基于角加速度反饋的自抗擾過載控制系統設計

史靜宇,沈 凱,胡宇暉,鐘 鼎

（1.北京理工大學,北京 100081; 2.莫斯科國立鮑曼技術大學,莫斯科 105005）

0 引言

21世紀以來,隨著新一輪科技革命與產業變革向縱深推進,信息化、智能化裝備（特別是高動態飛行器等）加速演進,逐漸呈現出信息獲取高維化、擾動抑制主動化、運動控制精準化等特點。高動態飛行器的飛行環境復雜、包線跨度大、氣動特性變化,大空域、長距離的復雜飛行環境會給控制系統帶來諸多不確定擾動影響,表現為強非線性、強耦合、快時變、不確定、靜不穩定和非最小相位等特點[1-2],強控制輸入約束條件下難以保證姿態高精度穩定控制。

本文采用過載控制技術,通過各類傳感器件直接測量和控制過載狀態量來操縱高動態飛行器的飛行,以達到期望的運動軌跡。與傳統的姿態控制方案相比,過載控制無需測量縱向和航向上的姿態角和角速率,因而可以不使用陀螺儀,這降低了駕駛儀的制造成本,并簡化了其結構[3-4]。針對大空域、寬速域等復雜飛行條件下快速精準控制需求,本文創新提出了基于角加速度直接測量的反饋控制方案,以線加速度計和角加速度計作為組合傳感器件構成雙回路過載自動駕駛儀,具有結構簡單、安裝方便、成本低廉、工作可靠的特點[5]。同時,與角速度反饋相比,角加速度反饋具有更好的控制效果和穩定性。

隨著高動態飛行器速度和機動性的不斷提高,傳統PID 控制往往難以獲得良好的控制效果[6],自抗擾控制（ADRC）技術的應用為提高高動態飛行器控制系統在干擾條件下的控制效果提供了一種新的思路[7-9]。本文在傳統控制系統的基礎上采用自抗擾控制技術,針對高動態飛行器的非線性模型,將系統中的耦合干擾、氣動參數變化及機體結構偏差等不確定因素通過擴張狀態觀測器進行觀測、估計和補償,從而獲得理想的閉環動態性能[10-11]。在設計方面,自抗擾控制系統可以忽略系統中非線性干擾因素,簡化了設計過程,更便于工程實現;在控制效果方面,消除了傳統的“前饋+PID” 控制方案的響應速度慢、抗干擾能力弱的缺點,能夠獲得更高的控制精度。

本文的主要工作有: 1）提出了基于角加速度反饋的自抗擾過載控制方法,分析對比了采用PID 和ADRC 等不同控制算法的自動駕駛儀控制性能;2）分析了采用自抗擾控制算法的自動駕駛儀穩定性,得到其等效閉環傳遞函數,并采用頻域法分析角速度和角加速度反饋控制的系統性能;3）通過數值仿真分析對比了兩回路自動駕駛儀在不同反饋回路、不同控制算法、不同靜穩定特性下的頻域特性。實驗結果表明: 基于角加速度反饋的自抗擾過載控制系統具有更優良的控制效果,顯著提升了系統的跟蹤性能、穩定性和魯棒性。

1 高動態飛行器過載控制系統模型

1.1 高動態飛行器運動模型

高動態飛行器在彈體坐標系和速度坐標系中的運動模型如圖1所示。本節首先建立高動態飛行器的運動學和動力學模型,為過載控制系統設計提供模型基礎。

圖1 高動態飛行器的機體坐標系和速度坐標系Fig.1 Body coordinate system and velocity coordinate system of high dynamic aircraft

對于高動態飛行器,縱向通道的設計較為典型,且對于航向等其他通道具有參考意義,因此為方便研究,只以其縱向平面運動為例進行分析。高動態飛行器縱向運動的方程組如下

式（1）中,α為攻角,?為俯仰角,θ為彈道傾角,v為飛行速度,x、y為質心位置坐標,Jz為轉動慣量,Mz為作用力矩,P為發動機推力,X、Y為氣動力,ωz為角加速度,mc為飛行器質量每秒消耗數。

當采用小擾動、線性化和系數凍結法后,可得到簡化的飛行器縱向運動方程組[12]

