解一階線性微分方程組的代數消元法

摘要：一般地，一階線性常系數微分方程組通常采用待定系數的方法求解，其原理是利用矩陣的若當標準型理論將其轉化為求解一系列方程，進而求得方程組的解。這種解法需要矩陣理論和線性子空間的直和等基本知識，相對來說較難理解。針對一階線性常系數微分方程組，給出一種類似于代數方程的更易于理解的新的解法即代數消元法。通過建立方程組的n個未知函數滿足的若干個代數方程（約束方程），把含有n個變元的一階線性微分方程組化為含有r（rlt;n）個變元的一階線性非齊次微分方程組，從而獲得原方程組的解。特別地，當系數矩陣相似于對角矩陣時，可以得到傳統方法的經典結論。文中舉例說明了代數消元法的具體應用。

關鍵詞：一階線性微分方程組; 待定系數法; 代數消元法; 常數變易法

中圖分類號：O175文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.16735862.2023.04.011

Algebraic elimination method for solving first order linear differential equations with constant coefficients

LIU Yuzhong1， CAO Shuyi1， ZHANG Jun2

（1. College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China;

2. Shenyang No.134 Middle School， Shenyang 110000， China）

Abstract：Generally，first order linear differential equations are solved by the method of undetermined coefficients and the problem is changed into solving a series of matrix equations based on the theory of Jordan standard type. The theory of matrix and the direct sum of linear subspace are required in the solution， therefore， this method is above comprehension. However， in this paper a new method， algebraic elimination method （AEM）， which is easier to understand is given for the first order linear differential equations， and the AEM is similar to the elimination method of system of linear algebraic equation with nth unknowns. In other words， by establishing a number of algebraic equations （constraint equations） about unknown functions， the considered equations have become the inhomogeneous equations with r（rlt;n） unknown functions and then the solution is given for the original equations. In particular， when the coefficient matrix is similar to the diagonal matrix， the classical conclusions of the traditional methods can be obtained. An example is given to illustrated the application of the new method.

Key words：first order linear differential equation; undetermined coefficients method; algebraic elimination method; constant variation method

考慮一階線性常系數齊次微分方程組

=Ax（1）

其中：A=（ai，j）n×n;x=（x1，x2，…，xn）T;=dxdt。

一階線性常系數齊次微分方程組有許多種解法。文獻［1］針對工科數學學生的特點，給出一種容易理解的解法，但僅限于討論具有2個未知函數的一階微分方程;文獻［2］給出一種易于理解的向量解法，該解法同樣限于討論具有2個未知函數的一階微分方程組;文獻［3］只是針對2類特殊方程組給出非齊次方程組特解的簡便算法，應用范圍比較有限;文獻［4］重點研究方程組的系數矩陣具有2個共軛復根時如何求它們對應的2個實值解，是對當今一階微分方程組主流解法的重要補充;文獻［5］介紹了基于矩陣指數的方法和Laplace變換的方法，需要較多的數學基礎知識;

文獻［6］采用消去法，將方程組化成某個未知函數的高階方程，但由于該方法的局限性，文獻［6］中只是簡單提及并未過多討論;中山大學數學力學系常微分方程組［7］所編教材采用的是文獻［5］中提到的2種方法;東北師范大學數學系微分方程教研室［8］所編教材采用的是待定系數法。待定系數法基于矩陣的若當標準型理論和線性子空間直和理論，將求解待定系數的問題轉化為解一組矩陣方程。

與上述方法不同，本文采用一種新的求解方法來解方程組（1）。眾所周知，n元一次方程組的有效求解方法就是消元法，或是通過加減消元，或是對系數矩陣進行LR分解進行求解。受此啟發，本文考慮一階線性常系數微分方程組的消元解法，即通過建立n個未知函數滿足的若干個代數方程（約束方程），把含有n個變元的一階線性微分方程組化為含有r（rlt;n）個變元的一階線性非齊次微分方程組，從而獲得原方程組的解。該解法雖然沒有常規解法簡單，但是比待定系數法中的直接方法及一般消元法更具有操作性，并且易于在計算機中實現。

1主要結果

考慮方程組（1）有

引理1設K=（k1，k2，…，kn）T為矩陣AT對應特征值λ的特征向量，則

k1x1+k2x2+…+knxn=Ceλt（2）

其中C為某個常數。

證明記Ai為矩陣A的第i行，=k1x1+k2x2+…+knxn，此時方程組（1）可以寫成

i=Aix， i=1，2，…，n（3）

于是得到

ddt=λ

因此，k1x1+k2x2+…+knxn=Ceλt。引理得證。

注1這是關于n個未知函數滿足的代數方程，組合系數是矩陣AT對應特征值λ的特征向量。顯然，矩陣AT的每個特征向量均對應形如式（2）的一個代數方程。

由引理1很容易得到下面的結論。

定理1 設矩陣AT至多有r（rlt;n）個線性無關的特征向量，則可將方程組（1）化為具有n-r個未知函數的一階微分方程組。

證明設Ki，i=1，2，…，r為矩陣AT的r（rlt;n）個線性無關的特征向量，記作Ki=（k1ik2i…kni）T，i=1，2，…，r，與之對應的特征值為λ1，λ2，…，λr，則由引理1可得

