“最多”與“最少”的啟示

杜永寧

《義務教育課程標準（2022版）》指出：“教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系?！比绾误w現數學學科本質呢？就是要抓住概念、原理、方法之間及數學意義的相通性、一致性?！耙恢滦浴睘楹诵乃仞B落地提供了新視角，它反映的是學科本質，教學中應該慎思之，篤行之。

筆者用下面的教學實踐來見證思考“一致性”的必要和樂趣。

西南師大版數學四（下）有關于“求最大（小）”的這樣一個例題：小劇院共有甲票座位50個，票價30元，乙票座位100個，票價10元。本場票房收入為2300元。本場觀眾最少有多少人？如果僅僅從“人數最少，就應該是票價高的甲票盡量多賣”出發來解決問題，學生只是掌握了一個“孤立”的題目，他們無法理解這個問題來自何方，去向何處，學習價值將大打折扣。這個問題的數學本質在哪兒？它與哪些數學問題是相通的呢？

我首先想到了“票房（銷售）收入”。所以我設計了一個準備題：小劇院共有甲票座位50個，票價30元，乙票座位100個，票價10元。一場演出滿座，本場票房收入有多少元？學生解答后，我引導學生列出數量關系：甲票單價×甲票張數＋乙票單價×乙票張數=票房收入。

接著談話：現實生活中，并非每場都能滿座，你看這一場情況就是……接著出示例題。學生認識到，現在是知道了票房收入，反過來計算售票總張數。那就需要知道售出的甲票張數和乙票張數分別是多少（老師在之前數量關系處記上問號）。接下來學生討論，根據“人數最少”確定下來先“盡量多售出票價高的甲票”，即先把50張甲票全部售出。學生結合數量關系上的標注解答此題。

到達這一步，學生起碼知道原來例題是由“求總收入”的問題變身而來，而利用“兩積求和”的數量關系也可進一步理解自己解答方法，關鍵是“人數最少”把其中“一個積”確定了下來。

我沒有停下來，而試著讓學生更深刻一些。所以，我出示了下面的練習：小劇院共有甲票座位50個，票價30元，乙票座位100個，票價10元。本場演出票房收入為2300元。觀眾人數可能是多少？

我引導學生把數量關系改寫成：30×□＋10×□=2300，現在甲票張數和乙票張數都是不確定的了（這就是個“不定方程”），又該怎么解答呢？解答時有什么技巧呢？

這時，我請學生回看了一張二年級下期的教材圖片，第一個題目是：一根長繩4米，一根短繩2米。用一條10米長的繩子來做這兩種跳繩，可以怎么做？

學生恍然大悟，原來二年級就碰到過這樣的問題。于是，枚舉法自然派上了用場，枚舉的技巧也在討論中應運而生。

原來例題的問題真是來源于不定方程，只是在特定條件下，“不定”變成了“確定”。

當教師站在“一致性”的視角思考，學生學習的每個內容就不會孤獨。有了教師的“一致性”思考，學生每天都在一點一點地構建自己的知識結構網。這樣的學習才深刻而有意義。