式（2）中,δz為升降舵控制偏角信號;aω為阻尼動力系數;aδ為操縱動力系數;bα為法向動力系數;bδ為舵面動力系數;aα為恢復動力系數,與靜穩定度相關: 當aα>0 時系統處于靜穩定狀態,當aα=0 時系統處于靜中立狀態,當aα<0 時系統處于靜不穩定狀態。

由式（2） 可得縱向平面俯仰運動的機體傳遞函數

式（3）中,Km為傳遞系數,Tc為時間常數,ξc為相對阻尼系數,均為同機體特征相關的系數,并由下式計算得到

將式（3）中增量符號略去,轉化為微分式得

式（7）兩邊取拉普拉斯變換,可得到對應的過載二階傳遞函數

1.2 高動態飛行器過載控制方法

高過載飛行器的過載控制是指通過直接測量和控制機體橫向過載及其變化率,以操縱其飛行軌跡并按照預定的彈道飛行。飛行器的過載矢量可以表征改變機體飛行速度大小和方向的能力,因此可以用來直接反映其機動能力[13]。理論上,高過載飛行器的可用過載越大,其機動性能就越好,所以過載控制方法對高過載飛行器末端機動有較好的控制能力。

在小攻角和小側滑角的條件下,可得到在機體坐標系中機體橫向過載ny（nz） 與外加作用力的關系

式（9）中,Y1、Z1分別為升力和側向力,mg為重力。

因此,可以通過測量和控制機體的過載來控制其外作用力。對于軸對稱結構的高動態飛行器來說,在機體坐標系上有

由式（10）可知,角加速度與控制飛行器的作用力矩成正比關系。因此,可以通過測量和控制機體的角加速度來控制飛行器的外作用力。

飛行器的俯仰角?與彈道傾角θ之間的關系為

式（11） 中,τ為時間常數。忽略通道間耦合,式（11）可改寫為

在縱向通道上,由式（1）近似可得

則有

將式（14）代入式（1）得到

由此可見,橫向過載的一階微分可視為角加速度與一階慣性環節串聯。為簡化計算,常將式（15）中的一階慣性環節簡化為比例環節

式（16）表明可以用角加速度來近似表示機體橫向過載變化率,因此可利用角加速度計（或陀螺儀）直接對角加速度（或角速度）測量來控制飛行器橫向過載及其變化率,從而實現過載控制。

1.3 自動駕駛儀控制回路設計

針對自動駕駛儀控制回路設計問題,建立過載控制系統的兩種帶PI 校正的典型模型,其均以線加速度計的測量值作為主反饋,并分別采用陀螺儀和角加速度計作為阻尼回路,以改善機體的等效阻尼[4]。

（1）基于角速度測量的自動駕駛儀控制回路

角速度制導回路的典型結構如圖2所示。圖2中,ωz/δz可根據式（8）、式（15）得到

圖2 角速度控制回路Fig.2 Diagram of angular velocity control loop

該控制系統的輸入為橫向過載指令nyc,且包含有內、外兩個反饋回路: 反饋內環用于穩定自動駕駛儀控制回路姿態運動,其中的角速度信號ωz由陀螺儀測得;反饋外環實現對過載指令的跟蹤,其橫向過載ny由線加速度計測得。

（2）基于角加速度直接測量的控制回路

與角速度回路相比,基于角加速度反饋的控制回路采用角加速度計代替陀螺儀,其結構更加簡單、成本低廉,并且具有更良好的控制效果。根據過載控制原理及機體縱向運動方程,可設計得到高動態飛行器縱向通道控制回路,如圖3所示[5]。

圖3 角加速度控制回路Fig.3 Diagram of angular acceleration control loop

該控制系統的輸入為橫向過載指令nyc,且同樣包含有內、外兩個反饋回路: 角加速度計安裝在機體的z軸上,用來測量角速度變化率;線加速度計安裝在機體的y軸上,用來測量橫向過載ny。

2 自動駕駛儀自抗擾過載控制系統設計

由于高動態飛行器作為被控對象存在的大范圍不確定性,文本采用自抗擾控制方法對自動駕駛儀進行設計: 在上述傳統控制方案的基礎上,利用擴張狀態觀測器對系統內的不確定因素進行實時估計和補償[14-15]。該自抗擾控制系統的設計重點在于對被控對象建立二階數學模型以及控制器參數的調整。

