基于“三個理解”培養學生的運算素養

趙素敏

[摘 ?要] 運算素養是數學六大核心素養的要素之一，對學生的可持續發展具有重要影響. 如何基于“三個理解”培養學生的運算素養呢？文章從“理解數學，將運算融入知識結構”“理解學生，讓學生親歷運算過程”“理解教學，養成良好的運算習慣”三個方面展開分析，與同行交流.

[關鍵詞] 三個理解;理解數學;理解學生;理解教學

章建躍博士在“中小學數學課程核心內容及其教學的研究”中提出：改進課堂教學需基于理解數學、理解學生、理解教學（簡稱“三個理解”）實施[1]. 這個理念為如今的課程改革提供了明確的方向，對課堂教學具有指導意義. 筆者在培養學生運算素養的過程中，踐行“三個理解”理念，獲得了不錯的成效.

理解數學，將運算融入知識結構

理解數學是指師生對數學知識的理解程度，這種理解并非單純理解數學知識本身或具備解題能力，更重要的是對數學知識的產生背景、形成過程與方法等有一個全方位的認識，尤其對于知識的結構、本質、內涵與外延等都一清二楚.

教師一旦理解了數學，就能明確教學方向、教學重點與難點，設計出科學、適切的教學方案;學生一旦理解了數學，就能用合理的方法去探索、研究學習內容，為完善認知體系奠定基礎. 實踐發現，將運算規律與法則等融入知識結構是發展學生運算素養的前提.

案例1 “對數的運算性質”的教學.

不少學生對“對數的運算性質”的掌握不夠牢固，對其適用范圍與運算法則的應用模糊，甚至有學生解題時自創出類似于“log（M+N）=logaM+logaN”與“logaM·logaN=log（M·N）”的運算公式.

想讓學生明晰對數的運算性質，讓學生對其算法與算理有深入的理解以及應用能力，第一步需要帶領學生了解“對數”的來龍去脈. 學生已有的認知結構中有加減乘除、乘方、開方等運算法則，那么學習對數的運算性質又是用來干什么的呢？這是進入本節課的開篇思考，教師可以有意識地帶領學生探索這個問題，學生只要弄清楚其“前世今生”，就能對它產生生動、形象的認識.

對數的產生與自然學科有著密不可分的聯系，尤其與天文學的發展相關，對數的出現簡化了這些領域中冗長煩瑣的運算. 那么，對數的運算究竟是什么樣的呢？基于學生對對數“前世”的初步認識，遇到對數的“今生”用指數運算推導其運算性質便水到渠成.

有些教師受傳統教學觀念的影響，在對數運算性質的教學中出現了“輕證明，重實操”的現象，這部分教師試圖通過大量重復的運算訓練靈活學生的思維，以便更好地達成教學目標. 殊不知，這種短時間內高強度的運算訓練是引發學生“懂而不會”的根源——學生在課堂上聽懂了，做題也沒有問題，但在課后作業與小練中則漏洞百出.

究其主要原因，在于學生對公式的推理過程不甚了了，短期高強度的訓練只是提高了短期內的運算速度，顯然這并不是長久之計. 學生沒有從源頭上理解知識本質，更沒有親歷知識的形成與發展過程，那就談不上知識的自主建構、內化與升華，在后續需要應用時，只能憑借“熟能生巧”的功夫進行模仿，而“依葫蘆畫瓢”所呈現的結論只能是個“樣子”，無法達到真正意義上的理解與掌握，更無法長時記憶.

例1 若函數f（x）=（x≠1且x>0）.

（1）寫出該函數的單調區間;

（2）如果2>xa對任意x∈（0，1）恒成立，則a的取值范圍是什么？

解析 問題（1）比較簡單，學生都能順利解答，此處略;不少學生看到問題（2）時，感覺難度較大，無從下手. 其實，若將問題（1）和問題（2）聯系在一起進行分析，再結合指數與對數的關系進行思考，可將冪函數與指數函數化歸成對數函數，也就是根據ln2>lnxa這個條件，推導出ln2>alnx，再根據f（x）=分析化簡不等式ln2>alnx，從而設計出合理的運算方式解題.

此過程對學生的思維能力與運算素養提出了較高的要求，這需要教師在日常教學中有意識地引導學生注重對知識本質的探索，當遇到實際問題時才能從知識的內部聯系出發，實現融會貫通.

