巧設問題 引領探究

孔小軍

[摘 ?要] 數學是一門抽象且復雜的學科. 若想讓學生學好數學，教師應認真地研究教材、研究教學、研究學生，從教學實際出發，精心設計問題，讓學生在問題的引導下親身經歷知識形成、發現和應用的過程，從而讓學生更好地理解數學、應用數學，提高學習品質.

[關鍵詞] 巧設問題;引領探究;過程;品質

高中階段學生將學習很多概念、公式、定理等基本知識，若對這些基本知識僅限于單一的講授和機械式記憶，可能很難達到靈活應用、融會貫通的效果. 另外，單一的講授和機械式記憶無法誘發學生深度思考，將影響學生思維能力的發展和學習能力的提升. 因此，教學中教師必須改變傳統的教學策略，想方設法地引領學生思考，拓展學生的思維，讓學生熟練地掌握知識、深刻地理解知識. 問題作為思維的起點，是引發學生思考的動力源，是激發學生潛能的助推器. 因此，教師應關注問題的設計，借助有針對性的、啟發性的問題讓學生的學習能力和思維能力獲得有效的發展和提升.

本文以“兩角差的余弦公式”的教學為例，從教學實際出發，精心設計問題，在問題的驅動下提升學生的“四基”，發展學生的“四能”，落實學生的數學素養.

教學分析

三角函數涉及的公式眾多，教學中若簡單地將公式拋給學生讓其記憶，也許學生能在本節課的學習中熟記公式，并能運用公式解決問題，但是隨著時間的推移，學生很容易遺忘，這樣勢必影響學生的解題效果. 因此，教學中教師要改變傳統的“講授”，多為學生創造一些獨自思考和合作交流的機會，以此讓學生在思考和交流中深入理解知識，提高教學的有效性.

“兩角差的余弦公式”是“三角恒等變換”這一章的基礎和教學出發點，其有著非常重要的意義. 在本節課教學前，學生已經掌握了任意角三角函數的概念，本節課既是任意角三角函數的延伸，又是后續學習兩角和、差、倍、半角等公式的基礎.

在教學中，教師應帶領學生經歷發現、探索和證明知識的過程，讓學生體驗自主探索的樂趣，培養學生自主探究的能力，激發學生提出問題的意識，提升學生的數學素養.

教學過程

1. 創設情境

師：某市小山有一座電視發射塔，現欲求電視發射塔頂端距離地面的高度. 測量數據如下：如圖1所示，地面上有一點A，測得A，C兩點間的距離約為60米，從A點觀測到小山和電視發射塔頂端的角度分別為15°和45°. 思考一下，根據以上數據能否求出地面與電視發射塔頂端的距離BD呢？

問題給出后，學生很快就形成了解答思路，教師點名讓學生展示解答過程.

生1：在Rt△ABC中，=cos∠CAB. 因為∠CAB=15°，AC=60，所以AB=60cos15°. 又在Rt△ABD中，=tan∠DAB，所以BD=60cos15°·tan60°=60cos15°.

師：你們也是這樣計算的嗎？

生2：我也是這樣計算的，但是感覺這個結果有問題——結果中出現了cos15°，這個到底是多少呢？

設計意圖 以上問題是非常熟悉的，學生能夠輕松地給出正確的解答過程并求得BD的長為60cos15°米，這樣自然能夠引發學生質疑：cos15°是多少呢？從而激發學生的探究欲，提高學生參與課堂的積極性.

2. 探索嘗試

師：剛剛生2提出的問題非常好，那么cos15°到底等于多少呢？

問題給出后，教師沒有直接給出求解過程和答案，而是鼓勵學生嘗試應用已有知識和經驗進行推導.

生3：cos15°=cos（45°-30°）=-=.

師：對嗎？如果按照這個規律計算，那么cos30°等于多少？

生3：cos30°=cos（60°-30°）=-=≠.

師：通過以上分析我們知道，cos（α-β）=cosα-cosβ不成立. 那么大家思考一下，cos（α-β）與sinα，sinβ，cosα，cosβ有沒有什么關系呢？

設計意圖 受思維定式的影響，推導時學生容易出現cos（α-β）=cosα-cosβ這樣的錯誤. 在教學中，教師沒有直接否認學生的結論，而是讓學生利用特值法去驗證，使學生自主發現cos（α-β）=cosα-cosβ并不成立. 這樣讓學生通過探究自主糾正錯誤，可以深化學生對錯誤的理解，能夠有效避免錯誤的再次發生. 同時，通過有效驗證，能讓學生體驗到數學的嚴謹性，有效提升學生的學習品質.

3. 探究新知

師：兩點間的距離公式大家還記得嗎？已知P（x，y），P（x，y），P，P之間的距離是——

生齊聲答：.

