大跨鋼-混凝土組合樓蓋的優化設計

吳一凡，潘文豪，羅堯治

(1.浙江大學空間結構研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江大學平衡建筑研究中心，浙江 杭州 310028；3.浙江大學建筑設計研究院有限公司，浙江 杭州 310028；4.浙江省空間結構重點實驗室，浙江 杭州 310058)

隨著現代社會經濟和文化事業的不斷進步，建筑的功能逐漸有了多元化發展.傳統大跨建筑結構主要為屋蓋結構，通常僅有一層大空間，在 工業廠房、交通樞紐和體育場館中，多層大空間建筑日益增多.因此，大跨樓蓋結構的需求有了極大的增加.鋼-混凝土組合樓蓋已經被廣泛應用于多高層建筑的中大跨樓蓋結構中.通過發揮組合作用，鋼-混凝土組合結構可取得節省材料、減輕自重、縮短施工工期、增大使用空間、提升人居品質等綜合優勢.從2000年左右開始，清華大學聶建國教授研究團隊[1-5]對鋼-混凝土組合樓蓋開展長期的研究工作.該團隊發明或發展了多種新型大跨組合樓蓋結構，其中包括雙向鋼-混凝土組合樓蓋（可采用現澆樓板或疊合樓板的形式）、單雙向混合組合樓蓋和異形斜交組合樓蓋.這些成果成功應用于武昌火車站、山東濱州會展中心、蘇州吳江大廈等大型工程建設項目.貴州大學馬克儉教授團隊[6-8]對大跨度鋼-混凝土空間網格組合樓蓋進行了大量的研究與創新工作，提出鋼-混凝土組合空腹夾層板樓蓋、H型鋼空間網格組合樓蓋、蜂窩型鋼混組合空腹夾層板樓蓋等多種大跨度空間組合樓蓋體系.研究成果在貴州省博物館、黑龍江中醫藥大學文體中心、湖南九華創新園等多個工程項目中得到應用.

為了實現組合樓蓋的經濟效益最大化，考慮大跨單向鋼-混凝土組合樓蓋的優化研究.針對鋼-混凝土組合樓蓋的優化問題，已有許多研究運用不同的算法做大量研究與比較，如和聲搜索算法[9]、狩獵搜索算法[10]、非線性規劃法[11]、遺傳算法[12]、蟻群算法[13]、改進蟻群算法[14]、粒子群算法[15]等.此類研究工作傾向于關注算法的迭代次數、求解效率等指標，通常利用案例分析展現算法在優化計算和節約成本方面的高效性.Kaveh等[16]比較分析各類和聲搜索算法的計算性能，Korouzhdeh等[14,17]在文獻[16]案例分析數據的基礎上，繼續比較和聲搜索算法、蟻群算法、改進蟻群算法和廣義簡約梯度法的優劣性.Ebid[17]的研究表明，廣義簡約梯度法收斂性好，進行組合樓蓋的優化分析時表現較佳.

在優化算法的基礎上，研究人員還進行了參數分析，主要目的是研究各參數對組合樓蓋經濟性的影響.常見的分析參數為組合樓蓋的跨度和所受荷載.Kaveh等[13]和Korouzhdeh等[14]分別采用蟻群算法和改進蟻群算法對組合樓蓋進行參數分析，研究3組可變荷載（可變荷載最大為3 kN/m2）下，4個不同跨度（最大跨度為8 m）的組合樓蓋之間的成本差異，獲得不同荷載下組合樓蓋用鋼量隨跨度的變化關系.Senouci等[12]進行類似的案例研究和參數分析，參數分析的最大可變荷載為16.33 kN/m2，最大跨度為10 m.為了研究大跨度組合樓蓋的優化設計問題，研究人員擴大參數研究范圍，使得范圍符合大跨度組合樓蓋的應用工況.Kravanja等[18]、Klan?ek等[19-20]和Kravanja等[21]分別研究可變荷載2 ～10 kN/m2、跨度小于50 m的大跨度鋼-混凝土組合樓蓋的優化設計問題，還對不同截面形式的組合樓蓋的優勢跨度和經濟性進行比較分析，研究結果表明焊接工字鋼組合樓蓋經濟適用范圍廣，并且在大跨度、大荷載情況下表現優異.

