帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

摘要：針對一類帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)，利用Lyapunov-Krasovskii泛函法，給出一個穩(wěn)定性準(zhǔn)則。首先，構(gòu)造一個增廣的非對稱Lyapunov-Krasovskii泛函;其次，通過Wirtinger不等式對L-K泛函進(jìn)行分析和估計，利用積分不等式和線性不等式進(jìn)一步推導(dǎo)得到L-K泛函整體正定的條件和求導(dǎo)條件，又由于該系統(tǒng)帶有輸入時滯，對此引入零方程，得到以LMI形式表示的帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則;最后，利用數(shù)值算例，通過LMI工具箱求解，驗證了所得結(jié)果的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞：時變時滯系統(tǒng); 穩(wěn)定性; Lyapunov-Krasovskii泛函; Wirtinger不等式

中圖分類號：TP273文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.16735862.2023.04.012

Stability analysis for linear systems with input-delay

LI Li， WANG Yuting

（College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：For a class of linear system with input delays， a stability criterion is given by using Lyapunov-Krasovskii functional method. Firstly， construct an augmented asymmetric Lyapunov-Krasovskii functional. Secondly， the L-K functional is analyzed and estimated through the Wirtinger inequality， and the conditions for the global positive definite and derivative of the L-K functional are obtained through the further derivation and transformation of the integral inequality and the linear inequality. Because the system has input delays， the Zero matrix is introduced to obtain the sufficient conditions for the stability of the linear system with input delays in the form of LMI. Finally， numerical examples are used to validate the effectiveness and feasibility of the obtained results through the LMI toolbox.

Key words：time-varying time-delay systems; stability; Lyapunov-Krasovskii functional; Wirtinger inequality

各種動態(tài)系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)的時滯現(xiàn)象不但會影響系統(tǒng)的性能，而且會影響系統(tǒng)整體的穩(wěn)定性。因此，時滯現(xiàn)象一直是控制理論研究的熱點話題［12］。目前，有關(guān)線性時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究方法主要分為頻域法和時域法 ［34］，而針對時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，通常采用時域法。在時域法中，Lyapunov-Krasovskii泛函法相對于其他方法通常可以得到保守性相對更低的結(jié)果［35］，即通過對不同的Lyapunov泛函的選取，可以改變穩(wěn)定性條件的保守性。

在實際生活中，輸入時滯是無法避免的，忽略輸入時滯將對系統(tǒng)性能造成很大影響，甚至可能造成系統(tǒng)穩(wěn)定性的突變［57］。因此，研究帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要的實際價值和理論價值。在過去的幾十年里，針對帶有輸入時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，學(xué)者們通常借助某種狀態(tài)進(jìn)行變換，將原有的非線性時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性系統(tǒng)，并通過L-K泛函法進(jìn)一步求解線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則［810］。

基于上述情況，本文首先將文獻(xiàn)［11］中提出的增廣的非對稱方法應(yīng)用到帶有輸入時滯的線性時滯系統(tǒng)中，通過引入零方程進(jìn)行變換，將原有的非線性時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性時滯系統(tǒng);再利用積分不等式和線性不等式對構(gòu)造的L-K泛函進(jìn)行推導(dǎo)和求解，得到帶有輸入時滯線性系統(tǒng)穩(wěn)定的準(zhǔn)則;最后，通過數(shù)值例子驗證了所得結(jié)果的有效性和可行性。

1問題表述

考慮如下的線性時滯系統(tǒng)

（t）=Ax（t）+Aτx（t-τ）+Bu（t）

x（t）=（t），t∈［-τ，0］

u=Kx（t）+Kτx（t-τ）（1）

其中：x（t）∈

瘙綆

n表示狀態(tài)變量;A，Aτ，B是已知的系統(tǒng)常矩陣;τgt;0表示時滯;（t）表示初始條件。

引理1［8，10］對于給定的Rgt;0，對于任何連續(xù)微分函數(shù)ζ（n），不等式在［δ1，δ2］→

瘙綆

n中是可行的，即

（δ2-δ1）∫δ2δ1ζ（n）TRζ（n）dη≥∫δ2δ1ζ（n）TdηR∫δ2δ1ζ（n）dη（2）

引理2［8，9］（基于Wirtinger的積分不等式）對任意矩陣R∈

瘙綆

n×ngt;0和一個可導(dǎo)函數(shù)x（u），u∈［a，b］，下面的不等式成立。

∫baT（s）R（s）ds≥1b-aΩT1RΩ1+3b-aΩT2RΩ2（3）

Ω1=x（b）-x（a）， Ω2=x（b）-x（a）-2b-a∫bax（s）ds

2主要結(jié)果

定理給定的系統(tǒng)（1）是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果存在對稱矩陣P=［P1，P2］，且P1=PT1，Q1=QT1，Zgt;0，及常數(shù)ε1，ε2，ε3gt;0，若滿足下列矩陣不等式：