為后續對兩種不同控制方法進行穩定性對比,使自抗擾控制系統被控對象的動力學模型與1.3 節中PI 控制系統一致,其數學模型即為傳遞函數。自抗擾控制系統本質上可以理解為是一種添加了擴張狀態觀測器的PID 控制,其控制原理可簡化為圖4所示[16]。

圖4 自抗擾控制系統簡化原理示意圖Fig.4 Simplified schematic diagram of active disturbance rejection control system

圖4中,取縱向舵偏角δz作為（s）的輸入信號u,ny為（s）的輸出,將式（8）轉化為微分方程形式可得

可將式（18）寫為

式（19）中,f為被控對象的總擾動,其包含了內部擾動和外部擾動;b0為擴張狀態觀測器的增益。在實際工程中,控制器的設計一般都是基于一些已知的平衡點,且飛行器實際速度是可測的。b與飛行器速度有關,因此可根據平衡點處的速度信息進行計算。

假設系統的狀態變量為:x1=ny、x2=、x3=f,x3為被擴張的狀態變量。根據式（18）、式（19）得到系統被控對象（s）的狀態空間模型

為使控制系統能對上述擾動項實時補償,需要實現對不確定項的實時估計[17]。因此,在自抗擾控制系統中,構造三階擴張狀態觀測器用于對外部擾動和系統未建模部分進行估計,其狀態空間模型為

式（21）中,z1、z2、z3為x1、x2、x3的估計值,β01、β02、β03為擴張狀態觀測器的誤差反饋增益[11]。

通過調節參數值,可以使z3準確估計模型不確定性及干擾。狀態空間方程可整理為

采用帶寬法整定自抗擾控制器及擴張狀態觀測器的參數: 通過配置控制器的帶寬來配置控制器增益,并通過觀測器的帶寬來調節ESO 的各項增益。假設ωo為觀測器的帶寬,則其特征多項式為

進而,可得:β01=3ωo、β02=3ω2o、β03=ω3o。通過確定觀測器帶寬ωo即可確定各誤差反饋增益,利用擴張狀態觀測器得到系統總擾動f的估計值z3=。利用的補償作用消除被控對象的總擾動f,將原對象轉化為純二階積分環節

由于角加速度制導回路相比角速度制導回路在控制效果等方面更具優勢,自抗擾控制系統的控制器部分基于前者進行設計,如圖5所示。該控制器利用角加速度計測量值及實際過載ny作為反饋,擴張狀態觀測器僅將總擾動估計值z3作為反饋,以提高系統的抗擾性能并穩定過渡過程。系統的控制律為

式（25）中,kp、kd為控制器的比例系數、微分系數。

假設控制器的帶寬為ωc,結合圖5的控制律得到其特征多項式為

圖5 角加速度反饋自抗擾過載控制原理圖Fig.5 Schematic diagram of angular acceleration feedback active disturbance rejection overload control

可得:kp=ω2c、kd=2ωcv/g。因此,可通過調整控制器帶寬ωc來確定控制器參數。

3 自抗擾過載控制系統穩定性分析

為對自抗擾控制系統進行頻域分析,需求得自抗擾過載控制系統的等效閉環傳遞函數。根據文獻[16]的二自由度控制結構方法,將自抗擾過載控制系統轉化為二自由度PID 形式,如圖6所示。在該控制框架下,環內控制器Gc（s）和前置濾波器F（s）可以進行獨立設計,使系統具有兩個自由度,因此被稱為二自由度系統。其中,環內控制器Gc（s）用于抑制擾動,前置濾波器F（s）則能更好地滿足系統對輸入指令的跟蹤特性。