從基于算法的案例研究到參數分析，組合樓蓋優化設計研究逐漸向大荷載、大跨度方向發展，符合組合樓蓋的發展方向和應用實景.對于超大跨度下鋼-混凝土組合樓蓋的適用性問題的分析與探討仍較缺乏.目前參數分析的組合樓蓋截面基本采用雙軸對稱的焊接或軋制工字形鋼，經濟性更好的單軸對稱焊接工字鋼截面的研究不足.此外，一些研究者在組合樓蓋的優化研究中，忽視部分重要的變量或約束條件.對于組合樓蓋而言，全面考慮變量和約束的設置十分必要，一些重要的變量和約束條件能夠起到對截面尺寸和總用鋼量的調節作用，由此影響組合樓蓋的經濟性.許多已有的研究未將混凝土翼板厚度、組合梁間距、鋼梁截面的高厚比限值、組合截面的塑性中和軸位置等變量或約束納入考慮，因此存在一定的局限性.

考慮到現有研究的上述不足，本研究進行單向鋼-混凝土組合樓蓋的優化設計，以探究該形式組合樓蓋的適用范圍和優化設計方向.以國內工程中常用的混凝土與鋼材組成的組合樓蓋為對象進行研究，采用塑性分析方法研究組合梁的極限彎矩，同時考慮塑性中和軸的位置.優化目標函數為組合樓蓋的經濟等效用鋼量，與混凝土、鋼材的價格和用量有關，反映組合樓蓋等效的鋼材消耗程度.采用廣義簡約梯度算法，全面考慮優化變量和約束條件，變量包括焊接工字鋼的尺寸、鋼梁間距和混凝土翼板厚度等8個參數，約束設置時參考規范規定和工程經驗.根據優化結果，從跨度和荷載角度分析鋼-混凝土組合樓蓋的經濟性和適用范圍，探討超大跨度下組合梁截面的發展趨勢，并以此為基礎提出組合樓蓋體系的發展展望.

1 問題定義

考慮如圖1所示的簡支單跨鋼-混凝土組合樓蓋的優化設計問題，鋼梁截面采用焊接工字形鋼.本設計研究的跨度范圍L= 10～100 m，可變荷載的范圍為ω=2～10 kN/m2，永久荷載取結構自重.組合樓蓋的材料特性和配筋如下：

圖1 組合樓蓋優化模型示意圖Fig.1 Optimization model of composite floor system

1）考慮樓板結構常用的C35混凝土，抗壓強度設計值fc= 16.7 MPa；鋼材采用Q355b，屈服強度fy= 355 MPa，強度設計值f= 305 MPa.混凝土容重ρc= 25 kN/m3，鋼材容重ρs= 78.5 kN/m3.

2）混凝土板配筋采用雙層雙向鋼筋網，板底受力筋取經濟配筋率為0.6%，板底縱向鋼筋和板頂雙向鋼筋按分布鋼筋考慮，取構造配筋率為0.2%.

在一定跨度L和可變荷載ω條件下，優化設計的目標是通過變化鋼梁和混凝土板的設計參數，求解滿足國家規范等實際設計要求的等效用鋼量最經濟的樓蓋組合梁截面.

2 優化方法與實現

2.1 計算假定

組合梁優化設計時根據鋼結構設計標準[22]采用塑性分析方法，計算截面如圖2所示，采用以下計算假定.

圖2 組合梁計算截面示意圖Fig.2 Cross-section of composite beam for calculation

1）混凝土翼板和鋼梁之間為完全抗剪連接，不考慮兩者之間的滑移.

2）受拉區的混凝土由于開裂不參加工作.

3）受壓區混凝土均勻受壓，且達到混凝土抗壓強度設計值fc；鋼梁在受拉區均勻受拉，在受壓區均勻受壓，并分別達到鋼材抗拉、抗壓強度的設計值f.

4）組合梁截面的混凝土翼板的計算寬度be按混凝土結構設計規范[23]計算：

式中：l為組合梁跨度，B為鋼梁間距.

