具有一般發生率和潛伏期時滯的水痘傳播動力學模型①

胡巧， 劉賢寧

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

水痘(varicella)是一種由水痘-帶狀皰疹病毒引起的急性傳染病,對水痘傳播動力學模型的研究最早見于文獻[1],之后有許多學者在此基礎上構建了新的模型[2-7],對水痘的傳播進行預測.文獻[8]利用傳染病模型評價水痘爆發疫情的控制效果.文獻[9]根據水痘在人群中的傳播特征建立了流行病模型,得出了模型平衡點的穩定性.鑒于雙線性發生率[9-10]和標準發生率[11]具有局限性,在模型中考慮非線性發生率[12-14]具有很重要的現實意義.由于水痘的潛伏期較長,因此在模型中考慮潛伏期時滯就顯得尤為重要,但前期相關文獻研究中很少有包含潛伏期時滯的水痘傳播動力學模型的研究.針對上述問題,本文在文獻[9]的基礎上,將總人口分為5個倉室,分別是:S為易感者,V為接種疫苗者,E為潛伏者,I為染病者,R為恢復者,在模型中引入潛伏期時滯并考慮一般發生率,建立如下具有一般發生率和潛伏期時滯的水痘傳播動力學模型

(1)

其中:A為人口的常數輸入率,μ是自然死亡率,ε為易感人群的疫苗接種率,β反映了疫苗接種者V免疫的有效性(β∈[0,1]),σ為疫苗接種成功率,τ表示潛伏期時滯,γ代表染病者的恢復率．

系統(1)滿足初始條件:

(2)

關于系統(1)中的f(I)有如下假設:

(H2)If′(I)-f(I)≤0;f″(I)≤0,I>0且f′(I)≥0,即0≤f′(I)≤f′(0)．

由于系統(1)中的第1,2,4個方程與E和R無關,故我們可以研究以下約化系統:

(3)

1 解的非負有界性及平衡點的存在性

引理1在初始條件(2)的情況下,系統(3)的解(S(t),V(t),I(t))始終非負且有界．

證1) 利用反證法證明非負性.假設存在時間t1>0使得S(t)第一次到達0,即S(t1)=0,則

S′(t1)=A>0

所以對于充分小的ε>0,當t∈(t1-ε,t1)時,S(t)<0,這與在(0,t1)上S(t)>0矛盾.類似地,可證得V(t)>0,I(t)>0．

2) 有界性.令N(t)=S(t)+V(t)+eμτI(t+τ),則

N′(t)=A-μN-σV-γeμτI(t+τ)≤A-μN

從而有

引理1證畢．

由引理1知,系統(3)的可行域為

本文將在可行域Ω內研究系統(3)的動力學性態．

令系統(3)的右端為0,易知系統(3)總存在無病平衡點

基于下一代矩陣的方法[15],可以得到系統(3)的基本再生數為:

引理2當R0>1時,系統(3)存在唯一的地方病平衡點E*=(S*,V*,I*)．

證令系統(3)的右端等于0,可以得到如下方程組:

(4)

解方程組(4)得

(5)

把式(5)代入方程組(4)的第三個方程得

令

則有

由條件(H2)可知,φ′(I)<0.故由根的存在性定理可知,當R0>1時,系統(3)存在唯一的地方病平衡點E*=(S*,V*,I*)．

2 穩定性分析

定理1當R0<1時,無病平衡點E0局部漸近穩定．

證系統(3)在E0處的特征方程為

則

λ1=-μ-ε,λ2=-μ-σ

矛盾,故當R0<1時,無病平衡點E0局部漸近穩定．

定理2當R0<1時,無病平衡點E0全局漸近穩定．

證定義如下Lyapunov泛函:

則對V1(t)沿著系統(3)的軌線求導得

由條件(H2)可知f(I)≤f′(0)I,所以

因此,如果R0<1則V′1(t)≤0,且僅在E0處V′1(t)=0,故由Lyapunov-LaSalle不變集原理[16]知E0全局漸近穩定．

系統(3)在地方病平衡點E*處的特征方程為

g(λ)=λ3+A1λ2+A2λ+A3+(B1λ2+B2λ+B3)e-(λ+μ)τ=0

(6)

其中

定理3當R0>1,τ≥0時,地方病平衡點E*局部漸近穩定．

證當τ≥0時,由系統(3)的第三個方程可得

所以由假設(H2)得

從而

故g(λ)不存在零根．

假設λ=iω(ω>0)是g(λ)=0的一個純虛根,代入特征方程(6)并分離實部和虛部得

(7)

將方程組(7)兩個等式兩邊分別平方并相加得

ω6+a1ω4+a2ω2+a3=0

其中

由于A3+B3e-μτ>0,又

因此

a3>0

故g(λ) 不會存在純虛根．

假設g(λ)存在一根λ0>0,使得g(λ0)=0,即

因為

所以

因此可知

因為

所以

這與g(λ0)=0矛盾.所以g(λ)=0不存在正根.綜上可得g(λ)=0只存在負實部根.故定理3得證．

定理4當R0>1時,地方病平衡點E*全局漸近穩定．

證首先,定義函數h(x)=x-1-lnx.顯然,h(x)≥0(?x>0),且當且僅當x=1時,h(x)=0. 定義如下Lyapunov泛函:

則對V2(t)沿著系統(3)的軌線求導得

由系統(3)的第2個方程知βV*f(I*)-εS*=-(μ+σ)V*,結合條件(H3)可得V′2(t)≤0,且僅在E*處V′2(t)=0,故由Lyapunov-LaSalle不變集原理[16]知當R0>1時E*全局漸近穩定．

3 數值模擬與結論

下面利用MATLAB軟件進行數值模擬來驗證理論分析的結果.圖1和圖2分別模擬了無病平衡點和地方病平衡點的全局穩定性．

圖1 R0<1時E0全局漸近穩定

圖2 R0<1時E*全局漸近穩定

本文建立并研究了一類具有一般發生率和潛伏期時滯的水痘傳播動力學模型,證明了解的非負性和有界性,給出了基本再生數R0的表達式,通過構造Lyapunov泛函并應用LaSalle不變集原理得出: 當R0<1時無病平衡點E0全局漸近穩定,當R0>1時地方病平衡點E*全局漸近穩定．