定性與定量并重 知識(shí)與素養(yǎng)共生
——以《認(rèn)識(shí)面積》教學(xué)為例

○鐘 樹 周衛(wèi)東

在義務(wù)教育階段，“空間觀念”及“量感”是數(shù)學(xué)眼光的重要表現(xiàn)形式。通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中空間形式的觀察，學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景，逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)。

以《認(rèn)識(shí)面積》一課為例，對(duì)“面積”概念的準(zhǔn)確理解應(yīng)重點(diǎn)抓住“面”與“積”這兩個(gè)字，從對(duì)“面”的定性描述到對(duì)“積”的定量刻畫著手，在依托學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)中對(duì)面積原認(rèn)知的基礎(chǔ)上，建立對(duì)“面積”概念的精準(zhǔn)表達(dá)，內(nèi)化素養(yǎng)。

一、面積教學(xué)“新實(shí)踐”

（一）立足幾何直觀，“定性”描述面積。

1.巧借經(jīng)驗(yàn)，初探“大小”，準(zhǔn)確定位“物體表面的大小。”

片段1：

課始，教師提問(wèn)：“你們聽過(guò)面積這個(gè)詞嗎？”

學(xué)生紛紛給予肯定回答，且能夠說(shuō)出面積就是面的大小或者類似的表達(dá)。

教師接著拿出數(shù)學(xué)書，說(shuō)：“那你能指出數(shù)學(xué)書封面的面積嗎？”

學(xué)生邊用手比畫，邊說(shuō)大概這么大……

片段2：

在學(xué)習(xí)平面圖形的面積時(shí)，教師引導(dǎo)：“如果把數(shù)學(xué)書的封面展示在屏幕上（課件出示涂色長(zhǎng)方形），那它會(huì)變成一個(gè)什么圖形？”

學(xué)生回答：“長(zhǎng)方形。”

教師手指著長(zhǎng)方形說(shuō)：“這就是長(zhǎng)方形的面積。”

學(xué)生點(diǎn)頭表示認(rèn)同。

以上的兩個(gè)片段，是在實(shí)際教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的場(chǎng)景。學(xué)生在日常生活中對(duì)有關(guān)面積的表述比較熟悉，因此在教學(xué)這一概念時(shí)，教師往往會(huì)比較快地結(jié)束。當(dāng)然，學(xué)生通常也不會(huì)有什么質(zhì)疑。可是我卻產(chǎn)生了一個(gè)疑問(wèn)，學(xué)生真正建立了面積的概念了嗎？聽說(shuō)過(guò)“面積”這個(gè)詞，就意味著真正了解數(shù)學(xué)意義上的“面積”概念了嗎？

正如片段中所呈現(xiàn)的，學(xué)生知道面的大小就是面積，可“面”在哪里？這個(gè)更基礎(chǔ)的問(wèn)題卻被忽略了。筆者以為，在揭示物體表面“面積”概念之前，一方面需要通過(guò)看一看、摸一摸，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到物體的表面是什么，感受到每個(gè)物體都有面；另一方面，需要通過(guò)比較不同的物體表面，比如比較數(shù)學(xué)書封面與黑板的面，明確：每個(gè)面都是有大小的，這也為后續(xù)面積的度量打下了認(rèn)知基礎(chǔ)。之后，教師可介入并介紹：“面的大小是它的面積。”并且讓學(xué)生比畫一下數(shù)學(xué)書封面和黑板面的面積。

像這樣讓學(xué)生經(jīng)歷“知道物體有面→面是有大小的→面的大小就是面積”的完整過(guò)程，學(xué)生在積累了充分的感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，完成概念認(rèn)知的閉環(huán)，較完善地對(duì)物體表面的“面積”進(jìn)行了定性描述，突破了認(rèn)知的桎梏。

2.化靜為動(dòng)，二探“大小”，掌握“面積”概念

在掌握平面圖形“面積”這一概念時(shí)，需要通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)物體的空間形式進(jìn)行抽象，得到數(shù)學(xué)意義上的平面圖形，再介紹平面圖形的面積。對(duì)于這一問(wèn)題，我認(rèn)為打破認(rèn)知桎梏的關(guān)鍵點(diǎn)在于兩次化靜為動(dòng)。

（1）將數(shù)學(xué)書封面展示于屏幕之后，首先隱去數(shù)學(xué)書圖案，只留下長(zhǎng)方形框，再進(jìn)行交流，之后通過(guò)動(dòng)畫演示慢慢地涂出面積，讓學(xué)生充分感知平面圖形的面積是什么。

