巧用“形象思維”,速解液柱(活塞)移動問題

2023-04-25 06:04:08河北省石家莊市鹿泉區第一中學姚翠芳

中學生數理化(高中版.高考理化) 2023年5期

■河北省石家莊市鹿泉區第一中學姚翠芳王愛

理想氣體的狀態分析是高中物理選考部分中非常重要的一個Ⅱ級考點,因為其涉及的知識點可以是單一的理想氣體常見模型,也可以是與各種力學模型的綜合,所以有的試卷中以選擇題的形式呈現,有的試卷中以計算題的形式呈現。在選擇題中,關于判斷玻璃管內液柱移動方向或者汽缸中活塞移動方向的題目花樣很多,分析方法也很多,最常見的分析方法是基于假設法的定性半定量分析,最基礎的求解方法是程序化判斷方法。采用定性半定量分析方法的思維過程比較煩瑣,采用程序化方法分析判斷時需要厘清三個關系(力學上的平衡條件,理想氣體的狀態方程,根據氣體狀態變化示意圖可以找到的幾何關系)。采用這兩種分析方法求解選擇題,會有大材小用之感,費時費力。現在我們借助下面的情境,找出一個簡捷易懂的方法,快速判斷液柱(活塞)移動的方向。

一、生活經驗的啟示

情境Ⅰ：在一個恒溫池中,氣泡由池底慢慢升到水面,仔細觀察可以發現氣泡在上升過程中,體積逐漸變大,到水面時就會破裂。

情境Ⅱ：比較飽滿的氫氣球,在上升的過程中,會越來越飽滿,最終撐破。

這兩個情境的物理本質是一樣的:在溫度不變的情況下,隨著外界壓強的減小,氣體體積不斷增大。不同的是容納氣體的容器,一個是靠一層水包圍的氣泡,一個是氫氣球。我們遇到的物理問題中,容納氣體的容器通常是“玻璃管+液柱”,或“汽缸+活塞”,且在這些模型中只能通過液柱或活塞的移動來實現氣體體積的變化;外界壓強的改變方式比較多,可以是外界壓強直接變大,也可以是注入液體,還可以是推動活塞,還可以是將其按壓到水池深處等。在實際應用中,若利用形象思維,把那些容納氣體的容器想象成氫氣球,則可使得分析過程大大簡化。

二、“形象思維”的建立

例1如圖1所示,一端封閉的玻璃管開口向下豎直倒插在水銀槽中,其位置保持固定,已知封閉端內有少量空氣。若將玻璃管豎直向上緩慢提起(管下端未離開槽內水銀面),則管中在槽內水銀面上方的水銀柱高度h和封閉端內空氣的壓強p的變化情況是( )。

圖1

A.變小,變大 B.變大,變大

C.變大,變小 D.變小,變小

解法1：基于假設法的定性半定量分析。

第一步:溫度保持不變,把玻璃管稍向上提起一段距離,假設管中水銀柱高度不變,則封閉端內空氣柱變長,根據玻意耳定律可知,封閉端內空氣的壓強變小,即p＜p0-ρhg。因此在此假設基礎上水銀柱會向上移。

第二步:假設封閉端內空氣柱的長度不變,則封閉端內空氣的壓強不變,管中水銀柱高度增大,即p＞p0-ρhg。因此在此假設基礎上水銀柱會向下移。

第三步:水銀柱最后平衡,停下來的位置介于第一步和第二步所說的兩種情況之間,即h增大,L也增大,p減小。

解法2：程序化方法分析。

第一步:根據力學平衡條件可知,槽內水銀面處的壓強p+ρgh=p0,因為p0不變,所以p和h一增一減。

第二步:根據玻意耳定律得pSL=C(C為常數),因此p和L一增一減。綜合以上兩式可知,h和L都增大或者都減小。

第三步:根據幾何關系得h+L增大,且增量之和為玻璃管上移的高度,因此h和L只能都增大,則p一定減小。

解法3：形象思維法。

把玻璃管和其內部H+h高度(H為槽內水銀面下方的水銀柱的高度)的水銀柱看成“氫氣球”,將玻璃管豎直向上緩慢提起時,相當于“氫氣球處”(玻璃管口)的壓強減小,因此封閉空氣的體積一定會增大,即L增大,壓強會減小,水銀將從玻璃管中流出,再根據p'+ρhg=p0可知,h增大。

答案：C

小結:按照常規的解法1 和解法2 分析求解,步驟繁雜,稍有不慎,就會陷入混亂狀態;采用形象思維法分析求解,不僅回避了對多種假設條件的分析,而且避免了復雜的關系式的書寫,簡捷易懂。

三、活學活用

1.感悟模型。

例2如圖2所示,玻璃管A和B同樣粗細,玻璃管A的上端封閉,兩管下端用橡皮管連通,兩管中水銀柱的高度差為h,若將玻璃管B慢慢地提起,則( )。

圖2

A.玻璃管A內封閉空氣柱將變長

B.玻璃管A內封閉空氣柱將變短

C.兩管內水銀柱的高度差將增大

D.兩管內水銀柱的高度差將減小

解析：將玻璃管B慢慢地提起,等效于在玻璃管B中加入了少量水銀,致使玻璃管B原水銀面壓強增大,“氫氣球”被壓縮,玻璃管A內封閉空氣柱將變短,根據玻璃管A中空氣的壓強p=p0+ρgh,p增大可知,兩管內水銀柱的高度差h將增大。

