基于物理信息神經網絡的天氣衍生品定價研究

摘要：基于溫度指數的天氣衍生品定價研究是一個熱點.擬應用物理信息神經網絡（PINNs）以求解基于O-U過程的天氣衍生品定價偏微分方程，對HDD看跌期權進行了數值模擬.改進了PINNs算法的采樣點，調整了梯度下降算法、學習率、迭代次數、權重分配等以加快收斂速度和提升擬合效果.通過與MCMC仿真模擬和單側有限差分求解方法對比發現基于PINNs的方法具有相當的精度和計算速度，證明了PINNs算法求解天氣衍生品定價偏微分方程的可行性.

關鍵詞：天氣衍生品定價；O-U過程；深度學習；PINNs神經網絡

中圖分類號：F831.5;O244;O242.2 文獻標志碼：A

Research on Pricing of Weather Derivatives Based

on Physical Information Neural Networks

XU Xiao-yun， LI Peng

（School of Mathematics and Statistics，

North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：The research on the pricing of weather derivatives based on temperature index is a hot topic. In this paper， physical information neural networks （PINNs） are applied to solve the partial differential equation of weather derivatives pricing based on O-U process， and HDD put options are numerically simulated. We improve the sampling points of the PINNs algorithm， and adjust the gradient descent algorithm， learning rate， iteration times， weight distribution， etc. to speed up the convergence speed and improve the fitting effect. Finally， by comparing with MCMC simulation and one-sided finite difference method， it is found that the method based on PINNs has considerable accuracy and calculation speed， which proves the feasibility of PINNs algorithm to solve the partial differential equation of weather derivatives pricing.

Key words：weather derivatives pricing; O-U process; deep learning; PINNs neural network

0 引言

天氣衍生品市場的經典模型有基于O-U過程的溫度模型^［1］.例如，Harris^［2］建立了基于累積HDD和溫度的偏微分方程（PDE）.Shi^［3］提出了風險中性定價模型.Edwin 等^［4］通過引入與氣溫不完全相關的套期保值工具，導出了天氣期權的PDE.關于求解該類PDE，目前的數值算法有中心差分方法^［5-6］和半拉格朗日方法^［7］.考慮到天氣衍生品定價公式中的對流主導性，Li^［8］運用單側有限差分方法進行求解.Li^［9］建立了關于溫度導數的單邊Crank-Nicolson格式，分別求解無擴散和有跳躍擴散的PDE和PIDE.

與傳統的求解偏微分方程的數值方法相比，基于深度學習的數值偏微分方程計算方法是一種無網格方法，具有克服維數災難的潛力.如Lu等^［10］提出的物理信息神經網絡（PINNs）方法在求解偏微分方程（如Navier-Stokes方程、積分微分方程、分數階微分方程和隨機方程）中表現得相當優異.

基于O-U過程的溫度模型，本文利用PINNs求解天氣衍生品價格的偏微分方程系統，利用方程本身、初始條件和邊界條件構造機器學習的加權損失函數，再通過梯度下降算法進行優化，改進PINNs算法采樣點方案，優化物理信息損失權重組合，添加正則化處理來加快收斂速度，提高模型的擬合效果.

1 天氣衍生品定價系統

天氣衍生品通常被構建為基于不同基礎天氣指數的掉期、期貨和期權.HDD是一天的平均溫度低于基溫的度數，其中基溫取x_base=18 ℃.芝加哥商品交易所的HDD期權就是基于一段時間內每日HDD的累計總和.

基于取暖指數（HDD）的累計度日指數y_Ht為

基于Ornstein-Uhlenbeck過程來對溫度進行模擬，得到如下方程：

其中：x^m_t是溫度變化過程的長期均值；α是均值回復速率；σ_t是波動率；dW_t是布朗增量.時間t處的平均溫度服從

A、B、C和?通過歷史DAT數據進行擬合.

在風險中性度量Q（以市場價格風險為λ）下，服從O-U過程的氣溫指數x_t和度日指數y_t滿足以下形式：

基于Feynman-Kac^［5-6］公式，可以得到以下天氣衍生品V（x_t，y_t，t）的定價偏微分方程：

其中：

基于Ornstein-Uhlenbeck過程的HDD期權價格PDE實際上是一個對流主導的PDE，擴散效應比對流效應小得多.為了解決這個問題，將引入的歐式HDD看跌期權的邊界和初始條件指定如下：

2 PINNs算法應用

2.1 PINNs算法

物理信息神經網絡（PINNs）將偏微分方程本身作為物理信息嵌入到深度神經網絡當中，通過自動微分構造方程和邊界以及初始條件的損失函數，加權后作為統一的機器學習損失函數，再進行神經網絡深度學習，通過不斷地優化神經網絡中的權重來最小化損失函數，最后由神經網絡輸出所求的偏微分方程的數值解.PINNs算法流程如圖1所示.

通過PINNs獲得偏微分方程的近似解的關鍵步驟就是約束神經網絡使偏微分方程殘差最小.與傳統的基于網格的方法（如有限差分法和有限元方法）相比，深度學習是一種利用自動微分的無網格方法，并且可以打破維數詛咒.同時與傳統的數值方法不同，PINNs不能保證解的唯一性，因為PINNs解是通過求解非凸優化問題得到的，而非凸優化問題一般不存在唯一解.

2.2 PINNs算法求解定價方程

用于求解基于O-U過程的溫度模型的偏微分方程定價系統的PINNs算法的主要步驟如下：

（1）構造神經網絡

應用前饋神經網絡Nx，θ，輸入參數θ=W_l，b_l，神經網絡函數為

其中：m為l層神經網絡節點數；n為l+1層神經網絡節點數；w為神經網絡權重；b為偏置向量；f為激活函數.

