一類具有時滯的營養-微生物擴散模型的Hopf分支研究①

王雅迪， 袁海龍，2

1.陜西科技大學 數學與數據科學學院，西安 710021；2.西安交通大學 數學與統計學院，西安 710049

近年來,許多學者都非常關注海洋沉積物中生物化學反應現象的研究.為探究出系統的一些典型動力學行為,文獻[1]提出了關于海洋沉積物的如下營養-微生物模型:

(1)

為了書寫方便,作無量綱變換,令

得到簡化后的系統

(2)

其中u和v分別表示細菌和營養物的生物量濃度.對系統(2)加入擴散項后考慮如下反應擴散模型:

(3)

對于系統(3),文獻[1]主要研究了其Turing模式,發現由于Turing不穩定導致物種的異質分布現象,找到了非平凡平衡點失穩的條件;文獻[2]利用空間分解定理和隱函數定理研究了系統(3)的穩態分支,并詳細討論了Hopf分支的存在性與穩定性;文獻[3]研究了Turing不穩定性、非常數穩態解的存在性,并利用分支理論研究了系統(3)的局部和全局分支結構.

為了反映出系統的動力學行為不僅受當前狀態的影響,還依賴于過去某一時刻的狀態,眾多學者圍繞時滯微分方程進行了研究,取得了許多豐富且有意義的成果[4-12].例如,文獻[4]研究了時滯效應對一類具有HollingⅡ功能反應的捕食食餌模型的影響,結果表明,當時滯參數較大時,系統會表現出穩定的振蕩行為;文獻[5]的研究結果顯示,當系統經過某些穩定性開關后,平衡點會由穩定變成不穩定,并且當時滯參數取某些臨界值時,系統會產生Hopf分支;文獻[6]證明了系統的正平衡點在時滯小于某個臨界值時是穩定的,而當時滯超過該臨界值時,正平衡點變得不穩定;文獻[7]在給模型引入兩個不同時滯的條件下,研究了系統唯一正平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性;文獻[8]考慮了在Dirichlet邊界條件下時滯效應對一類種群模型的影響;文獻[9]建立了一個Wolbachia在蚊子種群中的傳播模型,研究了時滯對Wolbachia傳播的影響;文獻[10]利用Mawhin連續定理和微分不等式研究了一類帶有離散型時滯的Lotka-Volterra食餌-捕食者模型存在8個正周期解的問題;對于腫瘤-免疫動力學模型,文獻[11]研究了免疫激發分布時滯對系統動力學性態的影響,文獻[12]則發現分布時滯的引入可能導致系統產生周期振蕩現象,進而解釋腫瘤的復發現象.

文獻[13]在系統(3)的基礎上考慮給反應過程中的營養物生物量濃度引入時滯,研究了系統的許多動力學行為,例如平衡點的穩定性、Turing不穩定性、Hopf分支以及Hopf-Hopf分支.

事實上,在細菌和營養物這兩類物種互相作用的過程中,時滯效應的存在會影響細菌和營養物的生物量濃度變化.因此,基于上述分析,本文在系統(3)的基礎上考慮如下模型:

(4)

其中,時滯τ代表細菌的成熟期,指細菌進入環境后需經歷τ單位的時間才能達到成熟進而完成繁殖增長.對于系統(4),本文分別對常微分系統和偏微分系統研究了時滯對正常數平衡點穩定性的影響,以及在正常數平衡點處Hopf分支產生的條件,并計算了分支周期解的穩定性和分支方向.結果表明,當時滯τ在經過某一臨界值時,系統會由穩定狀態變為不穩定狀態,并產生Hopf分支.文中分別用N+和R+表示非負整數集和正實數集.

本文的結構如下.第一部分主要討論帶時滯參數的常微分系統和偏微分系統正常數平衡點的穩定性以及Hopf分支的存在性.第二部分討論Hopf分支的方向和分支周期解的穩定性.第三部分進行數值模擬,驗證結論.

1 正常數平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性

1.1 帶時滯的常微分系統

本節考慮如下帶有時滯參數的常微分系統:

(5)

易知系統(5)存在正常數平衡點(u*,v*)的充要條件為(u*)2+(1-b)u*+K=0,因此可知:

根據文獻[2]可知,當τ=0,且系統(5)滿足條件

(6)

其中

u=u(t)uτ=u(t-τ)v=v(t)

根據Taylor展開式,系統(6)在(0,0)處的線性化系統是

(7)

系統(7)的特征方程為

λ2+A0λ+Be-λτ+C0=0

(8)

其中

若λ=iω(ω>0)是特征方程(8)的純虛根,將其代入,可得

(9)

則有

(10)

其中

(11)

將ω0代入(9)式,計算可得

(12)

下面驗證橫截條件.令

對其積分后代入ω=ω0,可得

因此,當ω=ω0時橫截條件成立,可得定理1:

