基于諧波合成法模擬的脈動風速功率譜密度和相關性分析

張慧彬

（華杰工程咨詢有限公司，北京 100029）

0 引言

近年來，我國對基礎設施建設持續(xù)投入，跨越江河、海洋、峽谷的大跨度橋梁應用廣泛。為滿足通航需求，大跨度橋梁通常一跨或幾跨跨越江河，主跨跨徑已達千米級別，如主跨1018m 的香港昂船洲大橋，主跨1088m 的蘇通長江公路大橋，滬蘇通長江公鐵大橋以及在建的常泰長江公鐵大橋。大跨度橋梁主跨跨徑增加、結構剛度變小、對風的敏感性增加，表現(xiàn)出輕、柔、高的特征。江河、海洋、峽谷地區(qū)風環(huán)境復雜，風荷載很容易引起橋梁較大的變形和振動，影響結構的可靠性和安全性。在進行時域風振響應分析時，風荷載已經成為大跨度橋梁結構設計的控制性荷載。因此，模擬橋梁結構的風荷載，進而對橋梁進行風致振動響應分析是大跨度橋梁設計中必須考慮的重要因素。

眾多學者首先采用現(xiàn)場的風場實測或健康監(jiān)測的方法，獲取橋址區(qū)和橋梁結構自然風場的特性。一方面采集的風特性實測數(shù)據可以用于脈動風場數(shù)值模擬，另一方面可用于橋梁結構風洞試驗。針對不同地區(qū)的氣候特征、地形條件等因素，不同國家和地區(qū)制定了相應的規(guī)范，如美國建筑荷載規(guī)范（ASCE7-10）、加拿大國家建筑規(guī)范（NBCC）等。針對復雜地區(qū)的大跨度橋梁的風場特性分析，眾多學者往往進行現(xiàn)場監(jiān)測，補充橋梁結構所受來流風的實測數(shù)據。例如，王浩等[1]針對潤揚大橋和蘇通大橋的健康監(jiān)測平臺，采集了特殊氣候條件下橋址區(qū)的風場特性；趙林等[2]利用臺風經過西堠門大橋時的實測數(shù)據，分析了湍流強度和功率譜特性。

基于實測風場特性的分析結果，采用線性濾波法、諧波合成法和小波變換等方法，模擬橋梁結構的來流風，成為時域分析中的常用分析辦法。例如，王浩等[3]基于潤揚懸索橋的實測數(shù)據，對橋址區(qū)三維脈動風場進行了有效的數(shù)值模擬；宋玉鵬等[4]采用二維波數(shù)-頻率域的非均勻離散策略，改善了諧波合成法的計算效率；李黎等[5]考慮了橋塔風效應，有效模擬了龍?zhí)逗犹卮髽蚴┕ぷ畲箅p懸臂階段的脈動風場；馬俊等[6]結合諧波合成法和自回歸方法的優(yōu)點，提出高效高精度新型混合方法，計算精度顯著提高；韓艷和陳政清[7]根據文獻的數(shù)值方法，模擬洞庭湖大橋脈動風場；孫芳錦和顧明[8]應用小波分解方法，結合線性濾波法的向量過程自回歸模型，給出了模擬空間脈動風場的一種新方法。

以規(guī)范冪指數(shù)、風速譜和相干函數(shù)為輸入條件，采用諧波合成法數(shù)值模擬大跨度橋梁主梁位置處的脈動風速，對模擬的風速時程分析了功率譜特性，表明該模擬方法可以有效模擬橋梁結構所承受的來流風。

1 風速模擬

1.1 模擬參數(shù)

1.1.1 對數(shù)律

在一段具有均勻粗糙度的水平場地內，對數(shù)律可以較為準確地描述大氣邊界層100～200m 高度范圍內的平均風速。平均風速沿高度變化規(guī)律可以用式（1）來描述：

式（1）中：z為高度；k為馮卡門常數(shù)，一般取值為0.4；U*為地表摩擦速度或流動剪切速度；z0為氣動粗糙長度。

1.1.2 脈動風速譜

脈動風速譜反映了不同頻率成分的渦對總能量的貢獻，湍流運動能量從低頻大渦逐漸傳遞到高頻小渦。含有湍流絕大部分能量的大尺度渦范圍稱為含能尺度，湍流能耗散的小尺度渦范圍稱為耗散尺度，在遠離含能尺度和耗散尺度的中間區(qū)域稱為慣性子區(qū)。在風工程領域，應用較廣的經驗公式Kaimal 脈動風速譜表達式（2）如下：

