倒傘型林果采收機含間隙鉸鏈動力學仿真與混沌響應分析

孫福興 ，錢孟波 ，潘佳煊 ，虞 浪 ，陳 強

（浙江農林大學光機電工程學院，浙江 杭州 311300）

0 引言

農業領域中林果收集裝置多數是倒傘型林果收集機構。徐道春等[1]發明一種倒傘型無患子果實收集裝置，該裝置主要包括倒傘機構、收集箱和驅動支撐機構。牛長河等[2]提出一種可移動式果實倒傘型收集裝備，該裝置工作過程：首先將其推向樹干，在導向桿的作用下，將樹干導向轉動桿支架中心，人工拉動轉動桿可帶著果實收集篷布以樹干為中心，從前往后展開形成一個V 形收集面，可將整個樹冠包圍起來，避免漏果。杜小強等[3]研究出一種自走式倒傘形果實收集裝置，該裝置由底盤、發動機與倒傘形支撐架組成，自動化程度高，能夠快速收集果實，并自動進行裝箱，防止果實掉落地面而破損。倒傘型裝置的傘骨主要是RRR-P 四桿折展機構。機構實際運動過程中，由于制造加工、摩擦磨損等多方面原因，致使運動鉸鏈中間隙是客觀存在的。鉸鏈間隙增加了機械多體系統動力學的不穩定性與工作失靈可能性[4]。國內眾多學者對含間隙運動副展開了研究，如黃鐵球等[5]針對含間隙的平面旋轉副以及移動副建立了有限元模型；張躍明等[6]對同時考慮構件彈性和旋轉副間隙的空間機構進行了動力學研究等。

實際工況下，由RRR-P 四桿機構為傘骨單元形成的倒傘型收集機構，鉸鏈處的間隙數量往往不止一個，不同鉸鏈間隙位置之間的相互作用使機械系統變得更為復雜多變。鉸鏈間隙的存在不僅增加了RRR-P 四桿機構運動的不確定性，而且鉸鏈處副元素的摩擦碰撞會導致該四桿折展單元之間的運動失衡，甚至造成機構出現運動卡滯現象。因此，設計以RRR-P 四桿機構為基礎單元的倒傘型收集機構必須考慮工作過程中鉸鏈間隙帶來的影響。本文基于ADAMS 動力學仿真軟件，以RRR-P 四桿可展機構為研究對象，建立含間隙RRR-P 四桿機構動力學模型。結合ADAMS 二次開發功能讀取Fortran 語言編寫的間隙接觸力計算子程序，將間隙碰撞模型引入到仿真模型中。從不同間隙位置、不同間隙尺寸、不同間隙個數仿真分析含間隙RRR-P 四桿機構的非線性動力學特性，并結合MATLAB 利用小數據量法計算其最大Lyapunov 指數，揭示含間隙RRR-P 四桿機構非線性動力系統中存在的混沌現象。

1 間隙旋轉副動力學模型的建立

等效間隙鉸鏈關節的放大表示如圖1 所示，關節間隙可以定義為軸銷和孔體半徑的差值c，間隙矢量的大小表示軸銷和孔體中心之間的相對位移r。在關節間隙運動過程中，可以觀察到軸銷與孔體之間的3種不同運動狀態：自由飛行狀態，即軸銷與孔體不接觸，軸銷在孔體邊界內自由運動，如圖1（a）所示；接觸碰撞狀態，即軸頸與軸承開始產生接觸，發生在自由飛行模型結束時，如圖1（b）所示；連續接觸狀態，該狀態即使軸銷和孔體之間存在相對穿透深度，但兩者仍保持一定的接觸，如圖1（c）所示。

圖1 等效間隙鉸鏈關節的放大表示

帶間隙的旋轉關節如圖2 所示，Gi表示為帶孔體連桿i的質心位置，Gj表示為帶軸銷連桿j的質心位置，這些點相對于全局坐標位置分別表示為ei和ej。Qi和Qj分別為在軸銷與孔體上的接觸點，這些接觸點相對于全局坐標位置分別表示為與。與分別表示副元素中心相對于連桿i與連桿j質心的位置矢量。

圖2 帶間隙的旋轉關節

n是垂直于碰撞平面的單位向量，根據矢量三角形可得[7]：

由此，相對接觸速度可定義為：

當兩者發生碰撞接觸時，法向力根據Lankarani等[8]提出的連續接觸力模型進行建模，切向力利用Flores 等[9]提出的修正Coulomb 摩擦模型對接觸力進行建模。接觸力可表示為：

式中，K為接觸剛度系數；δ為法向相對碰撞速度；ce為恢復系數；·δ(-)為撞擊點的初始相對速度。

切向摩擦力表示為：

式中，ud為滑動摩擦系數；cd為動態修正系數；vt為相對切向速度。

2 含間隙RRR-P四桿機構的仿真分析

2.1 不同間隙位置對末端運動軌跡的影響

ADAMS 中含間隙RRR-P 四桿機構仿真如圖3 所示。分別在鉸鏈位置A、B、D 處添加間隙，進行仿真試驗，將間隙大小均設為0.2 mm，步長設為0.001，得出理想狀態與考慮間隙兩種情況下一個周期內X方向位移隨時間變化曲線圖，如圖4所示。