1.2 帶時滯的偏微分系統

本節研究如下帶有時滯參數的偏微分系統,為了簡化后期計算和著重探討時滯因素對系統穩定性的影響,此時考慮空間域Ω=(0,lπ)的一維簡單情形,其中l∈R+:

(13)

與1.1節類似,對系統(13)在平衡點(u*,v*)處做平移變換后,可以寫成下面的抽象微分方程形式:

(14)

其中定義X=C([0,lπ],R2),dΔ=(d1Δ,d2Δ),以及

dom(dΔ)={(u,v)T:u,v∈C2([0,lπ],R);ux,vx=0;x=0,lπ}

已知

對于φ=(φ1,φ2)T∈C([-τ,0],X),有

以及

則系統(14)在(0,0)處附近的線性化系統為

(15)

線性系統(15)的特征方程等價于

λy-dΔy-L(eλy)=0y∈dom(dΔ)y≠0

(16)

因此,方程(16)的所有特征根由以下特征方程給出:

λ2+Anλ+Be-λτ+Cn=0n=0,1,2,…

(17)

其中

若λ=±iω(ω>0)是特征方程(17)的一對純虛根,則有

(18)

化簡可得

(19)

其中

(20)

(21)

對于0≤n≤N0,方程(19)有正根ωn,滿足

(22)

因此,可以確定τ的表達式為

(23)

其中

(24)

故此時方程(17)存在一對純虛特征根±iωn.

證對特征方程(17)兩邊同時關于τ求導,則有

(25)

(26)

由于

以及

故由(26)式,有

因此橫截條件成立.證畢.

證由(22)式變形,可得

即有

2 Hopf分支的方向和分支周期解的穩定性

(27)

其中對于φ∈C([-1,0],X),有

G(φ,μ)=μdΔφ(0)+μL0(φ)+(μ+τ0)F0(φ)

系統(14)在(0,0)處的線性化系統是

(28)

由第二節知,±iω0τ0是線性化系統(28)的一對純虛特征值.根據Riesz表示定理,存在一個2×2的有界變差函數矩陣η(θ,μ)(θ∈[-1,0]),滿足以下形式:

(29)

其中

接下來定義算子A(0)和A*分別為

(30)

其中φ(θ)∈C1([-1,0],R2),ψ(s)∈C1([0,1],(R2)*).

對于u=(u1,u2),v=(v1,v2)∈X=C([0,lπ],R2),定義內積為

此外,對于φ(θ)∈C1([-1,0],R2)和ψ(s)∈C1([0,1],(R2)*),引入如下雙線性型內積:

經驗證可知,±iω0τ0是算子A(0)和A*的特征值,設q(θ)是算子A(0)關于特征值iω0τ0的特征向量,q*(s)是算子A*關于特征值-iω0τ0的特征向量,則根據算子A(0)和A*的定義可得,q(θ)和q*(s)的形式分別為

q(θ)=(q1,q2)Teiω0τ0θθ∈[-1,0]

和

再根據(30)式,計算可得

(31)

其中

(32)

根據G(φ,μ)的表達式可知G(φ,0)=τ0F0(φ)=τ0(G1,G2)T,其中

其中O(4)=O(‖(u,v)‖4).

由(32)-(34)式可得

(35)

其中

I為單位矩陣,通過鏈式法則

可得

H20=[2iω0τ0-A(0)]W20H11=-A(0)W11H02=[-2iω0τ0-A(0)]W02

(36)

當θ∈[-1,0)時,由(35)式可得

則有

(37)

結合(36)和(37)式得到如下微分方程

(38)

可得方程(38)的解為

當θ=0時,由(36)式和

可得

其中

基于上述分析,可以計算出如下用于判斷Hopf分支方向和分支周期解穩定性的值:

由此可得出定理3:

定理3對于系統(13),有如下結論:

(i)μ2確定Hopf分支的方向,當μ2>0(μ2<0)時,分支方向是超臨界的(次臨界的);

(ii)β2確定分支周期解的穩定性,當β2<0時,分支周期解是漸近穩定的,當β2>0時,分支周期解是不穩定的;

(iii)T2確定分支周期解的周期,當T2>0時,周期增大,當T2<0時,周期減少.

3 數值模擬

本節利用MATLAB軟件給出具體的數值實例,以補充驗證前面給出的理論結果.

圖1 正平衡點局部漸近穩定,此時參數且初值取(u0,v0)=(1.57,1.31)

圖2 系統產生穩定的極限環,此時參數且初值取(u0,v0)=(1.57,1.31)

圖3 正平衡點不穩定,此時參數且初值取(u0,v0)=(1.57,1.31)

圖4 系統分支產生的空間齊次周期解,此時參數且初值取u0(x)=u*+0.65cos(5x),v0(x)=v*-0.65cos(5x)