借助圖形 感悟互逆

文／卞書彥

蘇科版數(shù)學(xué)七（下）第9章“整式乘法與因式分解”由“整式乘法”與“因式分解”兩部分內(nèi)容組成。這兩部分內(nèi)容是兩種互逆變形。對于一個數(shù)學(xué)表達(dá)式，我們不僅要會順向看，還要會逆向看，弄清其中的互逆關(guān)系，避免混淆。當(dāng)我們學(xué)好整式乘法后，反過來采用逆向思維就可以學(xué)習(xí)因式分解了。

一、借助圖形，類比學(xué)習(xí)整式乘法

我們學(xué)習(xí)本章時，通過第1節(jié)的“用不同方法計算電視墻的面積”，體驗了單項式乘單項式的現(xiàn)實數(shù)學(xué)背景，根據(jù)“乘法交換律”“乘法結(jié)合律”和冪的運(yùn)算性質(zhì)，計算了兩個單項式的乘積，得到了單項式乘單項式的法則。

對于其他整式乘法法則，包括乘法公式，我們都是通過“用不同方法計算同一圖形的面積→通過歸納得出法則或公式→通過推演證實結(jié)論”這一路徑展開學(xué)習(xí)的。借助圖形直觀，我們發(fā)現(xiàn)了整式乘法法則和乘法公式，感悟了數(shù)形結(jié)合思想，經(jīng)歷了由合情推理、演繹推理得到法則和公式的全過程，體會了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。這種能力中考中也有考查，例如：

例1（2022·廣西百色）圖1 是利用割補(bǔ)法求圖形面積的示意圖，下列公式中與之相對應(yīng)的是（ ）。

A.（a+b）2=a2+2ab+b2

B.（a-b）2=a2-2ab+b2

C.（a+b）（a-b）=a2-b2

D.（ab）2=a2b2

【解析】等號左邊大正方形的邊長為（a+b）、面積為（a+b）2，由1個邊長為a的正方形，2 個長為a、寬為b的長方形，1 個邊長為b的正方形組成。根據(jù)面積相等，即可得出（a+b）2=a2+2ab+b2。故選A。

二、利用互逆，逆向?qū)W習(xí)因式分解

教材中，“因式分解”都采用“把……反過來，就得到……”的方式呈現(xiàn)。我們利用單項式乘多項式，探索用提公因式法分解因式的過程，體會了單項式乘多項式與提公因式分解因式之間的聯(lián)系；還將乘法公式反過來，探索出用公式法分解因式。這些探索，都發(fā)展了我們的逆向思維。我們首先要弄清因式分解的定義，才能正確分解因式，例如：

例2（2022·山東濟(jì)寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）。

A.x2-x-1=x（x-1）-1

B.x2-1=（x-1）2

C.x2-x-6=（x-3）（x+2）

D.x（x-1）=x2-x

【解析】因式分解是將一個多項式變形為幾個整式乘積的形式，這種變形是恒等變形。判斷因式分解結(jié)果是否正確，可以用整式乘法去檢查。A選項，最后運(yùn)算不是乘法，因而不是因式分解，不符合題意；B 選項，計算錯誤，不符合題意；C 選項是因式分解，符合題意；D 選項是整式乘法，不是因式分解，不符合題意。故選C。我們只有弄清有關(guān)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，才能正確運(yùn)用公式分解因式。

例3（2022·山東菏澤）分解因式：x2-9y2=________。

【解析】本題滿足平方差公式的結(jié)構(gòu)形式，其中，第二個平方項的底數(shù)是3y，不能誤以為是9y。原式=x2-（3y）2=（x-3y）·（x+3y）。

我們進(jìn)行因式分解的基本方法有兩種：提公因式法、運(yùn)用公式法。通常，把一個多項式分解因式，應(yīng)先提公因式，再運(yùn)用公式。進(jìn)行多項式因式分解時，必須把每一個因式都分解到不能再分解為止。

例4（2022·遼寧丹東）因式分解：2a2+4a+2=________。

【解析】原式先提取公因式2 后，再利用完全平方公式分解即可。原式=2（a2+2a+1）=2（a+1）2。

三、知識建構(gòu)，過好五關(guān)

學(xué)習(xí)本章時，我們可以用思維導(dǎo)圖將本章知識進(jìn)行串聯(lián)并整體建構(gòu)，如圖2。

圖2

對于本章法則與公式的學(xué)習(xí)，同學(xué)們需努力“披荊斬棘過五關(guān)”：瞻前顧后，過好“記憶關(guān)”，對于法則和公式，明白知識產(chǎn)生的過程和適用范圍；觀察結(jié)構(gòu)，過好“理解關(guān)”，明白代數(shù)式是什么運(yùn)算，適用何種法則或公式；關(guān)注順序，過好“表達(dá)關(guān)”，根據(jù)算理，規(guī)范解答；精做練習(xí)，過好“應(yīng)用關(guān)”，根據(jù)具體問題，靈活解答；構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，過好“聯(lián)系關(guān)”，發(fā)展符號意識，歸納、推理能力。