師：很好，大家結合兩點間的距離公式的推導過程，看看能否找到計算cos（α-β）的方法呢.

為了便于學生探究、交流，教師精心設計了問題進行引導：

如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中作單位圓，以x軸非負半軸為始邊分別作角α，β，α-β（α≠β+2kπ，k∈Z），它們的終邊分別交單位圓于點P，A，P，它們的坐標如何表示？（學生積極思考、主動交流）

生4：P（cosα，sinα），A（cosβ，sinβ），P（cos（α-β），sin（α-β））.

師：很好，如何將cosα，sinβ，sinα，cosβ，cos（α-β），sin（α-β）聯系起來呢？

生5：由已知可得，弧PA等于弧PA，故PA=PA. 由兩點間的距離公式可以推導出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：非常好，若α=β+2kπ（k∈Z）時，易證. 故對任意角α，β都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：現在你會求cos15°了嗎？

教師預留時間讓學生自主解決教學初始提出的問題，以此進一步深化學生對兩角差的余弦公式的理解.

師：觀察兩角差的余弦公式，說說它有什么結構特點.

設計意圖 在探索新知的過程中，教師從學生的已有知識出發，引導學生結合兩點間的距離公式自主探尋兩角差的余弦公式，這樣借助舊知為新知探索架橋鋪路，有利于提升學生參與課堂的積極性. 同時，在新知探究的過程中，教師精心設計具有指向性的問題，引導學生運用數形結合思想方法探究問題，培養學生自主探索的能力. 在以上探索的過程中，教師以生為主，讓學生通過思考、探究得出結論，使學生在成功的體驗中獲得數學學習動力.

4. 例題講解

在教師耐心的啟發和指導下，學生通過自身不懈的努力得到了結論. 為了讓學生進一步理解和應用兩角差的余弦公式，教師精心挑選了練習題：

練習題1：cos50°cos20°+sin50°·sin20°=______.

練習題2：cos（-15°）=______.

練習題3：化簡cos（α+45°）cosα+sin（α+45°）sinα.

設計意圖 以上三個練習題的難度不大，是兩角差的余弦公式的簡單應用. 通過具體練習能讓學生注意到公式正向、逆向應用，提高其思維的靈活性. 同時讓學生注意到，對于兩角差的余弦公式，α，β既可以是單角，也可以是復角. 這樣通過簡單的、多角度的探究能讓學生全面深刻地理解公式，優化學生的知識結構，提高學生的數學應用能力.

教師完成前面三個練習題的評講后，為了進一步提高學生分析和解決問題的能力，教師又設計了一個拓展題，以此幫助學生更好地理解知識，實現知識的內化.

拓展題：已知α，β均為銳角，且sinα=，cosβ=，求α-β的值.

設計意圖 這是一道由值求角的拓展題，難度略有提升.這道題通過反向探究可以讓學生掌握解決此類題目的方法. 對于此類題目，學生解答時容易忽視角的范圍而產生增根，引發錯誤. 教師可以學生的易錯點為出發點，通過具體練習讓學生掌握解決此類題目的步驟，以此提高解題準確率.

5. 課堂小結

此環節中教師應為學生提供一個自由交流的學習環境，讓學生通過互動交流總結歸納本節課之所獲，進而豐富學生的認知體系，幫助學生積累學習經驗.

師：請大家談一談，本節課你有哪些收獲？

教師預留時間讓學生反思回顧，之后互動交流.

生6：掌握了兩角差的余弦公式.

生7：理解了兩角差的余弦公式的推導過程及相關應用.

……

師：很好，看來大家收獲很多. 那么具體應用公式解決問題時要注意些什么呢？

生8：要注意角的范圍.

設計意圖 通過反思回顧，可以加深學生對知識的記憶. 在本環節中，教師將總結歸納的機會留給了學生，并進行了適度的補充，以此讓學生更加全面地理解知識，建構完善的認知體系.

教學思考

在教學中，教師應從實際出發，精心設計生活情境，讓學生利用已有知識和經驗探索未知，并在探索中發現和提出問題，以此激發學生的探究欲以及學習興趣. 在本節課的教學中，教師重視激發學生的主體作用，為學生創設了一個平等、互動的學習環境，帶領學生體驗發現、提出、推導、應用新知的過程，培養學生的創新意識. 另外，在教學中，教師結合教學內容精心設計問題，引導學生積極主動地分析問題，探究問題解決的途徑和方法，并幫助學生突破教學重難點，讓學生體驗數學探究的樂趣，激發學生的潛能，提升學生的綜合素養.

總之，在新知探究中，教師要創設機會讓學生去發現、去探索、去創造，以此讓學生掌握研究數學的方法和路徑，有效提高學生的數學學習能力.