巧用同構,破解函數方程、不等式綜合問題*

湖南省長沙市周南中學 (410008) 易長保

湖南省長沙市第一中學 (410005) 張自力

數學中的同構,就是通過等價變形,將方程或不等式左右兩邊變成結構相同的式子,根據問題需要,找到與之緊密關聯的特殊函數,再將關聯的函數的基本性質遷移并運用于問題解決的過程,其“化繁為簡”的效果受到廣大命題者的喜愛,本文將從同構基礎、同構應用、同構遷移三個方面進行闡述,力求達到巧用同構,破解函數方程、不等式等綜合問題.

一、同構基礎

我們在學習指對數運算性質時,曾經提到過兩個這樣的恒等式:

當a>0且a≠1時,有alogax=x(x>0),logaax=x.再結合指對數運算的性質,可以得到如下結論(x>0):

類型一：(和結構) 函數y=ex±x與y=x±lnx關聯同構;這是因為y=ex±x=ex±lnex,y=x±lnx=elnx±lnx.

類型二：(積結構) 函數y=xex與y=xlnx關聯同構;這是因為y=xex=exlnex,y=xlnx=(lnx)elnx.

二、同構應用

問題一 利用同構解決不等關系

例1 (2020·新課標I卷理12)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析:本題呈現的是一個等式,右邊適當變形得4b+2log4b=22b+log22b-1,進而根據兩邊特征同構,找到與之關聯的函數,借助函數的單調性即可解決問題.

解析：因為2a+log2a=4b+2log4b,而4b+2log4b=22b+2log22b=22b+log2(2b)-1,所以2a+log2a=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),觀察結構特點,很容易找到對應的關聯函數f(x)=2x+log2x(x>0),則f(a)

問題二 利用同構求函數最值

例2 已知f(x)=xex,g(x)=xlnx,若f(m)=g(n)=t(t>0),則mn·lnt的取值范圍為( ).

分析：妙用指對關系,由mem=nlnn=elnn·lnn,找到同構函數f(x),借助f(x)的單調性得到m,n間關系,再借助g(x)單調性求得最值.

問題三 利用同構解決函數的零點或不等式恒成立問題問題

例3 已知函數f(x)=aex-ln(x+2)+lna-2,a∈R．(1)若f(x)僅有兩個零點,求實數a的取值范圍;(2)若f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍;

分析:(1)由函數零點的定義,將方程進行變形,轉化為ex+lna+x+lna=ln(x+2)+eln(x+2),找到同構函數h(x)=ex+x,由h(x)的單調性,將問題轉化為lna=ln(x+2)-x,再構造函數φ(x)=ln(x+2)-x,x>-2,利用導數研究其單調性和φ(x)的最值問題,即可得到實數a的取值范圍.

(2)由(1),將問題轉化為lna>ln(x+2)-x恒成立,構造函數φ(x)=ln(x+2)-x,x>-2,借助φ(x)最值,即可得到實數a的取值范圍.

(2)由(1)將問題轉化為lna>ln(x+2)-x恒成立,求得φ(x)最大值為φ(-1)=1,故lna>1,得a>e,故實數a的取值范圍為(e,+∞).

問題四 利用同構證明不等式

例4 (2021全國高考22題)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

解析：(1)易求得f(x)在區間(0,1]上為增函數,在區間[1,+∞)上為減函數.

令f(x)=x(1-lnx),則有f(m)=f(n),不妨設m2．

要證m+n>2?n>2-m?f(n)2．

再證m+nm,所以需證n(1-lnn)+n

三、同構遷移

例5 已知函數f(x)=xex-2a(lnx+x)有兩個零點,求a的最小整數值.

分析:f(x)=ex+lnx-2a(lnx+x),令t=x+lnx,則只需證明φ(t)=et-2at在R上有兩個零點,根據函數的單調性求得最值,求得f(x)有兩個零點的必要條件,最后通過切線放縮取值,驗證充分條件,從而解決問題.

若a≤0,則φ'(t)>0,函數φ(t)在R上單調遞增,至多只有1個零點,不合題意;

以上可以看出,對于函數方程、不等式綜合問題,我們可以根據式子的特征,適當等價變形,巧用同構的方法來求解,可以避免復雜的導數運算和導函數符號的分類討論,化繁為簡,快速解決問題.