統一混沌系統簡化模型的動力學行為及仿真

摘要：探討了統一混沌系統簡化模型的三維Lorenz方程的動力學行為及其數值仿真問題。在統一混沌系統穩定性分析的基礎上，進一步討論了統一混沌系統簡化模型的線性穩定性。首先，對平衡點的穩定性進行分析，通過對系統的線性穩定性分析可知系統的平凡吸引子（平衡點）存在且系統是局部穩定的;然后，基于最大李雅普諾夫指數和分岔圖討論參數取不同數值時的動力學行為，結合MATLAB（matrix laboratory）軟件進行編程作出簡化混沌模型的吸引子圖、最大李雅普諾夫指數、分岔圖、龐加萊截面、功率譜與返回映射的圖像，借助這7種混沌指標對系統的動力學行為進行分析。通過數值仿真可知，系統的分岔過程和最大李雅普諾夫指數圖像相對應，而且隨著參量r值的減小，系統是趨于穩定的。

關鍵詞：統一混沌系統; 簡化模型; 線性穩定性; 分岔圖

中圖分類號：O415.5文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.16735862.2023.04.010

Dynamic behavior and simulation of simplified model of unified chaotic system

WANG" Heyuan， LI" Xinying

（College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：In this paper， the dynamic behavior and numerical simulation of the Lorenz equation of a simplified unified chaotic system are discussed. Based on the stability analysis of unified chaotic system， the linear stability of simplified model of unified chaotic system is further discussed. Firstly， the stability of the equilibrium point is analyzed， by analyzing the Linear stability of the system， we know that the trivial attractor （equilibrium point） exists and the system is locally stable. Based on the maximum Lyapunov exponent and bifurcation diagram， the dynamic behavior of different parameters is discussed. The attractor diagram， maximum Lyapunov exponent， bifurcation diagram， Poincare cross section， power spectrum and return map of the simplified chaotic model are programmed with matrix laboratory（MATLAB） software， and the dynamic behavior of the system is analyzed with the help of these seven chaotic indexes. By numerical simulation， the bifurcation process of the system is corresponding to the maximum Lyapunov exponent image， and the system tends to be stable with the decrease of parameter r.

Key words：unified chaotic system;" simplified model;" linear stability;" bifurcation diagram

1975年， Yorke和Li［1］定義了混沌;其實早在1963年， 美國氣象學家Lorenz［2］就發現經典Lorenz吸引子， 這是混沌系統中最經典的模型; 1999年， Chen和Ueta［3］在研究混沌反控制過程中發現一個類似Lorenz系統但不拓撲等價的混沌吸引子， 這個對偶系統即為Chen系統， 此系統成為繼Lorenz系統后又一重要的混沌模型;2002—2004年， Chen等［46］提出一個單參數的連續變化系統統一混沌系統， 即Lorenz系統族， 它包含Lorenz系統和Chen系統，這2個系統作為參數區間的2個極端系統， 臨界系統作為一個過渡系統;2008年， Yang和Chen［7］提出a11a22大于0或者小于0的分類; 2013年， 孫克輝等［8］通過對統一混沌系統控制參數的改變， 構建出具備不同拓撲結構的3種混沌系統簡化模型。 本文對這3種簡化模型進行進一步討論， 進行線性穩定性分析并對系統的動力學行為進行數值仿真。

1數學模型

1.1統一混沌系統模型：Lorenz系統族

2001年，統一混沌系統模型Lorenz系統族被提出，該系統可以描寫為如下微分方程組［9］：

=（25a+10）（y-x）

=（28-35a）x+（29a-1）y-xz

=xy-（a+8）z/3（1）

該方程組中的參數a是實參數，所有取值在［0，1］，此時，系統處于混沌狀態。

統一混沌系統在本質上是Lorenz系統和Chen系統的凸組合，且其中包含了無窮多個混沌系統［10］。

1） 當a=0時，系統（1）屬于Lorenz系統;

2） 當0＜a＜0.8時，系統（1）屬于Vanecek和Celikovsky定義的廣義Lorenz系統;

3） 當a=0.8時，系統（1）屬于Chen和Lu提出的廣義臨界系統;

4） 當0.8＜a＜1時，系統（1）屬于Celikovsky和Chen提出的廣義Chen系統;

