跳躍因素下原油期貨定價(jià)模型的理論研究及實(shí)證分析①

任芳玲， 喬克林， 張少峰

延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000

眾所周知,原油是工業(yè)生產(chǎn)的命脈,對(duì)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、貿(mào)易往來(lái)等多方面起著至關(guān)重要的作用.原油期貨(Crude Oil Future)是以遠(yuǎn)期石油價(jià)格為標(biāo)的物的一類(lèi)石油期貨,自期貨誕生以來(lái),學(xué)者們就對(duì)其產(chǎn)品設(shè)計(jì)、定價(jià)方法、期現(xiàn)關(guān)系理論等展開(kāi)了研究.文獻(xiàn)[1]提出雙因素模型,該模型較好地預(yù)測(cè)了原油期貨價(jià)格的趨勢(shì),其方程如下:

其中k,μ,σ1,σ2為模型參數(shù).文獻(xiàn)[3]根據(jù)期貨價(jià)格的特征,建立仿射期限結(jié)構(gòu)模型,該模型假定現(xiàn)貨價(jià)格的自然對(duì)數(shù)可以分解成多個(gè)狀態(tài)變量的和:

lnSt=X1t+X2t+…+Xnt

其中Xit(i=1,2,3,…,n)表示影響價(jià)格變化的因素．

原油期貨的定價(jià)模型一般會(huì)假設(shè)隨機(jī)變量服從連續(xù)隨機(jī)過(guò)程,但是如遇戰(zhàn)爭(zhēng)等突發(fā)事件大概率會(huì)導(dǎo)致原油價(jià)格出現(xiàn)躍動(dòng),并且會(huì)影響很多相關(guān)產(chǎn)業(yè)[4-6].在此方面,很多學(xué)者也進(jìn)行了分析研究,并得出相關(guān)的實(shí)用性模型[7-9]．

文獻(xiàn)[10]將跳躍擴(kuò)散過(guò)程引入到石油期貨價(jià)格的定價(jià)模型中,揭示了期貨價(jià)格的變化特征.文獻(xiàn)[11]研究了天然氣價(jià)格跳躍下的期貨動(dòng)態(tài)定價(jià)模型.文獻(xiàn)[12]則通過(guò)商品期貨研究,建立了跳躍-擴(kuò)散模型,其模型表示如下:

dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dWt+JdNt(λ)

其中:Xt為標(biāo)的資產(chǎn)的狀態(tài)向量,JdNt(λ)是跳躍強(qiáng)度為λ的跳躍過(guò)程,J為跳躍強(qiáng)度．

依據(jù)受2020年疫情影響的我國(guó)原油期貨價(jià)格特征,本文在文獻(xiàn)[13]三因素原油期貨定價(jià)模型的基礎(chǔ)上考慮價(jià)格的跳躍性,并結(jié)合現(xiàn)貨價(jià)格[14-15]的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行建模研究．

首先設(shè)現(xiàn)貨價(jià)格取自然對(duì)數(shù)后可以分解如下:

lnSt=X1t+X2t+X3t

其中: 短期偏離X1t和中期偏離X2t均服從O-U過(guò)程,期望為0,而長(zhǎng)期均衡X3t服從布朗運(yùn)動(dòng).其模型如下:

其中:k1,k2分別為短期偏離變量、中期偏離變量的均值回復(fù)率;μ為長(zhǎng)期均衡變量的漂移率;σ1,σ2,σ3分別為X1t,X2t,X3t的波動(dòng)率; dW1,dW2,dW3分別為X1t,X2t,X3t的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)增量,且有

dW1·dW2=ρ1dt,dW2·dW3=ρ2dt,dW3·dW1=ρ3dt

N1,N2和N3分別表示跳躍強(qiáng)度h1,h2和h3的泊松過(guò)程,J1,J2和J3分別為X1t,X2t和X3t的跳躍度大小,N1,N2和N3相互獨(dú)立.為了能夠更好地推導(dǎo)出期貨價(jià)格的解析解,選擇跳躍度大小滿(mǎn)足正態(tài)分布.假設(shè)Ji(i=1,2,3)服從正態(tài)分布,即

另外,為了確保x1t和x2t的長(zhǎng)期零均值,分別定義c1和c2為c1=h1γ1,c2=h2γ2．

為合理求得期貨價(jià)格,加入風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)因子,建立本文研究的模型如下:

(1)

1 模型的解析解

針對(duì)帶有跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型(1),對(duì)其進(jìn)行求解,得到原油期貨的定價(jià)公式.求解步驟如下:

1) 求解X1t,X2t,X3t

對(duì)(1)式中的第一個(gè)等式同乘ek1t并且移項(xiàng),且由微分d(uv)=udv+vdu得

兩邊積分得

移項(xiàng)同時(shí)除以ek1t,即得X1t的表達(dá)式為

同理由(1)式中的第二個(gè)等式求得X2t的表達(dá)式為

對(duì)(1)式中的第三個(gè)等式兩邊積分并移項(xiàng)即得X3t的表達(dá)式為

2) 求解lnSt的期望

為了求得期貨價(jià)格,先求解lnSt的期望和方差.按期望性質(zhì)首先有

E(lnSt)=EX1t+EX2t+EX3t

又EU1=0,所以

由泊松過(guò)程的定義知

E[dN(s)]=d[0×P(N=0)+1×(λt+ο(Δt))+(N(s)≥2)×ο(Δt)]=d(λt)

即得

E[dNi(s)]=d(his),i=1,2,3

從而

由此得到X1t的期望,同理可得X2t和X3t的期望,它們分別為

進(jìn)而可得lnSt的期望:

3) 求解lnSt的方差

按方差的性質(zhì)有

首先求解X1t,X2t,X3t的方差:

同理求得

接下來(lái)求解Cov(X1t,X2t),Cov(X1t,X3t),Cov(X2t,X3t)

同理求得

進(jìn)而可得lnSt的方差:

4)模型的解析解

所以t時(shí)刻的期貨價(jià)格解析解:

(2)

其中T為期貨到期期限,(2)式即為考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型的解析解．

2 模型的參數(shù)估計(jì)

若一天內(nèi)只發(fā)生一次跳躍,則泊松過(guò)程就是伯努利過(guò)程,將(1)式離散化并移項(xiàng)得

同理求得

其中:Ui(i=1,2,3) 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,Bi(i=1,2,3)為獨(dú)立的伯努利隨機(jī)變量,且有

P(Bi=1)=hiΔt,P(Bi=0)=1-hiΔt,i=1,2,3

本文給出如下記號(hào):

n-m1個(gè)正常數(shù)據(jù)的密度函數(shù)為

樣本的似然函數(shù)為

需要估計(jì)的參數(shù)有Θ1={k1,λ1,σ1},對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

進(jìn)而似然方程為:

即得方程組

解得

樣本的似然函數(shù)為

需要估計(jì)的參數(shù)Θ2={γ1,δ1},對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

進(jìn)而得似然方程為

解得

同理得

至此,考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型中的所有參數(shù)有了詳細(xì)的估計(jì)公式.利用此定價(jià)公式和參數(shù)估計(jì)方法,可以依據(jù)疫情環(huán)境下具體原油期貨合約的數(shù)據(jù),對(duì)跳躍性因素下的原油期貨進(jìn)行分析和定價(jià)．

3 基于我國(guó)原油期貨合約的實(shí)證分析

采用平均絕對(duì)誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)統(tǒng)計(jì)量,評(píng)價(jià)模型的擬合和預(yù)測(cè)能力[14],公式如下:

(3)

(4)

3.1 參數(shù)估計(jì)

選取上海期貨交易所的4種短期主力合約(期限均為1年),選取4種長(zhǎng)期合約(期限均為3年).將4種長(zhǎng)期期貨合約價(jià)格的對(duì)數(shù)均值作為長(zhǎng)期均衡變量的觀測(cè)值; 將所有長(zhǎng)期合約價(jià)格的均值對(duì)數(shù)值減去所有短期合約價(jià)格的均值對(duì)數(shù)值的結(jié)果作為短期偏離的觀測(cè)值; 將現(xiàn)貨價(jià)格的對(duì)數(shù)值減去短期偏離值和長(zhǎng)期均衡值之和所得的差值做為中期偏離的數(shù)值; 原油現(xiàn)貨價(jià)格從Choice金融終端軟件取得.選取上海期貨交易所的4種短期主力合約(期限均為1年),短期期貨合約代碼分別為sc1907,sc1908,sc1909,sc1910; 選取4種長(zhǎng)期合約(期限均為3年),長(zhǎng)期合約代碼分別為sc2103,sc2106,sc2109,sc2112.將2019年1月至6月的期貨合約數(shù)據(jù)按上述方法處理后得到短期偏離、中期偏離、長(zhǎng)期均衡值.在數(shù)據(jù)日期選擇方面,由于上海期貨交易中心在法定節(jié)假日沒(méi)有期貨合約交易數(shù)據(jù),所以本文剔除了大慶原油現(xiàn)貨價(jià)格法定節(jié)假日的數(shù)據(jù),以便與上海原油期貨價(jià)格數(shù)據(jù)保持一致.由三因素原油期貨定價(jià)模型的參數(shù)估計(jì)表達(dá)式,利用excel表格進(jìn)行模型參數(shù)的計(jì)算,得到三因素原油期貨定價(jià)模型的參數(shù)如表1所示．