圖3 含間隙RRR-P 四桿機構仿真圖

由圖4 可以得出，間隙的存在使RRR-P 四桿機構末端鉸鏈X 方向位移出現非線性抖動，且不同位置間隙對末端鉸鏈軌跡產生的影響各不相同。理想狀態下，機構上C 點的X 方向位移是規律且光滑的曲線。當考慮機構鉸鏈處間隙后，間隙的存在使得C 點的X 方向位移由線性轉變為非線性變化，末端連接處軌跡的偏移會影響機構的運動穩定性，甚至會使各個RRR-P 四桿折展單元出現運動不同步現象，導致可展機構展開失敗。通過比較可以看出，當間隙位置在圖3 中A 處時，X 方向位移波動的幅值相對鉸鏈位置B、D 處較大，間隙鉸鏈位置B 處波動的幅度與頻率相對最小。

圖4 不同間隙位置對機構的影響

2.2 不同間隙尺寸對間隙鉸處接觸力的影響

將間隙尺寸分別設置為0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm和0.4 mm，選擇一個完整周期下的仿真結果，研究在Y 方向上不同間隙尺寸對接觸力的影響，不同間隙尺寸的接觸力曲線如圖5所示。

由圖5可以得出，c=0.4 mm時產生的最大接觸力約是c=0.1 mm 時的4 倍，且不同間隙下所產生的最大接觸力不同。這是由于不同間隙尺寸給銷軸在孔體中留有的運動空間不一樣，空間越大，副元素自由運動過程中累積的動能就越多，導致碰撞引起的法向接觸力就越大；鉸鏈處間隙的存在對機構不同運動狀態的影響也存在差異。展開過程產生的接觸力大于收攏過程，表現為收攏過程中波動的頻次較多，但是波動的幅度比較小；而展開過程中波動的頻次較少，但每次波動的幅度比較大。可以得出結論：RRR-P 四桿機構運動過程中副元素間碰撞磨損程度與間隙尺寸直接相關，間隙不宜過大。不同間隙尺寸下副元素間產生的接觸力大小對機構的工作性能有著直接性影響，間隙的存在降低了該類可展機構工作的穩定性。

圖5 不同間隙尺寸的接觸力曲線

2.3 不同間隙個數對機構的動力學特性影響

軸心軌跡能反映銷軸與孔體之間的碰撞與磨損情況，研究不同間隙個數對軸心軌跡的影響以及間隙之間的相互作用具有重要意義。在圖3 位置A、D 處添加間隙，將間隙值均設為0.2 mm，研究鉸鏈D 處間隙的存在對A 處軸心軌跡的影響。軸心軌跡圖如圖6所示。

圖6 軸心軌跡圖

由圖6 可以得出，當僅考慮鉸鏈A 處間隙時，偏離理想間隙圓軌跡的部分表明在運動過程中副元素間接觸力的增加，使得銷軸在孔體中處于撞擊或自由飛行狀態；當繼而考慮到圖3 中D 處間隙時，在D 處間隙作用下，間隙鉸鏈A 處的軸心軌跡如圖6（b）所示，比較可以看出鉸鏈D 處間隙的存在使得A 處的軸心軌跡更趨于理想狀態。這是因為鉸鏈A、D 屬于機構不同桿件上的間隙鉸鏈，兩處間隙相互作用使得機構處于一種相對平衡狀態，該狀態提高了A 處銷軸在孔體中的運動穩定性。雙間隙三維圖相對于單雙間隙三維圖整體顯得比較均勻，這是由于D 處間隙的存在使得A 處銷軸與孔體保持連續接觸狀態，該狀態導致銷軸在Z 方向的偏移量比較穩定且有規律。而僅考慮鉸鏈A 處運動副間隙時，銷軸在Z 方向的偏移量不穩定且無規律，如圖6（c）所示。該結果表明：鉸鏈間隙之間存在間隙耦合效應，即間隙之間相互影響，相互作用。

2.4 小數據量法計算Lyapunov指數

混沌現象是指一個系統其行為表現為不可預測，看似隨機的不規則運動[10]。本節將利用Lyapunov 指數法研究含間隙RRR-P 四桿機構非線性系統是否具有混沌特性。小數據量法計算最大Lyapunov 指數的流程如圖7所示。

圖7 小數據量法計算流程

在MATLAB 中先通過C-C 方法可以得到時窗（tw）、時延（tau）以及嵌入維數（m），接著用FFT 方法可以得到平均周期（P）。設間隙尺寸為0.2 mm，數據量取1 000 個/s，以Y 方向接觸力數據為研究對象，計算得：

將式（5）計算得出的數據代入到MATLAB 代碼中，計算結果如圖8 所示。框選矩形虛線邊框中顯示的線性區域，并使用最小二乘法擬合該區域中的直線，擬合直線的斜率為最大Lyapunov 指數。顯然擬合曲線斜率是大于零的，證明了含間隙RRR-P 四桿機構非線性系統中具有混沌特性。

圖8 最大Lyapunov指數的估計

3 結論

1）分析運動學模型可知，當鉸鏈有間隙時，消除了兩個運動學約束，將軸銷中心相對于孔體中心的水平和垂直位移兩個自由度增加到機構運動中，這是導致RRR-P 四桿機構運動不確定的根本原因。

2）不同鉸鏈位置間隙對機構末端連接處軌跡的影響各不相同，副元素間的碰撞程度隨著間隙尺寸的增大越來越劇烈；鉸鏈雙間隙相比于單間隙增加了機構的非線性程度，間隙關節之間存在著間隙耦合效應，并驗證了含間隙RRR-P 四桿機構動力學系統中存在混沌現象。

3）考慮鉸鏈間隙的RRR-P 四桿機構動力學模型真實地反映了機構的動力學特性，可為以該單元為基礎組成的倒傘型林果采收機出現展開失敗情況提供理論參考。