k11x1+k21x2+…+kn1xn=C1eλ1t

k12x1+k22x2+…+kn2xn=C2eλ2t

k1rx1+k2rx2+…+knrxn=Creλrt（4）

方程（4）的系數矩陣是由r個線性無關的特征向量組成的，從而矩陣的秩為r。不妨設矩陣的前r列線性無關，則由方程（4）知xi，i=1，2，…，r可由xr+1，xr+2，…，xn及C1，C2，…，Cr線性表示。將其代入方程（1）的后n-r個方程，就得到關于xr+1，xr+2，…，xn的一階線性非齊次方程組。再對這個方程組求解，結合方程（4），就可以得到方程（1）的通解。

注2定理1中的λi可以是相同的，因為一個重特征值λi可以有多于一個線性無關的特征向量;而定理1中關于xr+1，xr+2，…，xn的一階線性非齊次方程，可由定理1的方法，先求齊次方程的通解，再用常數變易法求非齊次方程的解。

特別地，當矩陣AT（A）有n個互異的特征值時，可以得到以下結論。

定理2 設矩陣A有n個互異的特征值λ1，λ2，…，λn，T1，T2，…，Tn是其對應的特征向量，則方程組（1）的通解為

x=C1eλ1T1+C2eλ2T2+…+CneλntTn（5）

其中C1，C2，…，Cn為n個任意常數。

證明A有n個互異的特征值λ1，λ2，…，λn，它們也是AT的n個互異的特征值。由定理1可得

k11x1+k21x2+…+kn1xn=C1eλ1t

k12x1+k22x2+…+kn2xn=C2eλ2t

k1nx1+k2nx2+…+knnxn=Cneλnt（6）

其中，Ki=（k1ik2i…，kni）T是矩陣AT對應λi的特征向量，i=1，2，…，n。記作KT=（K1K2…Kn），則方程組（6）可寫成

Kx=C1eλ1t100+C2eλ2t010+…+Cneλnt001

由于矩陣K可逆，從而由上式得

x=C1eλ1tK-1100+C2eλ2tK-1010+…+CneλntK-1001（7）

以下證明K-1010←i是矩陣A對應λi的特征向量Ti。

實際上，因ATKi=λiKi，i=1，2，…，n，即KTiA=λiKTi，所以

KA=λ1λ2λnK

于是，AK-1=K-1λ1λ2λn，此式兩端右乘010←i得

AK-1010=K-1λ1λ2λn010=λiK-1010

此即證明了K-1010是矩陣A對應λi的特征向量Ti，再由式（7）可得式（5）。定理得證。

注3從定理2的證明可以看出，定理2的條件還可以減弱為矩陣AT有n個線性無關的特征向量，結論依然成立。

注4若矩陣AT有復數特征值，則仍可按上述步驟求解，只需要把解的實部虛部分離出來即可。

2數值例子

例 求解方程組

dy1dx=y1-2y2-2y3

dy2dx=3y1+3y2+5y3

dy3dx=-3y1-5y2-7y3（8）

解系數矩陣A=1-2-2335-3-5-7，AT的特征值λ1=-2（二重），對應的特征向量K1=011，特征值λ2=1，對應的特征向量K2=3-2-2，由定理1得

y2+y3=C1e-2x

3y1-2y2-2y3=C2ex（9）

由此解得y1=23C1e-2x+13C2ex，y2=-y3+C1e-2x，代入方程組中的第3個方程得

dy3dx=-2y3-7C1e-2x-C2ex

從而得y3=-C3e-2x-7C1xe-2x-13C2ex，結合式（9）可得方程組（8）的通解為

y1y2y3=C1e-2x23+21x-21x+C2ex11-1+C3e-2x0-33

其中C1，C2，C3為任意常數。

3結語

本文研究了一階線性齊次微分方程組的求解問題，提出了一種新的代數消元法。該方法首先建立微分方程未知函數滿足的代數約束方程，進而利用這些代數方程進行消元，從而獲得原方程組的解。該方法與傳統方法比較，只需要較少的矩陣代數知識，因而更容易理解和掌握。

參考文獻：

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［6］王柔懷，武卓群. 常微分方程講義［M］. 北京： 人民教育出版社， 1963.

［7］中山大學數學力學系常微分方程組. 常微分方程［M］. 北京： 人民教育出版社， 1978.

［8］東北師范大學數學系微分方程教研室. 常微分方程［M］. 北京： 高等教育出版社， 2005.