表1 三因素原油期貨定價(jià)模型參數(shù)估計(jì)

我們選取上海期貨交易所的4種短期主力合約(期限均為1年),短期期貨合約代碼分別為sc2007,sc2008,sc2009,sc2010; 選取4種長(zhǎng)期合約(期限均為3年),長(zhǎng)期期貨合約代碼分別為sc2203,sc2206,sc2209,sc2212.短期偏移變量、中期偏移變量、長(zhǎng)期均衡變量的取值均按照上述方法獲得.對(duì)2020年1月至6月的期貨合約數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)的估計(jì),同樣剔除了大慶原油現(xiàn)貨價(jià)格法定節(jié)假日的數(shù)據(jù).由模型的參數(shù)估計(jì)方法,在n=116個(gè)數(shù)據(jù)中經(jīng)過(guò)計(jì)算得到3類(lèi)跳躍數(shù)據(jù),其數(shù)據(jù)量分別為m1=43,m2=67,m3=36,計(jì)算出h3=0.310 3.利用excel表格進(jìn)行參數(shù)的計(jì)算,得到帶有跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型的參數(shù)如表2所示．

表2 考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型參數(shù)估計(jì)

3.2 模型擬合能力和預(yù)測(cè)能力

利用三因素原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc1911原油期貨進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)期限為2019年8月.依據(jù)三因素原油期貨定價(jià)模型的解析解公式得出預(yù)測(cè)值,依據(jù)上海期貨交易所的每日結(jié)算價(jià)得到原油期貨合約的真實(shí)值.對(duì)兩種數(shù)據(jù)的比較結(jié)果見(jiàn)表3．

表3 2019年8月原油期貨真實(shí)值與三因素原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc1911的預(yù)測(cè)值 /元

利用三因素原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc2108原油期貨合約進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)期限為2020年8月.依據(jù)三因素原油期貨定價(jià)模型的解析解公式得出預(yù)測(cè)值,通過(guò)上海期貨交易所的每日結(jié)算價(jià)得到原油期貨合約的真實(shí)值,如表4所示．

表4 2020年8月原油期貨真實(shí)值與三因素原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc2108的預(yù)測(cè)值 /元

為了更精確得到模型的擬合和預(yù)測(cè)能力,本文給出了模型的擬合能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),利用公式(3)和公式(4)對(duì)三因素模型得到的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值進(jìn)行計(jì)算,得到三因素原油期貨模型擬合能力評(píng)價(jià)值如表5所示．

表5 三因素原油期貨定價(jià)模型擬合能力評(píng)價(jià)值

由于模型擬合能力評(píng)價(jià)值越小說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)能力越好,從表5中得出三因素模型對(duì)2019年的原油期貨合約預(yù)測(cè)能力較好,對(duì)于2020年該模型的預(yù)測(cè)能力較差．

利用帶有跳躍性因素原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc2108原油期貨進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)期限為2020年8月.依據(jù)考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型解析解公式(2)得出預(yù)測(cè)值,通過(guò)上海期貨交易所的每日結(jié)算價(jià)得到sc2108原油期貨合約的真實(shí)值,如表6所示．

表6 2020年8月原油期貨真實(shí)值與考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc2108的預(yù)測(cè)值 /元

依據(jù)預(yù)測(cè)值和真實(shí)值數(shù)據(jù)繪制出對(duì)比圖(圖1)．

圖1 2020年8月原油期貨真實(shí)值與考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型對(duì)sc2108的預(yù)測(cè)值對(duì)比

進(jìn)一步給出模型的擬合能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).利用公式(3)和公式(4)對(duì)考慮跳躍性因素的原油期貨定價(jià)模型得到的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值進(jìn)行擬合能力評(píng)價(jià),其中:FMAE=-0.535,FRMSE=3.7637．

經(jīng)與表5中得出的擬合能力評(píng)價(jià)值比較,三因素模型對(duì)2019年的原油期貨合約預(yù)測(cè)能力較好,對(duì)于2020年該模型的預(yù)測(cè)能力較差.考慮跳躍性因素的原油期貨模型對(duì)受疫情影響的2020年的原油期貨價(jià)格的預(yù)測(cè)能力較好,說(shuō)明該模型具有一定的科學(xué)性和實(shí)用性,可為從事原油期貨的研究及實(shí)務(wù)人員從事相關(guān)研究和實(shí)務(wù)操作提供一定的理論依據(jù)和參考信息．