Panofsky 脈動風速譜表達式（3）為：

橫風向脈動風速譜表達式（4）為：

式（2）～式（4）中：x = nz/U(z)。Kaimal 脈動風速譜反映了高度對風譜的影響。橫風向脈動風速功率譜相對于順風向譜，譜值相對較小，因此在風振響應分析中一般應用較少。

在我國規(guī)范[9]中，順風向和豎向脈動風速譜采用如公式（5）所示：

式（5）中：U為平均風速；n為頻率；z為高度；Su和Sw分別為順風向和豎向脈動風速譜函數(shù)；u*為摩擦速度。采用我國規(guī)范推薦的公式進行計算分析。

1.1.3 相干函數(shù)

空間兩點的脈動風速相關性在頻域中用相干函數(shù)來表示。Davenport 相干函數(shù)經驗表達式為[10]：

其中：

式（6）～式（8）中：r為p1和p2兩點間的距離；Coh(r,n)為相干函數(shù)（平方根）。Cy=16 和Cz=10。

式6 中的相干函數(shù)與頻率有關，改進后的經驗公式（9）如下：

式（9）中：Δ 為空間兩點的距離；B為調整系數(shù)；U為兩點的平均風速均值；C為指數(shù)衰減系數(shù)。

1.2 諧波合成法

基于上述參數(shù)，模擬作用全橋各個離散點的脈動風速時程。脈動風速時程近似為一個零均值多變量一維平穩(wěn)隨機過程，可以用式（10）進行模擬：

式（10）中：Δn = fs/N,fs為截止頻率，N為數(shù)據長度；m為空間點數(shù)；M為離散頻率點數(shù)，滿足N≥2M；ψkl為均勻分布于[0,2π)區(qū)間的隨機相位。

ωkl為雙索引圓頻率，Δω=2π×Δn，其定義為：

Hjk(wkl)為m點空間脈動風互譜矩陣S(wl)的Cholesky 分解矩陣：

θjk為Hjk(wkl)的相位，即

1.3 風速模擬算例

首先對全橋三維脈動風速場進行簡化。模擬計算的主要參數(shù)和結果如下：主梁離地高度z=70m；模擬點數(shù)n=80；間距為28m。采樣頻率fs=10Hz；樣本時間間隔△t=0.1s；模擬頻率分量總數(shù)為3000。

主梁跨中模擬點的脈動風速時程曲線如圖1所示。

圖1 主梁脈動風速時程

為了檢驗上述模擬點計算結果的可靠性，對脈動風速譜和相關函數(shù)進行驗證分析。基于生成的風速樣本，估計了主梁模擬點自功率譜，并與目標譜進行了比較。

主梁跨中脈動風速譜和目標譜如圖2所示。對于順風向脈動風速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內模擬的脈動風速譜值較目標譜值低；在0.01～0.1Hz 頻段內，略高于目標譜值；在0.09Hz 存在極小值，之后隨著頻率增大，模擬的譜值在目標譜上下波動。對于豎向脈動風速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內模擬的脈動風速譜值較目標譜值低；在0.01～0.1Hz 頻段內低于目標譜值；在0.05Hz 存在極小值，之后隨著頻率增大，模擬的譜值在目標譜上下波動。整體上看，模擬曲線在目標函數(shù)曲線上下波動，其模擬譜與目標譜均吻合較好，驗證了模擬方法的有效性和可靠性，表明模擬結果合理。對于順風向和豎向，主跨跨中模擬點在低頻段順風向譜密度明顯大于豎向，在高頻段譜密度均波動明顯。

圖2 主梁模擬脈動風速功率譜密度

無論是順風向還是豎向脈動風速功率譜，均顯示出低頻（大渦）湍流脈動能量較大，譜值較高；在高頻（小渦）段，脈動能量較小，譜值較低。這也符合脈動風在大尺度渦范圍內，氣流慣性力起主導作用，在慣性力作用下，能量從大渦傳遞到小渦，再由小渦傳遞到更小尺度的渦，湍流運動能逐漸被耗散成內能。

2 結語

其一，基于諧波合成法模擬不同位置處的脈動風速時程。以規(guī)范推薦值為輸入參數(shù)，模擬得出主梁跨中順風向脈動風速在25m/s 范圍內波動，豎向脈動風速在8m/s 范圍內波動。

其二，通過檢驗樣本時程風速譜，對于順風向脈動風速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內模擬的脈動風速譜值較目標譜值低，在0.01～0.1Hz 頻段內略高；對于豎風向脈動風速譜，在0.001～0.01Hz 低頻段內模擬的脈動風速譜值與目標值相符，在0.01～0.1Hz頻段內低于目標譜值。整體上，風速譜模擬曲線在目標函數(shù)曲線上下波動，其模擬譜與目標譜均吻合較好，驗證了模擬方法的有效性和可靠性。