答案：BC

小結:本題中橡膠管的長度變化,形狀變化,都對氣體狀態變化問題的研究沒有任何影響,所以大膽地將玻璃管B慢慢地提起等效成向玻璃管B中加入少量水銀,這在一定程度上簡化了思維過程,進而采用形象思維法即可順利解決。

2.大膽等效。

例3如圖3所示,一試管開口朝下插入盛水的廣口瓶中,在某一深度靜止時,管內封閉有一定質量的空氣。若向廣口瓶中緩慢倒入一些水,則試管將( )。

圖3

A.加速上浮

B.加速下沉

C.保持靜止

D.以原靜止位置為平衡位置上下振動

解析：把試管和其內部的水看成“氫氣球”,向廣口瓶中緩慢倒入一些水,試管口處的壓強變大,封閉氣體的體積變小,試管內的水會增加。以試管和其內部的水為研究對象,重力大于浮力,所以試管將加速下沉。

答案：B

小結:本題中試管靜止時受到的浮力等于重力,倒入一些水的效果和將玻璃管緩慢往下按一下的效果相同,都會導致氣體被壓縮,重力大于浮力而加速下沉。

3.靈活應用。

例4如圖4所示,一粗細均勻的U 型玻璃管右側開口向上,豎直放置,左、右兩管中各封閉有一定質量的理想氣體A、B,水銀面a、b間的高度差為h1,水銀柱cd的長度h2=h1,a面與c面恰好處于同一高度。現向右側開口端注入少量水銀達到重新平衡,則( )。

圖4

A.水銀面c下降的高度大于水銀面a上升的高度

B.水銀面a、b間新的高度差等于右管上段新水銀柱的長度

C.封閉氣體A的壓強一定大于外界大氣壓強

D.封閉氣體A的壓強變化量等于封閉氣體B的壓強變化量

解析：先把玻璃管和其內部水銀柱cd看成“氫氣球”,向右側開口端注入少量水銀,水銀面d處的壓強p=p0+ρgh增大,封閉氣體B的體積變小,壓強增大;再把玻璃管和其內部水銀柱ab看成“氫氣球”,封閉氣體B的壓強增大,則封閉氣體A的體積變小,壓強增大;假設封閉氣體A的長度減小了Δh1,封閉氣體B的高度減小了Δh2,那么水銀面c下降的高度為Δh1+Δh2,一定大于水銀面a上升的高度Δh1,選項A 正確。水銀面a、b間新的高度差為2Δh1,假設右管上段新水銀柱的長度為Δh,未注入水銀前,封閉氣體A的壓強pA=p0+ρgh1-ρgh2=p0,注入水銀后,封閉氣體A的壓強pA'=p0+ρg(h1+Δh)-ρg(h2+2Δh1)=p0+ρg(Δh-2Δh1),而封閉氣體A的體積變小,壓強增大,即pA'＞pA=p0,所以Δh＞2Δh1,選項B錯誤,C 正確。封閉氣體A的壓強變化量ΔpA=pA'-pA=ρg(Δh-2Δh1), 封閉氣體B的壓強變化量ΔpB=ρgΔh1,所以ΔpA＜ΔpB,選項D錯誤。

答案：AC

小結:本題可以先考慮外界壓強變化導致封閉氣體B壓縮,繼而導致封閉氣體A壓縮,不妨假設這是一個多層氫氣球,所有封閉氣體都要被壓縮;再考慮液柱移動距離,從封閉氣體A壓縮導致液柱移動開始分析,然后聯動影響封閉氣體B壓縮導致的液柱移動。

4.拓展提升。

例5如圖5所示,兩端開口的彎管,左側插入水銀槽中,管內外水銀面高度差為h1,右側有一段水銀柱,兩端液面的高度差為h2,中間封閉有一段空氣,則下列說法中正確的是( )。

圖5

A.若大氣壓強升高,則h1減小,h2增大

B.若把彎管向上移動少許,則重新平衡后,管內氣體體積不變

C.若把彎管向下移動少許,則重新平衡后,管內氣體壓強不變

D.彎管無論向上還是向下移動,重新平衡后,h1始終等于h2

解析：管中封閉氣體是靠左側水銀槽和右側水銀柱共同封閉的,整體可以看成一個“氫氣球”,封閉氣體的壓強p=p0+ρgh1=p0+ρgh2,則h1=h2。當外界壓強變大時,兩側一起壓縮封閉氣體,導致h1和h2同時減小,但始終有h1=h2,選項A 錯誤。若把彎管向上移動少許,相當于“氫氣球”左側壓強變小,右側水銀柱會向中間管移動,導致h2變小,氣體壓強變小,但最終仍有h1=h2,選項B錯誤。若把彎管向下移動少許,相當于“氫氣球”左側壓強變大,右側水銀柱會向右管移動,導致h2變大,氣體壓強變大,但最終仍有h1=h2,選項C錯誤,D 正確。

答案：D

小結:求解本題需要先判斷出封閉氣體的壓強變化情況,再根據壓強變化判斷出重新平衡時依然滿足h1=h2。

1.如圖6所示,一根豎直放置的彈簧連接一個汽缸中的活塞,使汽缸懸空而靜止。若不計活塞與汽缸壁之間的摩擦,汽缸導熱性能良好,外部溫度恒定不變,則下列判斷正確的是( )。