圖6 經典二自由度控制結構Fig.6 Diagram of classical two-degree-of-freedom control structure

等效閉環傳遞函數Gcl（s）為

式（27） 中,被控對象Gp（s） 即為傳遞函數。

由擴張狀態觀測器的狀態空間表達式（式（22））及控制律（式（24）、式（25））得到與nyc、y的關系如下

進而得到z與nyc、y的關系

將式（24）、式（25）代入式（29）中,得到

將式（31）代入式（27）中得到等效閉環傳遞函數,可由該傳遞函數對自抗擾控制系統進行頻域分析

4 實驗仿真與分析

高動態飛行器從發射到到達目標點的整個飛行過程中,其自身參數會因飛行高度、飛行速度等因素不斷變化,因此機體作為被控對象是一個變參數環節。本文無法對飛行軌跡上每個點進行分析,所以選取飛行過程中代表飛行特性的6 個特征點,各參數如表1所示[18]。在特征點處對數學模型進行分析,用于對前文的控制回路進行比較。

表1 飛行軌跡上各特征點的參數Table 1 Parameters of each feature point on the flight path

4.1 角加速度與角速度反饋控制對比分析

為便于后續各控制回路的比較分析,將1.3 節中兩種過載控制模型簡化為經典PID 控制回路,并進行頻域分析。

由于角加速度計和線加速度計的動態響應過程很快,固有頻率較大,其頻率響應位于高頻段,因此可以忽略其影響。將角加速度計、線加速度計的相關信息在回路中進行簡化處理,同時不考慮舵機動力學補償,則可以將圖3轉化為圖7的控制回路。其中,控制器采用兩回路PI 經典自動駕駛控制,角加速度計的動力學模型簡化為一微分環節,由式（16）得到其傳遞函數為

圖7 簡化角加速度反饋PI 控制回路Fig.7 Diagram of simplified angular acceleration feedback PI control loop

與角加速度反饋控制回路同理,經過簡化處理可以將圖2轉化為圖8的控制回路。高動態飛行器控制器同樣采用傳統PI 控制,該回路中角速度計的數學模型可根據式（16）簡化為一比例環節

圖8 簡化角速度反饋PI 控制回路Fig.8 Diagram of simplified angular velocity feedback PI control loop

根據系統的性能指標要求選取一組理想閉環極點,由此計算出各個特征點處的自動駕駛儀控制參數,包括PI 控制器系數kp、ki和角加速度計（陀螺儀）的反饋系數kd,如表2所示。

表2 各特征點處的參數設計值Table 2 Design values of parameters at each feature point

為便于直觀比較兩種控制回路的性能,選取其中一個特征點,在相同參數條件下進行仿真比對。取29s 時的飛行特征點,得到控制回路參數:v=300m/s、b=- 30.6483s-2、g1=43.5041s-2、g2=3.0210s-1。令輸入過載指令為nyc=5g,得到的動態響應如圖9所示。

圖9 角加速度回路及角速度回路動態響應Fig.9 Dynamic response of angular acceleration loop and angular velocity loop

采用經典控制理論對系統穩定性進行分析,在相同參數條件下對比角加速度回路與角速度回路的開環Bode 圖,如圖10所示。

由圖9可知,在所選的特征點處,角加速度回路控制系統穩定,動態響應速度較快,但仍存在一定超調;而在相同條件下角速度回路系統不穩定,動態響應存在大幅震蕩。由圖10可知,角加速度回路的相角裕度為74°,而角速度幅值裕度為9°,綜合分析可知,前者的穩定性能優于后者。進一步,仿真得到各個特征點上兩種回路的相角裕度、幅值裕度和穿越頻率等穩定性指標,如表3、表4所示。

圖10 角加速度回路及角速度回路Bode 圖對比Fig.10 Bode diagram comparison of angular acceleration loop and angular velocity loop

表3 各特征點上角加速度回路的穩定性指標Table 3 Stability indexes of angular acceleration loop at each feature point

表4 各特征點上角速度回路的穩定性指標Table 4 Stability index of angular velocity loop at each feature point

由表3、表4可知,在飛行軌跡的各個特征點上,角加速度回路相比角速度回路均具有更高的幅值裕度、相角裕度和穿越頻率,因此采用角加速度制導回路的高動態飛行器在整個飛行過程中具有更高的穩定性能。綜合比較可知,在經典PI 控制系統中,角加速度反饋比角速度反饋能更有效地提高系統的動態響應性能和穩定性。