在圖2中，be為混凝土翼板計算寬度，hc為混凝翼板厚度；htf、btf為鋼梁上翼緣厚度、寬度；hbf、bbf為鋼梁下翼緣厚度、寬度；hw、tw為腹板高度 、厚度；htot為組合梁的總高度，htot=hc+htf+hw+hbf.

2.2 優化方法

本優化問題需要求解滿足在實際工程設計要求的約束限制下，使得參數分析經濟等效用鋼量最小的鋼-混凝土組合樓蓋的截面設計參數.

2.2.1 目標函數 根據優化目標，選取塑性分析下組合梁截面的經濟等效用鋼量W為目標函數，有

式中：W為經濟等效用鋼量，含義為單位樓蓋面積上的等效鋼材用量；As為鋼梁截面面積；Ac為混凝土翼板面積，Ac=hc×B；ρ為混凝土翼板的總配 筋 率，ρ =0.6%+0.2%+0.2%+0.2%=1.2% ；α為混凝土單價與鋼材等體積單價之比.本研究將優化問題中混凝土的單價取為500 元/m3[24]，鋼材價格取為6000元/噸[25]，α按式(3)計算：

2.2.2 優化變量 優化變量包括鋼梁間距B、混凝土翼板厚度hc，鋼梁上翼緣厚度htf、上翼緣寬度btf，鋼梁下翼緣厚度hbf、下翼緣寬度bbf，腹板高度hw、腹板厚度tw共8個參數.

2.2.3 約束條件 本優化問題的約束條件全面考慮塑性設計要求、規范規定和工程經驗，設置如下：

a）組合梁的正彎矩設計值M小于截面極限抗彎承載力設計值Mu，即

1）塑性中和軸位于混凝土翼板截面（Asf≤behcfc）：

式中：xc為混凝土翼板受壓區高度，xc=Asf/befc.

2）塑性中和軸位于鋼梁上翼緣截面（Asf-2btfhtff≤behcfc＜Asf）：

式中：xtf為鋼梁上翼緣受壓區高度

3）塑性中和軸位于鋼梁腹板截面（Asf-2btfhtff-2hwtwf≤behcfc＜Asf-2btfhtff）：

式中：xw為鋼梁腹板受壓區高度，xw=

b）鋼梁的翼緣滿足塑性設計下的寬厚比要求即

式中：b為翼緣外伸長度，t為翼緣厚度.

c）鋼梁的腹板滿足塑性設計下的高厚比要求，對該簡支梁模型有

d）鋼梁上翼緣面積比鋼梁下翼緣面積不宜過小，本研究取如下約束：

e）鋼梁間距和混凝土翼板厚度應考慮工程實際，本研究取如下約束：

f）組合梁總高度通過經濟高跨比[3,26]限制：

g）組合梁抗剪、撓度等其他約束.

2.3 程序實現

采用廣義簡約梯度法對組合梁截面模型進行優化分析.此算法的求解方式是沿目標函數的梯度下降方向搜索滿足約束條件的可行點，當目標函數的梯度為0時，判斷達到最優解.程序實現有多種途徑，采用Solver SDK優化分析工具，借助Matlab實現.該優化分析工具搭載系列規劃求解引擎，可以解決許多非線性優化問題.在給定約束的限制下，程序通過對變量的組合分析，實現指定目標函數達到最小值，同時輸出該最優情況下的相應變量值.在截面的優化分析過程中，考慮到最優截面的塑性中和軸位置并非確定，塑性中和軸位置不同時的約束條件和正彎矩承載力計算公式也有所不同，故求解時按照塑性中和軸位于混凝土翼板截面內、鋼梁上翼緣截面內、鋼梁腹板截面內3種情況進行比較尋優.

3 優化結果

3.1 組合樓蓋的經濟等效用鋼量

通過對優化結果的匯總與處理，得到跨度L和可變荷載ω這2個設計參數下組合樓蓋的經濟等效用鋼量的變化曲面，如圖3所示.組合樓蓋的經濟等效用鋼量隨跨度的增大而增大，并且隨可變荷載的增大而增大.當跨度和可變荷載同時增大時，經濟等效用鋼量指標迅速增大，指向不經濟的設計工況.由圖3可見，組合樓蓋的經濟等效用鋼量在跨度和可變荷載2個設計參數的影響下變化明顯.

