基于廣義二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制

周 俊 趙 濤

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院 四川 成都 610065)

0 引 言

隨著機(jī)器人技術(shù)的誕生和發(fā)展,移動(dòng)機(jī)器人已廣泛應(yīng)用于工廠自動(dòng)化、建筑、軍事、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域[1]。移動(dòng)機(jī)器人的研究主要有三個(gè)問題:SLAM技術(shù)、避障技術(shù)和軌跡跟蹤技術(shù)。作為三個(gè)主要問題之一,能否漸進(jìn)地跟蹤給定或計(jì)劃的參考軌跡決定了任務(wù)能否成功執(zhí)行。正因?yàn)槿绱?它引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。

輪式移動(dòng)機(jī)器人(WMR)是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)[2]。它是一個(gè)獨(dú)立控制變量的個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度的系統(tǒng)。這也是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的根本區(qū)別。同時(shí),在節(jié)能、降低成本、減輕重量、增強(qiáng)系統(tǒng)靈活性等方面均優(yōu)于全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。然而,這種非線性和欠驅(qū)動(dòng)特性成為輪式移動(dòng)機(jī)器人成功控制的一大障礙。同時(shí),外界環(huán)境的各種因素,如干擾、摩擦等,也可能成為WMR不可預(yù)測(cè)的不確定性因素。如何提高WMR的抗干擾能力仍然是一個(gè)挑戰(zhàn)。

為了進(jìn)一步研究如何控制非線性欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),人們進(jìn)行了大量的研究。傳統(tǒng)的PID控制方法難以滿足控制的穩(wěn)定性和精度要求。為了提高對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤的控制效率,國(guó)內(nèi)外的學(xué)者們提出了多種控制方法。例如自適應(yīng)控制控制法、滑模控制法、反演控制法等[3-6]。但由于控制系統(tǒng)易受到外界擾動(dòng)以及參數(shù)不確定的影響,導(dǎo)致實(shí)際的控制系統(tǒng)與期望的數(shù)學(xué)模型間存在較大偏差,以至于無法達(dá)到軌跡跟蹤的效果。

近年來,模糊邏輯系統(tǒng)在各種應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用[8]。模糊邏輯是一種精確的概念推理系統(tǒng)。對(duì)于模型未知或不確定的描述系統(tǒng),采用模糊集和模糊規(guī)則進(jìn)行推理,可以解決常規(guī)方法難以處理的模糊信息問題。對(duì)精確集合中的元素使用隸屬度值進(jìn)行模糊化, 這樣的模糊集合稱為一型模糊集合。因?yàn)樗碾`屬度是完全清晰的,所以使用一型模糊集可能不足以處理難以表示為真實(shí)值的不確定性。因此,為了增強(qiáng)傳統(tǒng)模糊系統(tǒng)描述和處理不確定性的能力,進(jìn)一步對(duì)給出集合中的隸屬度值進(jìn)行模糊化,從而使描述的集合模糊性增強(qiáng),這種擴(kuò)展的模糊集稱為二型模糊集。區(qū)間二型模糊集作為一型模糊集的一個(gè)擴(kuò)展,提高了其處理干擾和不確定性的能力。而作為區(qū)間二型模糊集的擴(kuò)展,由于廣義二型模糊集隸屬度的靈活性,能較好地處理不確定性。因此,在實(shí)際應(yīng)用中具有很大的優(yōu)勢(shì)。

本文將廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合,提出一種廣義二型徑向基函數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法來跟蹤輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡。通過利用專家經(jīng)驗(yàn),模糊控制可以用來彌補(bǔ)移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)態(tài)特性中的非線性和不確定性等因素,但是一旦確定了控制規(guī)則和隸屬函數(shù),就無法對(duì)其進(jìn)行修改,這限制了它們的自適應(yīng)能力。而人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法可以很好地解決這個(gè)問題[10]。因此,模糊邏輯控制和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是高度互補(bǔ)的。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它克服了局部極小問題,易于訓(xùn)練,并且具有快速的學(xué)習(xí)和收斂速度的優(yōu)點(diǎn)[9]。廣義二型徑向基函數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以更有效地對(duì)規(guī)則庫(kù)中可能存在的不確定性進(jìn)行建模,從而更好地滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。

