用單擺測定重力加速度實驗要點評析

■山東省沂源縣第一中學(xué) 楊成柱

用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁橇W(xué)中的一個重要實驗。用單擺測定重力加速度的原理:當(dāng)擺角較小時,單擺做簡諧運動,其運動周期,則,因此只要測出單擺的擺長l和周期T,就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。下面就這個實驗中的要點做詳細說明,供同學(xué)們參考。

一、單擺的制作

選用密度大、體積小的金屬小球,長度約為1 m 的不可伸長的輕細線,將細線穿過金屬小球上的小孔,做成單擺。

二、單擺的擺動

金屬小球擺動時,擺線與豎直方向間的最大夾角不要超過5°,因為只有金屬小球做小角度擺動時,單擺的周期公式才成立;同時,應(yīng)保持金屬小球在豎直面內(nèi)擺動,而不能擺成圓錐擺。

三、擺長、周期的測量

擺長等于擺線長與擺球半徑之和,用毫米刻度尺量出擺線長度l',用游標(biāo)卡尺測出擺球的直徑d,即可計算出擺長。

單擺的周期是擺球完成一次全振動所用的時間。在測量周期時,從擺球到達平衡位置開始計時,先測出單擺完成30 次或50 次全振動所用的總時間t,再計算出單擺的周期T,可以有效減小實驗誤差。

四、數(shù)據(jù)處理

1.公式法:先測出擺長l,并利用求出周期,再利用公式求出重力加速度。

2.圖像法:根據(jù)測出的多組擺長l和對應(yīng)的周期T,作l-T2(T2-l)圖像,根據(jù)單擺周期公式得,因此l-T2(T2-l)圖像應(yīng)是一條過原點的直線。如圖1所示,求出過原點傾斜直線的斜率k,即可利用g=4π2k求出重力加速度。

例1(2022年高考上海卷)在“用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取钡膶嶒炛?

(1)擺線質(zhì)量和擺球質(zhì)量分別為m線和m球,擺線長為l,擺球直徑為d,則( )。

A.m線?m球,l?d

B.m線?m球,l?d

C.m線?m球,l?d

D.m線?m球,l?d

(2)小明在測量后作出的T2-l圖像如圖2所示,則他測得的結(jié)果是g=_____m/s2。(保留2位小數(shù))

(3)為了減小實驗誤差,判斷應(yīng)該從最高點還是最低點開始計時,并簡述理由。

解析：(1)單擺模型要求用輕細線懸掛小球,不計細線質(zhì)量,將擺球視為質(zhì)點,因此該實驗要求擺線質(zhì)量遠小于擺球質(zhì)量,擺線長度遠大于擺球直徑,即m線?m球,l?d。

(3)因為擺球擺動到最低點時的速度達到最大,所以從最低點開始計時,誤差最小。

答案：(1)D (2)9.74 (3)應(yīng)從最低點開始計時,因為擺球擺動到最低點時的速度最大,計時誤差最小。

命題意圖：本題考查用單擺測定重力加速度實驗對裝置的要求,以及用圖像法處理實驗數(shù)據(jù)的能力和誤差分析的能力。

例2在“用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取钡膶嶒炛?

(1)利用如圖3所示的方式測量擺長,若測出單擺的周期為T、擺線長為l、擺球直徑為d,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=____(用測出的物理量表示)。

圖3

(2)某同學(xué)用一個鐵鎖代替小球做實驗。只改變擺線的長度,測量了擺線長度分別為l1和l2時單擺的周期為T1和T2,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=____(用測出的物理量表示)。

(3)另一位同學(xué)在利用如圖3所示裝置測量擺長l時,每次都在小球運動到最低點b時取數(shù),然后測量了多組實驗數(shù)據(jù)作出了T2-l圖像,則他得到的圖像最有可能是圖4中的( )。

圖4

解析：(1)根據(jù)單擺的周期公式T=,解得。

(2)設(shè)擺線下端到鎖的重心的距離為x,根據(jù)單擺的周期公式得,解得。

(3)設(shè)小球的半徑為r,根據(jù)單擺的周期公式,解得,因此他得到的T2-l圖像最有可能是圖4 中的C。

答案：(1)

命題意圖：本題考查用單擺測定重力加速度的實驗原理,以及用圖像法處理實驗數(shù)據(jù)的能力。

例3用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶嶒炑b置如圖5所示。

(1)下列對測量原理的理解中正確的是____。

A.由g=a可知,周期T一定時,重力加速度g與擺長l成正比

B.由g=a可知,擺長l一定時,重力加速度g與周期的平方T2成反比

C.單擺的周期T和擺長l可用實驗測定,由可算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?/p>

(2)若測量得到的g值偏大,則可能是因為____。

A.組裝單擺時,選擇的擺球質(zhì)量偏大

B.測量擺長時,將擺線長當(dāng)成了擺長

C.測量周期時,把n次全振動誤認(rèn)為是(n+1)次全振動

(3)表1是某同學(xué)記錄的實驗數(shù)據(jù),并做了部分處理。

表1

請計算第5組實驗中的T2=____s2。

(4)將表1中的數(shù)據(jù)輸入計算機,可得到如圖6所示的l-T2圖像,傾斜直線經(jīng)過坐標(biāo)原點,斜率k=0.25。由此求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=____m/s2。(取π2=9.87,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

圖6

解析：(1)重力加速度與單擺的擺長和周期均無關(guān),選項A、B 錯誤。根據(jù)單擺的周期公式,測出單擺的擺長l與周期T,可以算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?選項C正確。

(3)根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可知,第5組實驗中完成50次全振動所用的時間為100.0 s,則單擺的周期T=2.0 s,因此T2=4.00 s2。

答案：(1)C (2)C (3)4.00 (4)9.87

命題意圖：本題考查用單擺測定重力加速度的實驗原理,誤差分析的能力,以及用圖表法和圖像法處理實驗數(shù)據(jù)的能力。

1.在用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶嶒炛?根據(jù)多組實驗數(shù)據(jù)作出T2-l圖像,可以求出重力加速度g。已知某次實驗中三位同學(xué)作出的T2-l圖像如圖7中的a、b、c所示,其中直線a和b平行,直線b和c都過原點,直線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?則相對于直線b,下列判斷中正確的是( )。

圖7

A.出現(xiàn)直線a的原因可能是誤將懸點到擺球上端的距離記為擺長l

B.出現(xiàn)直線c的原因可能是誤將49 次全振動記為50次全振動

C.直線c對應(yīng)的g值小于直線b對應(yīng)的g值

D.直線a對應(yīng)的g值等于直線b對應(yīng)的g值

2.用如圖8所示的實驗裝置做“用單擺測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取睂嶒灐?/p>

圖8

(1)為了減小測量誤差,下列說法中正確的是_____。

A.將鋼球換成塑料球

B.從擺球經(jīng)過平衡位置時開始計時

C.把擺球從平衡位置拉開一個很大的角度后釋放

D.記錄一次全振動的時間作為周期,根據(jù)公式計算重力加速度g

(2)某同學(xué)用質(zhì)量分布不均勻的球體作擺球測定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?擺球的重心不在球心,但是在球心與懸點的連線上。他仍將從懸點到球心的距離當(dāng)成擺長l,通過改變擺線的長度,測得6組l和對應(yīng)的周期T,畫出T2-l圖像如圖9所示,然后在直線上選取A、B兩個點,其坐標(biāo)分別為,則重力加速度g=_____。

圖9

參考答案：1.ABD