5） 當a=1時，系統（1）屬于Chen系統。

1.2統一混沌系統簡化模型

在系統（1）的第2個方程中的y項用x項替代，則系統（1）可以寫成

=（25a+10）（y-x）

=（27-6a）x-xz

=xy-（a+8）z/3（2）

當a∈［-0.2，0.35］時，系統（2）處于混沌狀態。若固定系統（2）中第1項和第3項中的a=0，保持第2項中a不變，則得到統一混沌系統的簡化數學模型如下：

=10（y-x）

=（27-6r）x-xz

=xy-8z/3（3）

2線性穩定性分析

下面用分岔概念來討論這個統一混沌系統［1113］。

首先，求定常狀態解（平衡解）。由式（3）中第1式右端為零可得

x=y（4）

將式（4）分別代入式（2）和式（3）中。考慮到定常狀態解是實的，故統一混沌簡化系統式（3）的平衡態是

r＞92，O（0，0，0）

r＜92，O（0，0，0）， C172-16，72-16，27-6（5）

C2-72-16，-72-16，27-6

對穩定態O，其穩定性取決于相應的Jacobi矩陣的特征值。由于特征方程為

（λ+8/3）（λ2+10λ+60r-270）=0（6）

它有3個根為

λ1=-83，λ2，3=-5±-60r+295

1） 當r＞92（92＜r＜59/12）時，3個根均為負實根，故O是穩定平衡點;

2） 當r＜92時，λ1＜0，λ2＞0，λ3＜0，因而O點是不穩定的平衡點。

平衡態C1，C2的穩定性應由Jacobi矩陣的特征值λ決定，且此矩陣的特征方程為

λ3+383λ2+2963-16rλ-320r+1440=0（7）

當r→92-時，式（7）的極限式可以寫為

λ3+383λ2+803λ=0（8）

又注意到此時式（8）的左端中除λ3外的各項系數均為正值，故3個根為

λ1→O-，λ2→-83，λ3→-10r→92-時

因此，C1，C2是穩定平衡點。

由式（7）得到羅斯霍威茲的判別行列式，

令3832963-16r-（-320r+1440）=0時，r為rh，則

rh=10766=1.621…（9）

d取負數沒有意義，因而只討論a＞b+1的情形。取rh=10766，當r＞rh時，Δ2＞0，Δ3＞0;反之，當r＜rh時，Δ2＜0，Δ3＜0。

因而根據羅斯霍威茲判據［1415］可知：當r＞rh時，C1和C2都是穩定的;當r＜rh時，C1和C2都是不穩定的。r=rh為此次出現的Hopf分岔的分岔點。

3數值仿真

根據2的分析可知，在選取某些數值的時候，系統（3）會發生混沌現象［1617］。當r取不同值的時候仿真并描述幾個混沌指標，模擬得到相應的動力學結果，合并比較分析可以得出如下的結論：

1） 當r＞r1=4.50時，只有O一個定點，它是穩定的;

2） 當4.45=r2lt;rlt;r1=4.50…時，O變成不穩定的鞍點，即一個方向不穩定，另2個方向穩定，點C1和C2的3個特征值都是負的實根，所以點C1和C2就是漸近穩定的點;

3） 當r3=1.77…lt;rlt;r2=4.45…時，方程有2個共軛復根，其實部為負數，另一個根是負的實根，從而得到一個方向是漸近穩定的，而垂直于此方向的平面上是穩定的焦點，且為全局吸引子（圖1）;

4） 當r＜rh時，3個根中有一個根是負的實根，其余的2個根是實部為正的共軛復根，這就說明此時C1和C2中一個方向是穩定的，而與這個平面垂直的是不穩定的焦點，從而在r＜rh處發生了Hopf分岔，生成奇怪吸引子，這是一種陣發性混沌，最終出現混沌現象（圖2）;

5） 當-17.75…lt;rlt;-10.31…時，系統發生滯后的現象，各種混沌吸引子和擬周期吸引子交替出現（圖3和圖4）;

6） 當-15.05…lt;rlt;-10.31…時，吸引子逐漸收縮成極限環，這是倒分岔的過程，并且數值結果表明分岔點滿足費根鮑姆常數;

7） 當-17.75…lt;rlt;-15.05…時，系統又生成了奇怪吸引子，出現混沌現象（圖4）;

8） 當r＜-17.75…時，奇怪吸引子開始收縮，最后形成一個環面，這仍是一個倒分岔的過程，并且也滿足費根鮑姆常數（圖5）;

9） 圖6和圖7是系統（-90.10）的最大李雅普諾夫指數圖和分岔圖，2個圖像模擬出系統的混沌現象由發生到終止的全過程。圖8、圖10是r=0的功率譜、返回映射和龐加萊截面，它們均顯現出此系統的混沌特征。

4結論

本文研究統一混沌系統的簡化模型，分析其動力學行為并進行了數值模擬。通過線性穩定性分析，得出了解的穩定性結果。統一混沌系統簡化模型的動力學行為隨著參量r取值而變化。在［-17.75，-10.31］，奇怪吸引子、擬周期軌道和極限環并存，系統存在倒分岔過程;在［-287， -17.75］吸引子穩定為極限環的形式。這些現象說明系統的穩定性隨r值的減小而增加。

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