圖3 組合樓蓋的經濟等效用鋼量圖Fig.3 Graphic diagram of economical equivalent steel consumption of composite floor

對用鋼量三維圖進行投影處理，可以得到經濟等效用鋼量的等值線圖，如圖4所示，其中等值線上數值的單位為kg/m2.由圖可見，用鋼量等值線在組合梁跨度和可變荷載的共同影響下呈內凹的形狀，隨著跨度和荷載的增大呈現出由疏向密的分布特性.以可變荷載為4 kN/m2時為例，經濟等效用鋼量為50、100、150和200 kg/m2對應的組合梁跨度分別為22、40、54和65 m.每增加50 kg/m2的用鋼量，容許的跨度增量從18、14到11 m不斷減小.從60～70 m開始，增加50 kg/m2用鋼量獲得的容許跨度增量不足10 m，若同時考慮等值線分布較密的可變荷載大于6 kN/m2的工況，則跨度的增量更為有限.隨著跨度的增加，增大用鋼量對提升組合樓蓋容許跨度的效果逐漸減弱.在跨度大于60～70 m、可變荷載大于6 kN/m2時，仍采用傳統組合樓蓋的設計可能導致經濟性降低.

圖4 組合樓蓋經濟等效用鋼量等值線圖Fig.4 Isolines of economical equivalent steel consumption of composite floor

取可變荷載為2、4、6和8 kN/m2這4種工況，圖5（a）為組合樓蓋的經濟等效用鋼量隨跨度的變化情況.合樓蓋的經濟等效用鋼量曲線隨著跨度增大明顯上升，特別是在跨度大于60～70 m后，等效用鋼量迅速增加.為了考察用鋼量隨跨度的變化速率，圖5（b）給出用鋼量增加速率U與跨度的關系曲線.隨跨度的增加，組合樓蓋等效用鋼量的增加速率也越快.同時考慮到可變荷載的影響，荷載越大，等效用鋼量增速越快.當跨度和可變荷載均很大時，大跨樓蓋結構采用鋼-混凝土組合樓蓋的設計方案導致樓蓋的經濟性逐漸減弱.

圖5 組合樓蓋經濟等效用鋼量變化趨勢Fig.5 Variations and trends of economical equivalent steel consumption of composite floor

3.2 截面優化結果

優化程序同時給出各工況下最經濟的截面優化結果.結果表明，鋼-混凝土組合樓蓋的最優鋼梁截面宜采用上翼緣較小的單軸對稱焊接工字鋼，以充分發揮下翼緣的抗彎承載效率.樓蓋組合梁最優截面恰好達到塑性設計的寬厚比與高厚比限值、梁高限值以及鋼梁上翼緣與下翼緣面積比的限值.

根據優化結果，當跨度和可變荷載增大時，樓蓋的優化組合梁截面所需鋼梁也不斷增大.為了探究優化截面的鋼梁形態，考慮到優化截面的腹板面積與鋼梁總面積之比Ra，繪制出可變荷載為4 kN/m2和6 kN/m2這2種工況下Ra隨組合樓蓋跨度的變化曲線，如圖6所示.組合樓蓋優化截面的腹板與鋼梁面積比隨跨度增大而迅速增大，當跨度大于30 m左右后面積比保持在0.6～0.7.在超大跨度需求時繼續采用鋼-混凝土組合樓蓋設計，腹板面積占鋼梁截面的比例增大，考慮到腹板對抗彎承載力的貢獻相對翼緣效率更低，因此超大跨度下傳統組合樓蓋的經濟性下降.