本文將徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制理論擴(kuò)展到廣義二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。與一型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,它的隸屬度函數(shù)的參數(shù)自適應(yīng)地變化,使得它處理不確定性的能力也得到了增強(qiáng)。最后通過MATLAB驗(yàn)證了該方法的有效性和優(yōu)越性。

1 移動(dòng)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型

輪式移動(dòng)機(jī)器人一般由多個(gè)輪子構(gòu)成,在不影響整體分析的前提下,可以將其簡(jiǎn)化為左右驅(qū)動(dòng)輪的車型[7]。

如圖1所示,小車的位姿由其左右兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的軸中點(diǎn)M在全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)及航向角θ來表示,即小車當(dāng)前位姿為P=[x,y,θ]T,υ和ω分別是機(jī)器人的線速度和角速度,是機(jī)器人模型的輸入。

圖1 機(jī)器人模型結(jié)構(gòu)示意圖

機(jī)器人模型的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下:

(1)

假設(shè)機(jī)器人的期望軌跡是qr=[xr,yr,θr]T,期望的狀態(tài)為: [νr,ωr]。

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,可得系統(tǒng)的誤差方程為:

(2)

對(duì)其求導(dǎo),可得位姿誤差微分方程:

(3)

小車軌跡跟蹤的目標(biāo)就是尋找有界輸入[υ,ω]T,使得對(duì)任意位姿以及誤差,系統(tǒng)的誤差方程均能收斂到0,即:

(4)

2 廣義二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

(5)

(6)

如圖2所示,廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)主要包括模糊化、規(guī)則庫(kù)、模糊推理機(jī)、降型和解模糊器。

圖2 廣義二型模糊邏輯系統(tǒng)

2.2 廣義二型徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1) 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種逼近性好、訓(xùn)練簡(jiǎn)單、學(xué)習(xí)速度快的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。目前,它已廣泛應(yīng)用于函數(shù)逼近、模式識(shí)別、圖像處理、自動(dòng)控制等領(lǐng)域。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要包括三層。輸入層表示源節(jié)點(diǎn)的輸入,該層僅起到輸入數(shù)據(jù)的作用。隱藏層激活函數(shù)為徑向基函數(shù),它的功能是將輸入的數(shù)據(jù)從低維非線性可分映射到高維線性可分空間。這樣,網(wǎng)絡(luò)從輸入到輸出的映射是非線性的,而對(duì)于可調(diào)參數(shù),網(wǎng)絡(luò)的輸出是線性的。輸出層為隱藏層神經(jīng)元輸出的線性加權(quán)和。

徑向基函數(shù)是一個(gè)實(shí)值函數(shù),其值僅取決于到原點(diǎn)的距離。而徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用徑向基函數(shù)作為隱藏元素的“基”,使得輸入向量可以直接映射到隱藏層空間而無需權(quán)值連接。因此,可以直接用線性方程組求解網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值,大大加快了學(xué)習(xí)速度。

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常用歐氏距離和高斯函數(shù),其激活函數(shù)可以表示如下:

(7)

式中:xp是第p條輸出樣本;bi是隱藏層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯函數(shù)的中心點(diǎn)。

最終的結(jié)果為:

(8)

損失函數(shù)為:

(9)

2) 廣義二型徑向基函數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。廣義二型徑向基函數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 廣義二型徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

該結(jié)構(gòu)主要包括輸入層、徑向基函數(shù)層、降型層和去模糊化層。

(1) 輸入層:該層將模糊化多個(gè)清晰向量并將它們輸入到下一層。它的輸出是通過計(jì)算廣義二型隸屬度函數(shù)的值生成的。

(2) 徑向基函數(shù)層:該層包含i個(gè)規(guī)則,每個(gè)規(guī)則包含j個(gè)節(jié)點(diǎn),其中節(jié)點(diǎn)數(shù)等于α截平面數(shù)。初始化從隱藏層到下一層的連接權(quán)重:

Wk=[wk1,wk2,…,wkp]Tk=1,2,…,q

(10)

式中:p是隱藏層元素的數(shù)量;q是輸出層元素的數(shù)量。權(quán)重初始化為:

(11)

式中:kmin和kmax分別是訓(xùn)練集第k個(gè)輸出神經(jīng)元所有期望輸出的最小值和最大值。

不同神經(jīng)元的中心寬度可以隨中心的變化而調(diào)整,從而使不同的神經(jīng)元能夠反映不同特征的輸入信息。在隱藏層中,距離可以通過神經(jīng)元數(shù)目來調(diào)整。其優(yōu)點(diǎn)是通過試錯(cuò)法使中心的初始化合理化。不同的輸入特性在不同的中心上反映得更為明顯,其反映了高斯核的特性。

中心參數(shù)的初始值為:

(12)

式中:N是隱藏層的神經(jīng)元總數(shù),nmin和nmax分別是第n個(gè)特征的所有輸入信息的最小值和最大值。

初始化寬度向量:

(13)

式中:df為寬度調(diào)整系數(shù)。其功能是提高網(wǎng)絡(luò)的局部響應(yīng)能力。

設(shè)置誤差損失函數(shù)為:

(14)

式中:ylk和tlk分別是網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際輸出和期望輸出值。

通過學(xué)習(xí),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各種參數(shù)可以自適應(yīng)地調(diào)整到最佳值。權(quán)重參數(shù)的迭代如下:

α[wkm(h-1)-wkm(h-2)]

(15)

α[cmn(h-1)-cmn(h-2)]

(16)

α[dmn(h-1)-dmn(h-2)]

(17)

式中:Wkm(h)是第h次迭代中的調(diào)節(jié)權(quán)重;cmn(h)是第h次迭代的中心分量;β是學(xué)習(xí)率。

(3) 降型層:該層執(zhí)行將廣義二型模糊集映射到一型模糊集的數(shù)學(xué)運(yùn)算。由于輸出集都是二型模糊集,為了得到每個(gè)規(guī)則的一型模糊集,這里需要一個(gè)降型的步驟。該降型集為:

(18)

(19)

(20)

(4) 去模糊化層:為了得到各輸出變量的精確輸出值,將前一步得到的模糊值轉(zhuǎn)化為清晰的控制信號(hào)作為系統(tǒng)的輸出值:

(21)

式中:α=[1,(N-1)/N,…,1/N,0],N為廣義二型模糊集被分割的次數(shù)。

3 控制器設(shè)計(jì)

式中:y為上、下隸屬度函數(shù)的均值。次隸屬函數(shù)選擇為梯形。其對(duì)應(yīng)的α平面的次隸屬度為:

式中:λ是決定次隸屬函數(shù)形狀的參數(shù)。特殊情況下,即當(dāng)其為0時(shí),次隸屬函數(shù)為正方形,GT2FS轉(zhuǎn)化為一個(gè)區(qū)間二型模糊集。GT2FLC的模糊規(guī)則如表1所示。

表1 模糊規(guī)則表

本文基于移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際位姿與期望位姿之間的偏差設(shè)計(jì)控制器,實(shí)時(shí)調(diào)整參數(shù),使系統(tǒng)具有較好的魯棒性和穩(wěn)定性。設(shè)計(jì)系統(tǒng)模型如圖5所示。

圖5 軌跡跟蹤控制系統(tǒng)框圖

4 仿真結(jié)果與分析

在這一部分中,為了測(cè)試本文所提方法的性能和抗干擾能力,此外,還與PID控制、模糊控制和一型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(T1FNN)的仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。

在MATLAB平臺(tái)上對(duì)所設(shè)計(jì)的二型模糊控制器進(jìn)行仿真,用模糊控制器調(diào)整控制律中切換控制項(xiàng)的增益,即模糊控制在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上進(jìn)行控制,參考信號(hào)為模糊控制參考軌跡。

