一類八階收斂的最優修正牛頓迭代法

摘要：通過對牛頓迭代法進行改進，利用兩步平移加權得到一類八階收斂的求解非線性方程最優修正迭代算法，該算法中每一步迭代只需計算四個函數值即可實現最優階數，收斂性分析和數值實例驗證該方法具有較高的效率指數和收斂精度.這一非線性方程求根算法的實現，在模式識別、電力系統、軌跡預測等工程領域和人工智能領域具有一定的理論和使用價值.

關鍵詞：八階收斂；最優階數；非線性方程；牛頓迭代

中圖分類號：O241.7 文獻標志碼：A

A Class of Optimally Modified Newton Iterative Methods

with Eighth-Order Convergence

GUO Qiao¹， YANG Bing²， WU Chang-guang³

（1. School of Computer and Information Technology， Anhui Vocational and Technical College， Hefei 230611， China;2.School of Intelligent Manufacturing， Anhui Vocational and Technical College， Hefei 230611， China;3.School of Computer and Information Engineering，

Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210611， China）

Abstract：In this paper， based on Newton iteration method， with two-step translating weighting， a class of eighth-order convergent iterative algorithms for solving nonlinear equations with optimal corrections is obtained， in which only four function values need to be computed at each iteration step to achieve the optimal order. The convergence analysis and numerical examples verify that the method has high efficiency index and convergence accuracy. It has certain theoretical and use value in the fields of pattern recognition， power system， trajectory prediction and artificial intelligence for solving nonlinear equations.

Key words：eighth-order convergence; optimal order; nonlinear equation; Newton iteration

0 引言

利用數學工具解決工程技術問題，研究自然及社會現象的主要方法都可以歸納為求解非線性方程近似根的問題^［1-4］.Newton法（NM）作為經典迭代法，其迭代格式表示為

由表1可以看出，在初始值和精度要求相同的條件下，迭代公式（1）、（2）、（3）、（4）的迭代次數分別為5次、4次、4次、4次時才能達到精度要求，但是本文所提到的一類八階收斂的修正牛頓迭代，在參數k等于6、12、18三個不同數值時，均經過3次迭代就可以達到精度要求，而且當參數k取不同數值時，雖每一步迭代誤差的數值均不相同，但是收斂速度卻都保持在較高水平，這一發現也說明通過對參數k的微調能夠進一步增加收斂階數，提高收斂速度.收斂性分析和數值實例進一步說明該算法的實現對非線性方程的求根具有重要的意義.

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［責任編輯：趙慧霞］