圖6 優化截面腹板面積與鋼梁總面積比Fig.6 Ratios between area of optimized cross-section’s steel web and whole steel section

優化組合梁截面的塑性中和軸位置反映出一定的截面特性.根據優化結果，計算出塑性中和軸離混凝土和鋼梁交界面的距離（其中混凝土向為正，鋼梁向為負）與總梁高的比值，用Rh表示，繪制出Rh隨跨度的變化曲線，如圖7所示.當跨度為10 m時，組合梁最優截面所需鋼梁小，中和軸在混凝土板內.從跨度約15 m開始，組合梁最優截面的中和軸開始進入鋼梁，為了充分發揮抗彎性能，最優截面的中和軸位置隨跨度的增加快速向鋼梁中部靠近，因此圖7前段的中和軸位置呈現出迅速下移的變化特點.從約40 m跨度開始，中和軸位置變化速度減緩，60 m后中和軸位置基本不變.這說明對于超大跨度組合樓蓋，優化的組合梁截面受力特點與純鋼梁更相近，此時優化的組合截面已經不能充分發揮鋼-混凝土組合結構的組合作用，樓蓋的經濟性降低，需要考慮其他的樓蓋跨越形式.

圖7 優化截面塑性中和軸位置圖Fig.7 Positions of plastic neutral axis of optimized composite crosssection

3.3 組合樓蓋經濟性的探討與發展展望

超大跨度下鋼-混凝土組合樓蓋經濟性下降的原因與截面組成關系密切，圖8反映不同可變荷載下組合樓蓋所承受荷載的占比r的分布情況.由圖可知，組合梁截面的結構自重隨跨度的增加逐漸增大，其中混凝土自重占比逐漸減小，而鋼梁自重的占比快速增加，逐漸成為結構自重的主要組成部分.對于普通跨度的組合梁截面，優化得到的截面能較好發揮鋼-混凝土組合樓蓋的組合作用，隨著跨度增加，組合作用不斷減弱，組合樓蓋的經濟性也逐漸下降；對于超大跨度下的組合梁截面，優化顯示的組合截面性質更接近純鋼梁，這樣的截面已經無法高效發揮組合樓蓋的組合作用，因此經濟性降低.

圖8 組合樓蓋承受荷載占比Fig.8 Proportions of imposed loads of composite floor

這一現象的出現主要歸因于目前典型的組合樓蓋仍采用傳統的工字形鋼梁.當樓蓋的組合梁截面總高度為優化梁高htot=L/20時，隨著跨度增大，樓板厚度變化相較鋼梁梁高的變化很小，因此鋼梁梁高占比不斷增大.當梁高很高時，腹板的尺寸往往由高厚比確定，而不由抗剪承載力確定.因此，在大跨度需求時繼續采用傳統組合樓蓋設計，由于腹板高厚比的限制，抗彎承載效率相對較低的腹板占鋼梁截面的比例迅速增大，導致大跨度組合樓蓋的經濟性下降.

為了進一步拓寬組合樓蓋的適用范圍，需要開發新的組合梁體系.解決思路是從抗彎承載效率相對較低的腹板著手，通過降低腹板區域的用鋼比例達到減小用鋼量、提高承載效率的目的.波形鋼腹板組合梁（圖9(a)）已在更大跨的組合結構中得到使用[27].波形鋼板具有抗剪承載力高、穩定性好的優點，此外還有軸向剛度小的特點.利用波形鋼板優異的抗剪承載力和穩定性，波形鋼腹板組合梁截面的腹板高厚比限值大幅增加，從而可有效地減小抗彎承載效率相對較低的腹板的用鋼量；利用波形鋼板軸向剛度小的特點，波形鋼腹板組合梁截面實現抗彎抗剪的受力分離，其中抗彎由鋼梁的翼緣與混凝土板承擔，抗剪由腹板承擔，承載效率顯著增大.圖9（b）為聶建國等[28]提出的各類新型波形鋼腹板組合梁形式，將波形鋼腹板組合梁在大跨組合結構中推廣應用，具有良好的經濟效益.

圖9 波形鋼腹板組合梁Fig.9 Composite beam with corrugated web

從空間結構的角度出發，研究人員[29-30]開始采用張弦梁結構體系.對于大跨結構設計，張弦梁結構傳力效率高、跨越能力強，是一種常用的結構形式[31-32].圖10為張弦梁結構的受力概念分析，通過拉索內的軸拉力和主梁內的軸壓力形成力偶，高效地抵抗豎向荷載.張弦梁結構體系簡潔美觀、形式多樣，在大跨屋蓋結構中應用取得了顯著的社會經濟效益.