（2）選擇訓練數據

指定Ｔ_i，Ｔ_j和Ｔ_k以滿足PDE方程和邊界以及初始條件，這里Ｔ_i，Ｔ_j和Ｔ_k分別是方程定義域內和定義域邊界上的點.

（3）構建基于天氣衍生品定價方程的神經網絡模型

其中x為方程的幾何空間向量.神經網絡的輸出為所求的偏微分方程的解.令Nx=Vx，通過在神經網絡中嵌入自動微分、偏微分方程的殘差函數形式為

將方程的邊界條件值 V_bx^j_b和初始條件值V_cx^j_c代入式（11）和（12）得到神經網絡損失函數為

（4）訓練神經網絡

訓練神經網絡，通過調整神經網絡的權重w和基于梯度的優化器來最小化損失函數.當f_loss趨近于0時，Nx趨近于Vx.在訓練過程中設置合適的ε，當f_loss小于ε時停止訓練，輸出結果.

3 算法實現

3.1 初始參數確定

衍生品定價偏微分方程中的參數如表1所列.A、B、C通過斯德哥爾摩地區的溫度數據進行擬合，均值回復速度α用Moreno^［11］和Bhowan^［12］的鞅函數估計得到.由于同一地區的氣溫數據較為穩定，波動率σ采用了斯德哥爾摩地區2001年2月的數據來估計得到.

接下來使用Dirichlet邊界和Operator邊界來設置天氣衍生品價格PDE系統的邊界條件和初始條件，選取雙曲正切函數作為神經網絡的激活函數，在Python中使用DEEPXDE軟件包內置模塊設置包括計算域（幾何和時間）、PDE方程、邊界/初始條件、損失函數、訓練數據、神經網絡結構和訓練超參數來實現HDD看跌期權定價模擬.訓練中選擇前饋神經網絡來訓練模型，經過調試最終確定網絡的深度為3，寬度為50，激活函數為雙曲正切（Tanh）.

3.2 超參數優化

期權合約期為10天，T=10，氣溫指數x和度日指數y在表1給出.訓練數據通過給定采樣點數目在定義域內、邊界條件上、初始條件上隨機取樣，PINNs采樣點可視化圖如圖2所示.

基于O-U過程的天氣衍生品定價方程是具有2個空間維度、對流占優的擴散方程，并且方程對亞式期權定價.在只給出定解條件（初值條件和邊界條件）前提下，PINNs解變得更加復雜、混沌、不斷震蕩，PINNs在定義域內隨機取點很難訓練得到好的結果.同時由于邊界和初始條件處有方程的限制，度日指數y值可以正常取點，但在定義域內部隨機取點時神經網絡忽略了氣溫指數x和度日指數y的關系，為了精確采樣所需的點數，需要改進采樣點方案.

在模型中加入氣溫指數x和度日指數y關系的限制條件，也就是根據公式（1）在定義域內錨定訓練點，添加錨點數據，調整采樣點分布.添加的錨點數據如圖3所示.

由于天氣期權數據值范圍較大，為了增強神經網絡的抗擾動能力，接下來考慮通過對神經網絡進行正則化處理來防止模型過擬合，同時設置偏微分方程、邊界條件、初始條件、正則化項的損失權重來得到更好的模型擬合效果.

正則化后的神經網絡損失函數為

其中，P_f、P_b、P_c和P_l分別為偏微分方程、邊界條件、初始條件和正則化項的損失權重.

優化算法、學習率、網格點選取、迭代次數、權重分配的調整選取一部分展示如表2所列.

天氣衍生品定價偏微分方程沒有解析解，σ_SSE是PINNs訓練得到的數值解與Li^［8］運用單側有限差分方法求得數值解的均方誤差值.

損失權重分配a， b為PDE本身、式（8）的三個邊界條件、式（9）的初始條件以及正則化項.

a=（1，1，1，1，1，1）；

b=（1e-6， 1e-4，1e-4，1e-4，1e-7，1e-3）.

由于L-BFGS優化算法在訓練過程中立即收斂導致訓練結果不準確，最終決定使用Adam優化算法進行6 000次迭代，學習率為0.001，對執行價格K=100的HDD看跌期權進行定價.Adam的訓練誤差為2.82×10^-4，訓練時間為376494秒，得到平均殘差值為0.59，均方誤差值為1.23.訓練結果如圖4所示.在圖4中，左邊繪制了當t=T時的數值解，右邊是模型的訓練歷史.

對于HDD看跌期權，斯德哥爾摩地區的氣溫條件下期權價格隨著溫度的升高而增加.

3.3 數值結果對比

由于MCMC仿真可以逼近連續采樣溫度的數值解，MCMC仿真和Li^［8］單側有限差分方法和訓練結果對比如圖5所示.可以看出同數值方法

相比，PINNs可以得到相當精確的結果，證明了PINNs方法求解天氣衍生品定價偏微分方程的可行性.

4 結語

本文將PINNs推廣到求解天氣衍生品定價偏微分方程，對HDD看跌期權進行了定價模擬，比較了PINNs數值解與單側有限差分方法數值解的均方誤差.與經典的MCMC模擬方法對比，本文的方法基于PINNs算法求解復雜的天氣衍生品定價方程，計算速度快、精確度高，為天氣衍生品的偏微分定價方程求解提供了新的技術途徑.

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［責任編輯：趙慧霞］