值得注意的是，探索知識本質的過程并不是完全忽略課堂上的強化訓練與記憶，這兩者并不沖突. 想讓兩者很好地融合在一起，可從課堂授課出發，引導學生盡可能地自主探索并建構概念，通過思考、推理，自主抽象出公式、法則等.

學生一旦對知識的來龍去脈有了明確的認識，就能在大腦中建構清晰的脈絡，那么在后續學習中才能成功地以舊引新，形成知識的正遷移，建構完整的知識網絡. 遇到運算時，也能靈活利用化歸轉化等思想，為發展數學核心素養奠定基礎.

理解學生，讓學生親歷運算過程

理解學生是指教師對學生的知識基礎、學習需求、潛能以及個體差異等都有一個明確的認識，理解學生已有的認知結構與規律，明晰學生學習過程中潛在的一些困難. 俗話說“知己知彼，才能百戰不殆”，學生是課堂教學主要的服務對象，是教學設計的依據. 教師只有在充分了解學生的基礎上，做好教學診斷才能設計出符合學情的教學方案，讓學生在適切的教學中提高運算素養.

發現學生的最近發展區是理解學生的關鍵步驟，想讓有限的課堂最大化地發揮教學成效，需要在充分尊重學生的基礎上與學生溝通、交流，通過師生、生生共同協作提高學生的學習能力與運算素養[2].

案例2 “解析幾何”的教學.

解析幾何是高中階段的教學重點與難點問題，不少教師花費了不少時間與精力與學生一起研究、探討，但學生總是呈現出“思路沒毛病，卻計算不出結果”的狀態. 為了更好地掌握問題的根源，教師需要從學生的思維習慣與知識特點出發進行剖析，了解學生的真實想法才能做好引導工作，讓學生有所突破，而不是一味地將運算過程演示給學生看.

例2 如圖1所示，已知曲線C是由“部分橢圓C：+=1（a>b>0，同時y≥0）”與“部分拋物線C：y=-x2+1（y≤0）”連接而來，點A，B分別為C與C的公共點，為橢圓C的離心率.

（1）a，b的值分別是多少？

（2）已知過點B的直線l和C，C分別相交于點P，Q，且P，Q，A，B四點中的任意兩點都不重合，AP⊥AQ，寫出直線l的方程.

解析 （1）略.

（2）聯系問題（1）不難求出位于橫軸上方的橢圓方程為y2+2x2=2（y≥0）. 結合題意可知過點B的直線l的斜率不為零且存在，因此可設直線l的方程為x=my+1（m≠0），將該式代入橢圓C的方程，可得（2m2+1）y2+4my=0，獲得點P

，，很明顯m<0.

同樣，把x=my+1（m≠0）代入拋物線C的方程，獲得點Q

，-

. 因為AP⊥AQ，所以·=

+1·

+1-·=0，即8m2+2m=0，解得m=-，滿足m<0，由此可以確定直線l的方程為4x+y-4=0.

本題的直線l的方程存在兩種設法，除了上述設x=my+1（m≠0），還能設y=k（x-1）. 設y=k（x-1），是學生優先選擇的一種方法，因為講授關于直線方程的幾種形式時，學生最開始接觸的就是這種方程，日常解題應用中使用頻率也比較高.當學生提出這種設法時，教師應靜下心來與學生一起探討運算過程，而非一口否定學生的想法.

方程聯立，利用韋達定理求解，大部分學生經常聽到“設而不求”這個詞，至于這個詞所表達的實際意義卻不得而知. 結合本題來分析，已知直線l與橢圓C1的交點B，還有一個交點P雖然未知，卻能輕易地計算出來，因此設x=my+1（m≠0）不僅能減少運算量，還能幫助學生理清解題思路，體會數學學習的樂趣.

綜上分析后，筆者要求學生再次回顧本題的解答過程，通過類比分析拔高數學思維，為后續科學合理地擇取運算方法奠定基礎，同時能有效強化學生的運算素養. 因此，理解學生是教學設計與實施教學的重中之重，教師應與每一個學生建立良好的關系，促使每一個學生都能在學習中獲得不同程度的發展.