（2）向?qū)W生展示兩個(gè)面積區(qū)別較大的平面圖形，并要求學(xué)生涂色表示圖形的面積，深化學(xué)生對(duì)面積這一概念的認(rèn)識(shí)。

在認(rèn)識(shí)物體表面的面積過(guò)程中，學(xué)生對(duì)“物體表面或平面圖形的大小就是物體表面或平面圖形的面積”這一概念經(jīng)歷了兩次深化。通過(guò)操作、比較等活動(dòng)，從聽過(guò)面積這個(gè)詞到知道面是有大小的，再升華為最終對(duì)概念的正確理解。

3.精設(shè)素材，三探“大小”，筑牢概念深化之基礎(chǔ)。

經(jīng)過(guò)之前的活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)“面積”這一概念有較為準(zhǔn)確的認(rèn)知了。此時(shí)，我們需要趁熱打鐵，順應(yīng)兒童思維的發(fā)展，出示具有啟發(fā)性的教學(xué)素材，將學(xué)生的認(rèn)知向更深處漫溯。

片段3：

師：四個(gè)圖形站在一排，互相不服氣。每個(gè)圖形都覺(jué)得自己的面積最大。同學(xué)們，你們覺(jué)得呢？

生：我覺(jué)得4 號(hào)面積最大，因?yàn)? 號(hào)圖形最長(zhǎng)。

生：我覺(jué)得1 號(hào)面積最大，雖然4 號(hào)圖形比較長(zhǎng)，但是1 號(hào)圖形更寬一點(diǎn)。

生：我不同意，我覺(jué)得3 號(hào)面積最大。

師：為什么你們不猜2 號(hào)？

生：一眼就看出來(lái)了！

師：“看”這個(gè)字用得好，一眼就觀察出來(lái)了。

（板書：觀察）

師：到底誰(shuí)猜得對(duì)呢？（動(dòng)動(dòng)小手，驗(yàn)證一下。）

同桌兩人合作，比一比，哪個(gè)圖形的面積最大？

這個(gè)環(huán)節(jié)，教師選擇了如上圖所示的四個(gè)圖形請(qǐng)同學(xué)們比較大小。通過(guò)觀察、重疊、數(shù)格子的方法都可以幫助我們比較圖形的面積大小，學(xué)生在活動(dòng)中積累了經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)重疊法，可以比較出1 號(hào)比3 號(hào)略大，但是無(wú)法比較1 號(hào)和4 號(hào)的面積。此時(shí)，對(duì)面積從定性描述躍升至定量刻畫的需求已經(jīng)水到渠成，而教師此時(shí)準(zhǔn)備的方格紙就成為幫助學(xué)生進(jìn)行概念深化的重要幫手。

（二）聚焦量感涵育，定量刻畫“面積”。

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中對(duì)量感是這樣描述的：量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)屬性及大小關(guān)系的直觀感知；知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性，會(huì)針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量；建立量感有助于幫助學(xué)生養(yǎng)成會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界和解決問(wèn)題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

在《認(rèn)識(shí)面積》這一課中，對(duì)“面積”這一概念的認(rèn)識(shí)，如何實(shí)現(xiàn)從定性描述到定量刻畫的躍遷，需要我們做好以下幾點(diǎn)：

1.追問(wèn)啟發(fā)，感受使用“單位”的必要性。

在片段3 的學(xué)生匯報(bào)中，許多小組都會(huì)主動(dòng)使用方格紙去比較1 號(hào)圖形與4 號(hào)圖形的面積大小，這是為什么呢？1 號(hào)圖形比4 號(hào)圖形寬，可是4號(hào)圖形卻比1 號(hào)圖形長(zhǎng)，用重疊的方法已經(jīng)無(wú)法比較這兩個(gè)圖形面積的大小了。因此，使用一個(gè)合適的、統(tǒng)一的度量單位去度量這兩個(gè)圖形的面積此時(shí)成為了現(xiàn)實(shí)需求。這個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生充分地感知到統(tǒng)一度量單位的必要性。

片段4：

生：1 號(hào)圖形有15 格，4 號(hào)圖形有16 格，所以4 號(hào)圖形大。

師（追問(wèn)）：為什么這樣就表示4 號(hào)圖形大呢？

生：因?yàn)? 號(hào)圖形包含的小格子多。哪個(gè)圖形包含的小格子多，哪個(gè)圖形的面積就大。

經(jīng)過(guò)這一活動(dòng)，學(xué)生知道相同的小方格可以作為一種度量面積的單位，以方格的數(shù)量來(lái)確定面積的大小。包含小方格多的圖形面積大，包含小方格少的圖形面積小。如果包含的小方格一樣多，它們的面積就一樣大。