4.2 ADRC 與PI 控制對比分析

對自抗擾過載控制系統進行仿真分析,調節b0、ωo、ωc等參數,如表5所示,得到系統動態響應曲線如圖11所示。由圖11可知,PI 角加速度回路動態響應存在8.4%的超調量,在2.5s 時達到穩態;而ADRC 回路則不存在超調,且能在0.5s時達到穩態。對比可知,在相同條件下,自抗擾控制系統的動態響應超調量減小,跟蹤效果明顯優于傳統PID 控制系統。

表5 自抗擾控制系統參數數據Table 5 Data of active disturbance rejection control system parameters

圖11 ADRC 與PI 角加速度回路動態響應Fig.11 Dynamic response of ADRC and PI angular acceleration loop

由前文可知,自抗擾控制系統等效的二自由度系統由兩部分串聯組成,分別為前置濾波器F（s）以及由環內控制器Gc（s）和被控對象Gp（s）組成的閉環系統。由于前置濾波器F（s）用于改善輸入指令的跟蹤特性,而不影響后續被控過程,因此該系統的穩定性主要與后半部分即等效PID 控制的內環系統有關。取該系統的開環傳遞函數Gop（s）,通過PI與ADRC 角加速度回路的開環Bode 圖分析系統的穩定性能,如圖12所示。Gop（s）表達式為

由圖12可知,ADRC 回路的幅值裕度和相角裕度在大部分頻率范圍內均高于PI 回路。綜合分析可得,自抗擾姿態控制系統與傳統的帶PI 校正的控制系統相比,其跟蹤性能、抗干擾性能都有了明顯的提升。

4.3 靜穩定度對各控制回路穩定裕度影響

以靜穩定度為例研究機體參數變化對各控制回路穩定性能的影響,選取表1中29s 時的特征點參數,通過數值仿真分析各系統的穩定性能。同時取不同靜穩定特性下的飛行器參數,即令恢復動力系數aα為41.54、0、-41.54,分別對應機體的靜穩定、靜中立、靜不穩定狀態,其他參數不變[19]。被控對象即傳遞函數（s）的開環Bode 圖如圖13所示。

圖13 不同靜穩定度對應的機體動力學傳遞函數開環Bode 圖Fig.13 Open-loop Bode diagram of airframe dynamics transfer function corresponding to different static stability

取相同參數對角加速度反饋的PI 兩回路過載控制系統及自抗擾控制系統進行仿真,得到其開環Bode 圖如圖14、圖15所示。

對比圖14和圖15可知,在穿越頻率處PI 角加速度回路的相角裕度在靜不穩定、靜中立、靜穩定三種飛行狀態之間依次相差約5°,而自抗擾控制系統在穿越頻率處的相角裕度幾乎不受靜穩定度的影響。因此,后者對于被控對象參數變化有更高的容錯率,其魯棒性要強于前者。

圖14 不同靜穩定度對應的PI 角加速度回路開環Bode 圖Fig.14 Open-loop Bode diagram of PI angular acceleration loop corresponding to different static stability

圖15 不同靜穩定度對應的自抗擾過載控制開環Bode 圖Fig.15 Open-loop Bode diagram of ADRC overload control corresponding to different static stability

5 結論

本文對比了以角速度和角加速度作為反饋的兩種經典PI 兩回路自動駕駛儀控制回路,并在角加速度反饋過載控制回路的基礎上設計了自抗擾控制系統,對其進行了仿真校驗及穩定性理論分析,得到結論如下:

1）傳統的帶PI 校正的過載控制回路中,角加速度反饋的控制方案相比角速度反饋,具有更好的跟蹤性能和穩定性;

2）在高動態飛行器過載控制系統中加入自抗擾控制器,可對模型的不確定性及干擾進行補償,明顯提高了系統的穩定性能;

3）在控制系統參數變化時,自抗擾控制系統的穩定性幾乎不受影響,表明其對模型的不確定性有較強的容錯率,相比傳統PI 控制回路擁有更好的魯棒性。

在后續工作中,還需進一步優化自抗擾控制系統的結構,分析系統的抗干擾性能,并研究其余系統參數變化對穩定性能的影響,以完善系統魯棒性的相關結論。此外,本文各控制回路的仿真結果均是在機體參數、控制參數一致的情況下得到的,因此可基于以上對比結果,針對控制系統的結構和穩定性關系進行理論研究,提出關于系統穩定性度量準則的假設。