乘法噪音下Kuramoto-Sivashinsky方程的后向緊隨機(jī)奇拉回吸引子①

夏歡， 李揚榮

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715

1 帶乘法噪音和彩色系數(shù)的隨機(jī)K-S方程

文獻(xiàn)[1-2]引入了有周期邊界的一維確定型Kuramoto-Sivashinsky(K-S)方程作為反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中湍流和波傳播的一維模型.文獻(xiàn)[3-4]研究了確定型K-S方程.文獻(xiàn)[5-9]和文獻(xiàn)[10]分別研究了Wiener噪音和Lévy噪音下的隨機(jī)K-S方程.本文主要研究帶有乘法噪音和彩色系數(shù)的隨機(jī)K-S方程

(1)

設(shè)狀態(tài)空間為

本文主要研究其對應(yīng)的奇空間

H0={u∈H:u(t,-x)=-u(t,x)}

上的后向緊拉回隨機(jī)吸引子的存在性.勒貝格空間H0被賦予通常的L2范數(shù)

令(Ω,F,P)為標(biāo)準(zhǔn)的Wiener空間,其中

對于非自治動力系統(tǒng)(1),為了研究其長時間動力行為,我們關(guān)注其生成的拉回隨機(jī)吸引子A(τ,ω)(見文獻(xiàn)[12,15]). 由于在H0或V0上,方程(1)的解滿足u(t,-x)=-u(t,x),因此A(τ,ω)由奇函數(shù)組成,這樣的吸引子被稱為奇吸引子.在本節(jié),我們?nèi)〖錌由H0中所有后向緩增的雙參數(shù)集B構(gòu)成,其中B為

我們考慮如下的變量變換:

v(t,τ,ω,vτ(x))=e-αz(θtω)u(t,τ,ω,uτ(x))-ξ(x)

(2)

(3)

(4)

(5)

Φ(t,τ,ω,uτ)=u(t+τ,τ,θ-τω,uτ)=eαz(θtω)(v(t+τ,τ,θ-τω,vτ)+ξ)

(6)

其中初值uτ=eαz(ω)(vτ+ξ(x)).Φ關(guān)于t,τ,uτ是三元連續(xù)的,且關(guān)于ω∈Ω是可測的.

2 解的后向一致估計

為了得到K-S方程(5)的解的后向一致估計,我們給出外力項f(t,x)和噪音系數(shù)α的一些合理假設(shè).

假設(shè)1存在某個常數(shù)c0<+∞,使得噪音系數(shù)0<α≤c0.

事實上,α可以看作一個控制方程(1)中噪音項增長速度的常數(shù).若沒有特殊說明,c為任意常數(shù).

顯然F(λ,·)是增函數(shù).若f后向緩增,則f是緩增的,且

引理2若假設(shè)1、假設(shè)2成立,則對任意的τ∈R,ω∈Ω和B={B(τ,ω)}∈B,存在T=T(B,τ,ω),使得

(7)

對所有t≥T,us-t∈B(s-t,θ-tω)一致成立.其中

(8)

(9)

證在方程(5)兩端同時乘2v(r,s-t,θ-sω,vs-t),并關(guān)于x∈G積分,有

(10)

再由分部積分法,有2(ξDv,v)=-(vDξ,v),于是2(D(ξv),v)=(vDξ,v).下面由假設(shè)1和ξ的連續(xù)性對(10)式的右邊項進(jìn)行估計:

2(αz(θr-sω)ξ,v)≤c|z(θr-sω)|2+‖v‖2

-2(ηD4ξ+D2ξ+ξDξ,v)≤c+‖v‖2

則(10)式可放縮為

(11)

(12)

(13)

通過變換u(s)=u(s,s-t,θ-sω,us-t)=eαz(ω)(v(s,s-t,θ-sω,vs-t)+ξ),并借助(a+b)2≤2a2+2b2,有

(14)

其中‖vs-t‖2≤ce-2αz(θ-tω)‖us-t‖2+c,If為f的相關(guān)項,I1為f的無關(guān)項.

由(4)式,存在某個T0=T0(ω)>0,使得對任意t≥T0,有

于是

(15)

(16)

(17)

最后證明If可由變量R1(τ,ω)控制.為了統(tǒng)一,我們?nèi)詫r間s≤τ取上確界

(18)

綜合(17)和(18)式即證得解u(t,τ,ω,uτ)的后向一致估計(7)式.

推論1根據(jù)(13)和(14)式,對任意ω∈Ω,τ∈R,有

(19)

我們可以得到

(20)

命題1協(xié)循環(huán)Φ有一個B-拉回吸收集K,由如下形式給定:

(21)

其中R0(ω),R1(τ,ω)分別由(8)和(9)式給出.并且K={K(τ,ω)}∈B是一個后向吸收集,即對任意B∈B,τ∈R,ω∈Ω,存在T=T(τ,ω,B),使得對于任意t≥T,有

(22)

證首先證明K={K(τ,ω)}∈B.由于z(θtω)是隨機(jī)變量,則R0(ω)是隨機(jī)變量.由(15)式,對每個ω∈Ω,有R0(ω)<+∞成立.另外,由于R0(ω)與變量τ無關(guān),因此只需證R0(ω)是緩增的.

(23)

由(4)式有

因此

(24)

(25)

(26)

由(26)式即證R1(τ,ω)是后向緩增的.最后由引理2,對任意t≥T=max{T0,T1},有

為了得到吸引子,接下來我們對方程(5)在狀態(tài)空間V0上的解進(jìn)行后向一致估計.

證將方程(5)兩端同時與2D4v(r,s-t,θ-sω,vs-t)做內(nèi)積,

(27)

首先利用Young不等式和Gagliardo-Nirenberg插值不等式對(27)式中的某些項進(jìn)行估計,

再利用假設(shè)1和ξ(x)的連續(xù)性對(27)式的剩余項進(jìn)行估計,

綜合上述估計可以得到不等式

(28)

再根據(jù)微分形式的Gronwall引理,有

(29)

(30)

(31)

最后利用(19)式可對(29)式的剩余項進(jìn)行估計,存在TJ3=TJ3(B,τ,ω),當(dāng)t≥TJ3時,

(32)

3 后向緊隨機(jī)奇拉回吸引子的存在性

uk=Φ(tk,sk-tk,θ-tkω,u0,k)=u(sk,sk-tk,θ-skω,u0,k)

(33)

引理3已證{uk:k∈N}在V0中有界,再根據(jù)V0緊嵌入H0知{uk:k∈N}在H0中有收斂子列,即序列{uk:k∈N}在H0中是預(yù)緊的.

接下來證明后向緊的奇拉回吸引子AB的存在性.在(22)式中取s=τ,于是有Φ(t,τ-t,θ-tω,B(τ-t,θ-tω))?K(τ,ω),?t≥T(B),B∈B,即K(τ,ω) 是吸收集.在(33)式中取sk=τ,則對應(yīng)的序列{u(τ,τ-tk,θ-τω,u0,k)}有收斂子列,即Φ是后向漸近緊的.因此根據(jù)文獻(xiàn)[15]的吸引子存在定理可得AB存在,且由ω-極限集構(gòu)成,

(34)