本節(jié)分三個(gè)部分對(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果進(jìn)行闡述:一是線性軌跡跟蹤;二是圓形軌跡跟蹤;三是干擾下的軌跡跟蹤對(duì)比。通過對(duì)這三個(gè)具有代表性的軌跡跟蹤的仿真,可以得出結(jié)論,該方法不僅能使系統(tǒng)更快的輸出達(dá)到指定位置,在抗干擾能力方面也具有優(yōu)越性,證明了該方法在控制輪式移動(dòng)機(jī)器人上的有效性。

為了驗(yàn)證該方法的有效性,本文利用MATLAB對(duì)移動(dòng)機(jī)器人的跟蹤控制進(jìn)行了仿真。

情況1:移動(dòng)機(jī)器人跟蹤直線軌跡。跟蹤結(jié)果與位姿誤差如圖6-圖13所示,其中:xe、ye的單位為m,θe的單位為rad。

圖6 直線軌跡跟蹤(PID)

圖7 直線軌跡跟蹤位姿誤差(PID)

圖8 直線軌跡跟蹤(模糊控制)

圖9 直線軌跡跟蹤位姿誤差(模糊控制)

圖10 直線軌跡跟蹤(T1FNN)

圖11 直線軌跡跟蹤位姿誤差(T1FNN)

圖12 直線軌跡跟蹤(GT2FNN)

圖13 直線軌跡跟蹤位姿誤差(GT2FNN)

情況2:移動(dòng)機(jī)器人跟蹤圓形軌跡。跟蹤結(jié)果與位姿誤差如圖14-圖21所示。

圖14 圓軌跡跟蹤(PID)

圖15 圓軌跡跟蹤位姿誤差(PID)

圖16 圓軌跡跟蹤(模糊控制)

圖17 圓軌跡跟蹤位姿誤差(模糊控制)

圖18 圓軌跡跟蹤(T1FNN)

圖19 圓軌跡跟蹤位姿誤差(T1FNN)

圖20 圓軌跡跟蹤(GT2FNN)

圖21 圓軌跡跟蹤位姿誤差(GT2FNN)

情況3:接下來考慮在有干擾情況下, 將幾種控制器的控制效果進(jìn)行對(duì)比。當(dāng)WMR達(dá)到平衡時(shí),遇到一個(gè)外部干擾R=25 N, 干擾持續(xù)1 s。圖22為在干擾下四種控制器的響應(yīng)。

圖22 干擾誤差對(duì)比曲線

(26)

(27)

(28)

在情況1和情況2中,可以很容易地觀察到,GT2FNN在跟蹤線性或圓形軌跡方面比PID、T1FNN和模糊控制器具有更好的跟蹤效果,并且能夠在最短的時(shí)間內(nèi)令位姿誤差趨于0。

在情況3中,可以觀察到當(dāng)擾動(dòng)被加入時(shí),每個(gè)控制器的性能是不同的。從圖22可以看出,GT2FNN系統(tǒng)能夠以最快的速度保持穩(wěn)定,并且表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性,并取得了最好的效果。當(dāng)系統(tǒng)添加干擾時(shí),跟蹤結(jié)果與位姿誤差對(duì)比表2列出了所有控制器的ISE、IAE和ITAE。可見,GT2FNN在處理不確定性方面比PID、模糊控制器和T1FNN有更好的性能。

表2 外部干擾評(píng)價(jià)指標(biāo)

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種基于廣義二型徑向基函數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法來控制WMR的跟蹤。上述結(jié)果表明,該系統(tǒng)能夠很好地跟蹤合理的軌跡,并能快速地將位姿誤差收斂到0,具有良好的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明,該控制器達(dá)到了預(yù)期效果,并且具有良好的收斂性和穩(wěn)定性,能夠滿足實(shí)際軌跡跟蹤的需要。在未來,通過減少?gòu)V義二型模糊系統(tǒng)的復(fù)雜度計(jì)算,能使其性能得到進(jìn)一步的提高。