以透明體為載體的幾何光學問題賞析

■湖北省巴東縣第三高級中學 胡 松

縱觀歷年來的高考試卷可以發現,高考對幾何光學的考查多以不同形狀的透明體為載體,考查光的反射、折射或全反射。求解涉及光的反射和折射的問題時,準確畫出光路圖并確定入射角、反射角、折射角是前提,熟練運用反射定律、折射定律和幾何關系列式是關鍵;求解涉及“最大”“最小”“恰好”等關鍵詞的臨界問題時,確定光束是從光密介質射入光疏介質還是從光疏介質射入光密介質是前提,找出恰好發生全反射或有最大、最小入射角的邊緣光線是關鍵。下面以光束在幾種常見的透明體中的傳播問題為例,剖析幾何光學問題的求解策略,供同學們參考。

一、光線在長方體玻璃磚中的傳播問題

如圖1所示,光線從長方體玻璃磚的上表面射入,從與它平行的下表面射出時,光線在玻璃磚的上下表面分別發生折射現象,根據折射定律得n=,根據幾何關系得θ2=θ3,因此θ1=θ4,說明入射光線和出射光線是平行的,即光線從長方體玻璃磚相互平行的兩個表面射入和射出時,不改變入射光線的性質和方向,只使光線向偏折方向平行移動。

圖1

例1如圖2所示,在折射率為n、厚度為d的長方體玻璃磚上方的空氣中有一點光源S,從光源S發出的光以角度θ入射到玻璃磚上表面,經過玻璃磚后從其下表面射出。假設光在空氣中的傳播速度為c。

圖2

(1)若以角度θ入射到玻璃磚上表面的光從光源S傳播到玻璃磚上表面所用的時間與在玻璃磚中傳播的時間相等,則光源S到玻璃磚上表面的垂直距離l應是多少？

(2)若玻璃磚足夠長,折射率n= 2,厚度d= 3 cm,從光源S發出的光以角度θ=45°入射到玻璃磚上表面,則這束光能否穿過玻璃磚從其下表面射出？ 若不能,請說明理由;若能,請計算這束光的偏移量s(結果可用根式表示)。

解析：(1)設從光源S發出的光射到玻璃磚上表面時的折射角為r,則光從光源S到玻璃磚上表面的傳播距離光從光源S傳播到玻璃磚上表面所用的時間t1=,光在玻璃磚中的傳播距離光在玻璃磚中的傳播時間又有t1=t2,即根據折射定律得n=解得。

(2)當從光源S發出的光在玻璃磚下表面上發生全反射時,光不能穿過玻璃磚從其下表面射出。設光在玻璃磚下表面發生全反射的臨界角為C,則,即C=45°。光在玻璃磚上表面發生折射時,根據折射定律得, 解得,即r=30°。因為r＜C,所以這束光能夠穿過玻璃磚從其下表面射出。這束光從玻璃磚下表面射出時的出射光與在玻璃磚上表面入射時的入射光平行,根據幾何關系得偏移量s=,解得。

二、光線在三棱鏡中的傳播問題

如圖3所示,一束光從三棱鏡的一個側面入射,在三棱鏡的折射率大于其周圍介質折射率的情況下,這束光穿過三棱鏡后向底邊方向偏折。若入射光是一束白光,則它經過三棱鏡后發生色散現象,可以在光屏上形成七種單色光的光譜。七種單色光在同種介質中的偏折規律如表1所示。

圖3

表1

例2如圖4所示,等邊三角形ABC為某三棱鏡的截面,邊長為L,已知光在真空中的傳播速度為c。

圖4

(1)若一束足夠強的細光束從AB邊中點與AB邊成α=30°角由真空射入三棱鏡,從BC邊射出的光與BC邊的夾角β=30°,求該三棱鏡的折射率n和光在三棱鏡中的傳播時間。

(2)若一束黃色光從AB邊中點與AB邊成α=40°角由真空射入三棱鏡,則恰在BC邊觀察不到有光射出。若將黃色光先后換成紅色光和紫色光,讓它依然從AB邊中點與AB邊成α=40°角由真空射入三棱鏡,則在BC邊能否觀察到有光射出？ 為什么？

解析：(1)作出光路圖如圖5所示,根據幾何關系得入射角i1=90°-α=60°,根據折射定律得光在BC邊上發生折射現象時,根據折射定律得,其中r2=90°-β=60°,則i2=r1。根據幾何關系得r1=i2=30°,解得。根據幾何關系得光在三棱鏡中的傳播距離,又有光在三棱鏡中的傳播速度,因此光在三棱鏡中的傳播時間。

圖5

(2)黃色光從AB邊中點與AB邊成α=40°角由真空射入三棱鏡,恰在BC邊觀察不到有光射出,說明黃色光在BC邊上發生全反射。根據紅橙黃綠青藍紫七種單色光在同一介質中的折射率由小變大,臨界角由大變小可知,將黃色光換成紅色光,紅色光在BC邊上的入射角將小于其臨界角,可以觀察到有光射出;將黃色光換成紫色光,紫色光在BC邊上的入射角將大于其臨界角,觀察不到有光射出。

三、光線在球形透明體中的傳播問題

球形透明體的截面如圖6所示,圓心為O,當一束光在球形透明體表面發生反射和折射時,其法線沿入射點與球心O的連線方向,這束光經過球形透明體后的方向發生改變。

圖6

例3(2022 高考河北卷)如圖7所示,一個半徑為R的透明介質球的截面是圓心為O的圓形。球面內側單色點光源S發出的一束光從A點射出,入射光線SA與直徑SC間的夾角θ=30°,出射光線AB與直徑SC平行。光在真空中的傳播速度為c。求:

圖7

(1)該透明介質球的折射率。

(2)從光源S發出的光線經兩次全反射回到S點所用的時間。

(3)從光源S發出的光線經多次全反射回到S點所用的最短時間。

解析：(1)過A點作法線,如圖8所示,設光線在A點的入射角為i1,折射角為i2,根據幾何關系得i1=θ=30°,i2=60°,根據折射定律得,解得。

圖8

(2)設從光源S發出的光線在透明介質球中發生全反射的臨界角為C,則,光在透明介質球中的傳播速度。作出從光源S發出的光線經兩次全反射回到S點的光路圖,如圖9所示,則光路為圓的內接正三角形。根據幾何關系得正三角形的邊長,又有3x=vt,解得。

圖9

(3)根據幾何關系可知,當θ=45°,即光路為圓的內接正方形時,從光源S發出的光線經多次全反射回到S點所用的時間最短。根據幾何關系得正方形的邊長x= 2R,又有4x=vt,解得。

總結：光射入各種形狀的透明體中,遵守反射定律、折射定律和全反射規律,運用這些規律結合光路中的幾何關系和七色光的偏折規律即可分析處理相關問題。分析處理幾何光學問題的基本思路:(1)判斷光線是從光疏介質進入光密介質還是從光密介質進入光疏介質;(2)判斷入射角是否大于或等于臨界角,明確是否發生全反射現象;(3)畫出反射、折射或全反射的光路圖,必要時還可應用光路的可逆性原理畫出光路圖,結合幾何知識進行推斷和求解。需要特別關注并熟練掌握的是涉及折射率n的關系式,因為折射率n是聯系入射角、反射角、折射角、臨界角、路程、速度、時間等相關物理量的重要橋梁。