巧“分”善“解” 活學活用

文／張紅飛

整式乘法和因式分解是互逆變形。我們把單項式乘多項式的法則反過來，就得到因式分解的一種方法——提公因式法；把兩個乘法公式反過來，就得到因式分解的另一種方法——運用公式法。我們在學習時不僅要關注數學知識之間的聯系，也要在對所學數學公式、數學結論的運用過程中，獲取新的知識。

一、左“觀”右“看”，辨析概念

例1下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）。

A.（3-x）（3+x）=9-x2

B.m3-mn2=m（m+n）（m-n）

C.（y+1）（y-3）=-（3-y）（y+1）

D.-x2+5=（2-x）（2+x）+1

【解析】我們可以根據因式分解的概念（把一個多項式化成幾個整式的積的形式）來解決問題。選項A，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法；選項B，左邊是多項式，右邊是三個整式的乘積，屬于因式分解；選項C，等式的左邊是兩個整式的乘積，不屬于因式分解；選項D的右邊不全是乘積的形式。故選B。

二、看“形”算“積”，驗證公式

例2如圖1，在邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個矩形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的等式是（ ）。

圖1

A.a2-b2=（a+b）（a-b）

B.（a-b）2=a2-2ab+b2

C.（a+b）2=a2+2ab+b2

D.a2+ab=a（a+b）

【解析】第一個圖形中，陰影部分的面積等于邊長為a的大正方形的面積減去邊長為b的小正方形的面積；第二個圖形中，陰影部分是一個長為（a+b）、寬為（a-b）的長方形，其面積是（a+b）（a-b）。因為這兩個圖形的陰影部分的面積相等，所以得到的是平方差公式，即a2-b2=（a+b）（a-b）。故選A。

三、觀“形”思“數”，凸顯特征

例3在“整式的乘法與因式分解”這一章的學習過程中，我們常采用構造幾何圖形的方法對代數式的變形加以說明。例如，利用圖2 中邊長分別為a、b的正方形以及長為a、寬為b的長方形卡片若干張，拼成圖3（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。

圖2

圖3

圖4

請你解答下面的問題：

（1）利用圖2 中的三種卡片若干張拼成圖4，可以解釋等式：___________；

（2）利用圖2 中的三種卡片若干張拼出一個面積為2a2+5ab+2b2的長方形，請你分析這個長方形的長和寬。

【解析】（1）根據長方形的面積公式進行計算即可。由題意知，圖4 的面積可以表示成（2a+b）（a+b），也可以表示成2a2+3ab+b2，所以，可以得到答案為（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2。

（2）我們可以通過拼圖的方式，先拿出邊長為a和b的正方形紙片各2 張，再拿出長為a、寬為b的長方形紙片5張，將它們拼成一個長方形，最后利用拼之前與拼之后圖形的面積相等，得出一個等式。根據拼圖，可以得到2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b），所以，這個長方形的長和寬分別為2a+b和a+2b。

因式分解是初中數學中重要的恒等變形之一，不僅在一元二次方程、二次函數中要用到，而且在許多應用題的計算中也會用到，且非常方便。因式分解的方法靈活，技巧性強，是解決許多數學問題的有力工具。學習這些技巧方法，對于培養我們的解題技巧，發展思維能力，有十分獨特的作用。