1+τ122-

12T2-τ-1（+）gt;0（4）

Ω1=Ω11Ω12Ω13Ω14

*Ω22Ω23Ω24

**Ω33Ω34

***Ω44lt;0（5）

其中

Ω11=-4+2+2ε1AXT+2ε1B，

Ω12=-122+4+ε1AτXT+ε1Bτ+ε2AXT+ε2B

Ω13=6τ+ε3AXT+ε3B，

Ω14=1-ε1XT+AXT+B，

Ω22=--4+2ε2AτXT+2ε2Bτ

Ω23=-6τ+ε3AτXT+ε3Bτ，

Ω24=-ε2XT+AτXT+Bτ，

Ω33=-12τ2，

Ω34=-122-ε3XT

Ω44=τ2-2XT（6）

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)Vt=Vt-1+Vt-2+Vt-3

Vt-1=xT（t）Pρ（t），ρ（t）=xT（t）∫tt-τxT（μ）dμT（7）

Vt-2=∫tt-τxT（μ）Qx（μ）dμ（8）

Vt-3=τ∫tt-τ∫tθT（μ）Z（μ）dμdθ（9）

根據(jù)引理1和式（9）可得

τ∫tθT（μ）Z（μ）dμ≥（x（t）-x（θ））TZ（x（t）-x（θ））（10）

由式（2）、式（8）和式（10）很容易可以得到

Vt-2+Vt-3≥∫tt-τx（t）x（θ）TZ-Z-ZQ+Zx（t）x（θ）dθ（11）

Vt≥x（t）∫tt-τx（θ）dθTP1+τZ12P2-Z12PT2-Zτ-1（Q+Z）x（t）∫tt-τx（θ）dθgt;0（12）

對Vt進(jìn)行求導(dǎo)得

t-1 =（t）TP1P2x（t）∫tt-τx（μ）dμ+x（t）TP1P2（t）x（t）-x（t-τ）（13）

t-2=xT（t）Qx（t）-xT（t-τ）Qx（t-τ）（14）

t-3=τ2（t）Z（t）-τ∫tt-τ（θ）Z（θ）dθ（15）

根據(jù)引理2，對-τ∫tt-τ（θ）Z（θ）dθ進(jìn)行變換，得到

-τ∫tt-τT（θ）Z（θ）dθ≤-（x（t）-x（t-τ））TZ（x（t）-x（t-τ））-

3（x（t）-x（t-τ）-2τ∫tt-τx（θ）dθ）Z（x（t）-x（t-τ）-2τ∫tt-τx（θ）dθ）（16）

由式（6）得

（t）≤uT（t）Ωu（t）（17）

u（t）T=xT（t）xT（t-τ）∫tt-τxT（θ）dθT（t）

Ω=Q-4Z+P1-12P2+4Z-6τZP1

*-Q-4Z6τZ0

**-12τ2Z12P2

***τ2Z

由于系統(tǒng)（1）為帶有輸入時滯的系統(tǒng)，因而引用零方程進(jìn)行變換。

對式（17），引入零方程

2M×（（A+BK）x（t）+（Aτ+BKτ）x（t-τ）-（t））=0

其中

M=xT（t）M1+T（t）M2+xT（t-τ）M3+∫tt-τxT（θ）dθM4

由于存在非線性項，因而引入控制器。由于Mgt;0是非奇異的，定義，設(shè)M2=-T，M1=ε1M2，M3=ε2M2，M4=ε3M2，對于式（12），左右相乘diag{M-12，M-12}及其轉(zhuǎn)置，對于式（17），左右相乘diag{M-12，M-12，M-12，M-12}和它的轉(zhuǎn)置，定義=TQ，=TZ，1=TP1，2=TP2，=TK，τ=TKτ，結(jié)合式（12）～（14）可以得到（t）≤uT（t）Ω1u（t）lt;0成立。

因此，帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)（1）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證畢。

3數(shù)值例子

例考慮帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)（1）

（t）=Ax（t）+Aτx（t-τ）+Bu（t）

x（t）=（t），t∈［-τ，0］

u=Kx（t）+Kτx（t-τ）

其中

A=1-11-1， Aτ=-1111， B=1111

通過解線性矩陣不等式（4）和（5）得到

X=1034.97234.96444.96444.9606，

K=108 -3.9062-7.8124-7.8124-3.9062，

Kτ=107 -2.0227-4.0453-4.0453-2.0227

利用矩陣實驗室（matrix laboratory， MATLAB）的LMI工具箱，計算得到保證帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)（1）漸進(jìn)穩(wěn)定的最大允許時滯上界為0.5738，說明所用方法可行有效。

4結(jié)語

本文針對一類帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)，得到了一個漸進(jìn)穩(wěn)定的準(zhǔn)則，數(shù)值算例驗證了其有效性和可行性。對此，以后可以考慮設(shè)計反饋控制器來對帶有輸入時滯的線性系統(tǒng)進(jìn)行控制。

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