理解教學，養成良好的運算習慣

理解教學是指教師本身對教學方法與教學藝術有著較高的造詣. 教師對數學教學的本質和功能、學生的認知發展規律以及教學原則等都有明確的認識，可將“教”與“學”有機地融合在一起進行思考、應用，且能站到宏觀的角度來分析與處理課堂中存在或突發的一些問題.

雖說教師在課前會精心備課，做好充足的預設，但教學是一個動態的過程，并不是簡單地執行預設那么簡單，課堂會隨著教學活動的推進與深入不斷重新生成，因此課堂也是學生不斷發現與提升的過程[3]. 究竟該如何培養學生的運算能力，讓學生在課堂中形成良好的運算習慣呢？

教師若以課件直接演示運算過程與結論，造成的后果就是“懂而不會”，想要培養學生的運算素養，最重要的就是理解教學，帶領學生掌握運算規則與方法，切忌越俎代庖，讓學生在心算、筆算的過程中激活自己的思維，清晰解題思路. 同時，整潔的草稿也是提高運算能力的關鍵，草稿紙上運算完全正確，卻因字跡潦草導致謄寫錯誤的現象常有發生.

值得注意的是，學生的心理狀態也是培養運算習慣的關鍵. 面對同一個問題，有學生打心眼里就畏懼它，那么解題必然困難重重;有學生相信自己一定能找出解題方法，能靜下心來耐心鉆研.

案例3 “平面向量”的單元教學.

平面向量章節的運算比較豐富，學生一不小心就容易出現各種運算錯誤. 數學學科中的向量知識與物理學科中的矢量有一定的關系，將向量與速度、位移、力、加速度等的運算進行類比，能提高向量運算效率.

如向量概念的抽象過程，教師可以引導學生思考“距離與位移之間的異同點”，讓“數量”概念進行重現，再將數量與向量進行類比分析;向量加法運算的研究，教師可以帶領學生將向量加法運算與實數運算的交換律、結合律等進行類比;至于向量的數乘運算，可與質點做勻速直線運動的位移進行類比，當抽象出數乘的運算律后，要求學生思考：向量數乘與實數乘法的異同點.

以上類比過程為建構向量的線性運算體系奠定了一定的基礎，但還遠遠不夠，線性運算體系的建構還要以平面向量的基本定理來統領，其本質為：平面上的任何向量都可以由兩個不共線的向量線性表示. 一旦認識到這一點，學生對向量定理的理解、證明就有了較深刻的認識.

從向量定理本身來說，其內容與證明過程難度并不大. 問題主要在于定理的應用，學生遇到實際問題時難以靈活應用該定理來解決問題，同時對于向量定理具體能解決什么問題也沒有一個明確的認識. 因此，教師應注意例題的選擇，經典例題往往是培育學生運算能力的關鍵.

例3 如圖2所示，平行四邊形ABCD中的AB=8，AD=5，=3，·=2，求·的值.

解析 這是一道經典例題，著重考查學生的運算基本功. 從題設條件與待求結論來看，大部分信息都是圍繞向量與的，因此可以將這兩個向量視為一組基底，從平面向量的基本定理出發，將條件中的與都轉化成基底向量與，在此基礎上再稍作化簡，本題就能圓滿解決.

解題前期循循善誘的引導以及對向量知識的類比分析，能有效夯實學生的知識基礎. 當學生遇到實際問題時，則能從認知結構中快速抽象出問題的本質，稍作處理即可輕松完成解題任務. 由此可以看出，理解教學是促進運算素養發展的根本.

總之，“三個理解”指導下的數學運算素養培養可謂“仁者見仁，智者見智”，只有從多角度進行思考與實踐，才能撥開云霧見天日. 作為一線數學教師，應不斷提升自身的業務水平與教學理念，為培養學生的數學核心素養提供肥沃的土壤.

參考文獻：

[1] 章建躍. “第六屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動”總結暨大會報告 發揮數學的內在力量為學生謀取長期利益[J]. 中國數學教育，2013（Z2）：3-6+9.

[2] 羅增儒. 從數學知識的傳授到數學素養的生成[J]. 中學數學教學參考，2016（19）：2-7.

[3] 威廉·卡爾文. 大腦如何思維：智力演化的今昔[M]. 楊雄里，粱培基，譯.上海：上?？茖W技術出版社，2007.