巧“分”善“解” 活學(xué)活用

文／張紅飛

整式乘法和因式分解是互逆變形。我們把單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則反過來，就得到因式分解的一種方法——提公因式法；把兩個(gè)乘法公式反過來，就得到因式分解的另一種方法——運(yùn)用公式法。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，也要在對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)結(jié)論的運(yùn)用過程中，獲取新的知識(shí)。

一、左“觀”右“看”，辨析概念

例1下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）。

A.（3-x）（3+x）=9-x2

B.m3-mn2=m（m+n）（m-n）

C.（y+1）（y-3）=-（3-y）（y+1）

D.-x2+5=（2-x）（2+x）+1

【解析】我們可以根據(jù)因式分解的概念（把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式）來解決問題。選項(xiàng)A，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法；選項(xiàng)B，左邊是多項(xiàng)式，右邊是三個(gè)整式的乘積，屬于因式分解；選項(xiàng)C，等式的左邊是兩個(gè)整式的乘積，不屬于因式分解；選項(xiàng)D的右邊不全是乘積的形式。故選B。

二、看“形”算“積”，驗(yàn)證公式

例2如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是（ ）。

圖1

A.a2-b2=（a+b）（a-b）

B.（a-b）2=a2-2ab+b2

C.（a+b）2=a2+2ab+b2

D.a2+ab=a（a+b）

【解析】第一個(gè)圖形中，陰影部分的面積等于邊長(zhǎng)為a的大正方形的面積減去邊長(zhǎng)為b的小正方形的面積；第二個(gè)圖形中，陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)為（a+b）、寬為（a-b）的長(zhǎng)方形，其面積是（a+b）（a-b）。因?yàn)檫@兩個(gè)圖形的陰影部分的面積相等，所以得到的是平方差公式，即a2-b2=（a+b）（a-b）。故選A。

三、觀“形”思“數(shù)”，凸顯特征

例3在“整式的乘法與因式分解”這一章的學(xué)習(xí)過程中，我們常采用構(gòu)造幾何圖形的方法對(duì)代數(shù)式的變形加以說明。例如，利用圖2 中邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形以及長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形卡片若干張，拼成圖3（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。

圖2

圖3

圖4

請(qǐng)你解答下面的問題：

（1）利用圖2 中的三種卡片若干張拼成圖4，可以解釋等式：___________；

（2）利用圖2 中的三種卡片若干張拼出一個(gè)面積為2a2+5ab+2b2的長(zhǎng)方形，請(qǐng)你分析這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

【解析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可。由題意知，圖4 的面積可以表示成（2a+b）（a+b），也可以表示成2a2+3ab+b2，所以，可以得到答案為（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2。

（2）我們可以通過拼圖的方式，先拿出邊長(zhǎng)為a和b的正方形紙片各2 張，再拿出長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形紙片5張，將它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，最后利用拼之前與拼之后圖形的面積相等，得出一個(gè)等式。根據(jù)拼圖，可以得到2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b），所以，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為2a+b和a+2b。

因式分解是初中數(shù)學(xué)中重要的恒等變形之一，不僅在一元二次方程、二次函數(shù)中要用到，而且在許多應(yīng)用題的計(jì)算中也會(huì)用到，且非常方便。因式分解的方法靈活，技巧性強(qiáng)，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。學(xué)習(xí)這些技巧方法，對(duì)于培養(yǎng)我們的解題技巧，發(fā)展思維能力，有十分獨(dú)特的作用。