2.向深沉潛，感受統(tǒng)一“單位”的應(yīng)然性。

片段5：

師：老師這還有兩個(gè)圖形，它們都包含16 個(gè)格子，你覺(jué)得哪個(gè)圖形的面積更大？

學(xué)生（不假思索）：一樣大！

師：同學(xué)們都認(rèn)為一樣大？

生：不一定。

師（追問(wèn)）：為什么不一定呢？

生：不知道格子的大小。

（課件展示圖形，如圖。）

這個(gè)活動(dòng)放在最后，再一次將課堂氣氛推向高潮。之前的學(xué)習(xí)已經(jīng)讓學(xué)生產(chǎn)生了使用統(tǒng)一度量單位度量面積大小的需求，也明白了使用統(tǒng)一度量單位度量面積的優(yōu)勢(shì)所在。但對(duì)于在不同的圖形中統(tǒng)一度量單位的認(rèn)知還不夠明確。

經(jīng)歷了這一環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)度量的感知再次升華。也進(jìn)一步明確了，在這里需要比較的是面積大小，而不僅僅是圖形所包含的格子數(shù)量。這也是“量感”中強(qiáng)調(diào)的統(tǒng)一度量單位的必要性。在度量或感知具體的量的過(guò)程中，不能只關(guān)注數(shù)值而忽略了計(jì)量單位。

二、面積教學(xué)“深思考”

2022 年版課標(biāo)已經(jīng)出臺(tái)，“讓核心素養(yǎng)落地”是本次課程標(biāo)準(zhǔn)的一大特點(diǎn)。以課程標(biāo)準(zhǔn)為準(zhǔn)繩，我們的課堂也應(yīng)該以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向。“面積”是小學(xué)階段較早出現(xiàn)的重要的抽象概念，涉及從具體到抽象的思維過(guò)度，類似的概念教學(xué)也有很多。

如何在概念教學(xué)的課堂中讓核心素養(yǎng)落地，是我們需要考慮的問(wèn)題。

1.研讀教材，把握概念內(nèi)涵。

以本節(jié)《認(rèn)識(shí)面積》為例，教材中并未直接給出“面積”的定義，而是讓學(xué)生在活動(dòng)中感受面積。通過(guò)摸、看、比等活動(dòng)，從認(rèn)識(shí)“面”開始，理解物體表面和平面圖形的大小就是面積，得到定性描述的概念認(rèn)知；接著，通過(guò)活動(dòng)引發(fā)需求，滲透使用和統(tǒng)一度量單位的需求。

我們?cè)谶M(jìn)行概念教學(xué)的時(shí)候，首先需要認(rèn)真研讀教材，尊重學(xué)生實(shí)際，厘清概念內(nèi)涵的層次；接著，設(shè)計(jì)適合的探究活動(dòng)，產(chǎn)生認(rèn)知和使用這一概念解決實(shí)際問(wèn)題的需求；最后還需要及時(shí)對(duì)概念進(jìn)行總結(jié)與辨析，凸顯概念本質(zhì)。

2.注重聯(lián)系，拓展概念外延。

任何數(shù)學(xué)概念都不是孤立存在的，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)以結(jié)構(gòu)化的方式來(lái)組織課程內(nèi)容，這需要我們更加注重知識(shí)之間的聯(lián)系。以本課為例，在定量刻畫面積大小的過(guò)程中，潛移默化地滲透了對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)，為之后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。認(rèn)識(shí)面積，但不局限于面積本身，通過(guò)適切的教學(xué)活動(dòng)適當(dāng)延展，一方面與已有經(jīng)驗(yàn)結(jié)合，通過(guò)三次對(duì)“大小”的探索，發(fā)展學(xué)生的“空間觀念”；另一方面，立足量感涵育，通過(guò)有針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)感受統(tǒng)一單位的必要性與應(yīng)然性。

總之，核心素養(yǎng)下的概念教學(xué)不能讓學(xué)生只滿足于知道概念，更重要的是理解概念的內(nèi)涵與本質(zhì)，更新認(rèn)識(shí)，提升思維水平。唯有這樣，才能逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。而“空間觀念”與“量感”作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，它的發(fā)展需要一個(gè)過(guò)程。教師唯有準(zhǔn)確把握學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，精準(zhǔn)定位概念內(nèi)涵，并設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)有助于思維進(jìn)階的場(chǎng)域，才能促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的逐步進(jìn)階。