圖10 張弦梁結構的受力概念分析Fig.10 Mechanical analysis of cable-supported beam

為了進一步提升傳統鋼-混凝土組合樓蓋結構的適用跨度，張弦梁體系已經開始用于大跨組合樓蓋結構中[33].相對于屋蓋結構，大跨樓蓋結構的豎向荷載顯著增大.考慮到樓蓋結構該特點，張弦梁用于超大跨樓蓋結構體系的經濟設計，關鍵是在受軸壓力的主梁截面中采用混凝土材料，即采用鋼-混凝土組合的主梁截面，如圖11所示.圖11（b）為傳統工字鋼-混凝土組合主梁的截面，具有構造簡單、施工方便等優點.圖11（c）為本研究提出適用于弦支組合梁的另一種主梁截面形式，采用鋼管混凝土-混凝土板組合主梁.相比較傳統主梁截面，鋼管混凝土-混凝土板組合梁的截面抵抗軸壓和負彎矩作用的性能得到極大增強.圖11（c）所示的新型弦支組合梁可以避免預應力態下工字鋼主梁的穩定問題，同時在該弦支組合梁的設計中，可以采用更大的拉索截面積和初始預應力，顯著提升弦支組合梁的承載能力和適用跨度.發展新型弦支鋼-混凝土組合梁，不僅繼承張弦梁體系受力性能高效的優點，還進一步發揮鋼-混凝土組合結構的組合作用優勢，取得施工便捷、承載能力和跨越能力顯著提高、振動舒適度改善的效果.開展新型弦支組合梁體系的研究，將其推廣應用于超大跨樓蓋結構中，具有良好的發展前景.

圖11 弦支鋼-混凝土組合梁及其截面形式示意圖Fig.11 Schematic illustration of cable-supported steel-concrete composite beam and its cross-section

4 結論

針對現有組合樓蓋優化設計研究中缺乏對超大跨組合樓蓋的分析、優化變量和約束設置不充分等不足，借助廣義簡約梯度算法研究大跨度鋼-混凝土組合樓蓋的優化設計問題.以組合樓蓋的經濟等效用鋼量最小值為目標，對于跨度在10～100 m，承受可變荷載2～10 kN/m2的單向組合樓蓋截面進行優化與分析，主要結論如下.

1）鋼-混凝土組合樓蓋的最優鋼梁梁高由總梁高限值確定，截面采用上翼緣較小的單軸對稱焊接工字鋼，以充分發揮下翼緣的抗彎承載效率.當組合樓蓋跨度小于60～70 m、荷載小于6 kN/m2的工況下，經濟適用性強.對于超大跨的樓蓋結構，傳統工字鋼-混凝土組合樓蓋設計的抗彎承載效率降低、用鋼量增加迅速.

2）樓蓋組合梁優化截面的腹板抗彎承載效率相對翼緣較低，若在超大跨度需求時繼續采用傳統工字鋼-混凝土組合樓蓋設計，腹板面積占鋼梁截面的比例迅速增大，由此導致組合樓蓋的經濟性下降.樓蓋組合梁優化截面的塑性中和軸位置隨跨度和所受荷載的增大而下移.從跨度60 m開始，塑性中和軸位置靠近腹板中部，樓蓋的組合梁受力特點接近純鋼梁，此時組合樓蓋的組合作用已經不能充分發揮，從而導致經濟性減弱.

3）結合參數分析的結論，從組合梁截面特性和受力機理的角度探討超大跨度下組合梁截面的發展趨勢，通過降低腹板區域的用鋼比例達到減小用鋼量、提高承載效率的目的.以此為基礎，展望了波形鋼腹板組合樓蓋和新型弦支組合樓蓋的發展.新型弦支組合樓蓋繼承張弦梁體系受力性能高效的優點，還進一步發揮鋼-混凝土組合梁的組合作用優勢，可以有效提高樓蓋的承載能力和經濟跨度.