=hsinθ,但描述其對體積影響的長度仍為h。