對函數極限教學的探究

王明偉 朱亞培 溫曉楠 馮鑫鑫

摘?要：求解函數極限的方法多種多樣，需要掌握使用各種方法的技巧。本文主要介紹高等數學中求函數極限的三種方法及其應用。

關鍵詞：高等數學；函數極限；泰勒公式；導數

中圖分類號：G4?????文獻標識碼：A??????doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.077

高等數學的主要研究對象是函數，極限是建立相關理論和方法的基礎。利用極限定義出了連續、導數、積分等一些很重要的概念，因此我們要深刻理解極限的概念，牢牢掌握求極限的各種方法。函數極限的求解方法有很多，比如等價無窮小代換、兩個重要極限、無窮小的性質、無窮小和無窮大之間的關系、洛必達法則等。本文針對“部分函數求極限”、利用泰勒公式求極限以及利用導數定義求極限這三種方法做了詳細的介紹。

1?“部分函數求極限”方法

“部分函數求極限”即“極限非零的乘積因子可以先把極限算出來”。這個方法可以簡化求極限的過程，尤其是使用洛必達法則求極限，要涉及分子、分母分別求導，使用這個技巧就可以先把函數的形式化簡，進而再利用洛必達，這樣求解過程就得到了極大的簡化。對于這個方法同學們都會用，也喜歡用，但是為什么可以這樣做，還是心存疑慮的。本文將對這個方法進行詳細的介紹。下面先給出幾個相關的性質：

提前聲明，在下面的討論中，記號“lim”下邊沒有標注自變量的變化過程，實際上結論對于x→x0及x→SymboleB@

都是成立的。

性質1?若limf（x）不存在，limg（x）=C≠0（C為常數），則limf（x）g（x）不存在。

證明：反證法。假設limf（x）g（x）=A（A為常數），則根據極限商的運算法則有

limf（x）=limf（x）g（x）g（x）=limf（x）g（x）limg（x）=AC，

與條件“limf（x）不存在”矛盾，則假設不成立，證得limf（x）g（x）不存在。

性質2?設limf（x）=SymboleB@

，limg（x）=C≠0（C為常數），則limf（x）g（x）=SymboleB@

。

證明：1f（x）g（x）=1f（x）·1g（x），等號兩邊同時取極限，利用無窮大與無窮小之間的關系可以得到

lim1f（x）g（x）=lim1f（x）·1g（x）=lim1f（x）·lim1g（x）=0·1C=0.

從而f（x）g（x）為無窮大，即limf（x）g（x）=SymboleB@

。

下面以定理的形式來說明“極限非零的乘積因子”為什么可以先把極限算出來。

定理設F（x）=f（x）g（x），其中limg（x）=C≠0（C為常數），

（1）若limf（x）=A（A為常數），則limF（x）=AC.

（2）若limf（x）=SymboleB@

，則limF（x）=SymboleB@

.

（3）若limf（x）不存在（非無窮大的情況），則limF（x）不存在.

根據極限乘積的運算法則，定理的結論（1）成立，根據性質1和性質2，結論（2）和（3）成立。這個定理說明，當有極限非零的乘積因子時，原極限的結果取決于剩余部分函數的極限結果。所以在計算時，可以先把極限非零的乘積因子的極限算出來，最后求得的結果就是原極限的結果。

注：在使用這個方法的時候，要注意分子、分母中加、減項不可以先求出極限。一定得是“極限非零”的“乘積因子”才可以使用這個方法。否則，容易出現錯誤。

例1?求limx→02e2x－ex－3x－1exxsinx

解：原式=limx→02e2x－ex－3x－1x2??????=limx→04e2x－ex－32x??????=limx→08e2x－ex2=72

這個極限是00型的未定式，若直接使用洛必達法則，過程會比較繁瑣。這里limx→0ex=1，那么當x→0時，1ex就是極限非零的乘積因子，先把這個極限算出來，剩余部分函數利用等價無窮小代換進一步化簡，之后，利用兩次洛必達法則，即可更簡便地求出極限。這個方法也可以結合其他求極限的方法一起使用。

例2?求limx→03sinx+x2cos1x（1+cosx）ln（1+x）。

解：原式=limx→03sinx+x2cos1x2x=12limx→03sinxx+xcos1x=12（3+0）=32

這里limx→0（1+cosx）=2，也就是說當x→0時，11+cosx就是極限非零的乘積因子，先把其極限算出來，再根據重要極限以及有界函數與無窮小的乘積仍然是無窮小，得出剩余部分極限。

2?利用泰勒公式求極限

經常利用泰勒展開式來求00型未定式的極限，通常用到的是一些初等函數的帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式。比如ex、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x）m等。這類方法使用的前提是需要牢牢掌握并熟記這些公式，所以學生經常避開使用這類方法。但是對于有的題目，這類方法用起來也是比較方便的。應用時需要用到無窮小的運算性質，下面先來了解一下：

性質3?設m，n∈R+，m>n，則當x→0時，有如下的結論

（1）o（xm）±o（xn）=o（xn）;（2）xm·o（xn）=o（xm+n）;（3）o（xm）·o（xn）=o（xm+n）.

例3求limx→0ex2+2cosx－3x4.

解：∵ex2=1+x2+12！x4+o（x4），cosx=1－x22！+x44！+o（x4）

∴ex2+2cosx－3=（12！+2·14?。﹛4+o（x4）

原式=limx→0712x4+o（x4）x4=712.

本題中因為分母是x的4階無窮小，所以分子上只需要將函數展開到4階無窮小的項就足以定出所給的極限了。一般地，若函數為f（x）xk或xkf（x）的形式，只需要將f（x）展開到x的k次方那一項即可。此題利用洛必達法則也可以求解，但是過程會很繁瑣。

例4求limx→0tanx－sinxx3.

解：∵tanx=x+x33+o（x3），sinx=x－x33！+o（x3），

∴tanx－sinx=x32+o（x3），原式=limx→0x32+o（x3）x3=12.

本題說明當x→0時，函數tanx－sinx與x32是等價無窮小，因此在做等價無窮小替換時，只能用x32來替換tanx－sinx，而不能用（x－x）來替換。

3?利用導數求極限

導數是利用極限定義出來的，反過來，根據一點處導數的定義，也可以求極限。當函數的形式滿足導數的定義式時，就可以利用此方法很方便地求出極限。下面先來回顧一下導數的定義。

定義設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx時（點x0+Δx仍在該鄰域內），函數y相應的取得增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0）.

如果極限

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）－f（x0）Δx

存在，則稱函數在這一點處可導，這個極限就是函數y=f（x）在點x0處的導數。

例5設函數f（x）有一階連續導數，f（1）=0，f′（1）=1，求極限limx→SymboleB@

xf（xx+2）.

解：limx→SymboleB@

xf（xx+2）=limx→SymboleB@

f（1－2x+2）－f（1）－2x+2·－2xx+2=f′（1）·（－2）=－2.

注：這是0·SymboleB@

型的未定式，也可以利用洛必達法則求解。

參考文獻

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