關(guān)注圖形，研究方法

文／錢德春

通過“中心對(duì)稱圖形——平行四邊形”這一章的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)，本章既要掌握幾何知識(shí)，也要領(lǐng)悟圖形研究的內(nèi)容、路徑、策略和方法，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，為今后圖形的研究奠定基礎(chǔ)。下面，我們就本章的學(xué)習(xí)做一些回顧和梳理。

本章的開始，我們通過用數(shù)學(xué)的眼光欣賞摩天輪、風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等生活中的圖案和現(xiàn)象，學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)概念，探索圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將圖形進(jìn)行180°旋轉(zhuǎn)，引出中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形。接著，以中心對(duì)稱為主線，我們研究了平行四邊形以及特殊的平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用中心對(duì)稱研究了三角形中位線的性質(zhì)（如圖1）。最后，我們還對(duì)教材的基本問題進(jìn)行了深入探究，拓展延伸。

圖1

例如，教材中有這樣一個(gè)問題：依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)，你能得到什么圖形？該問題還可以進(jìn)行變式思考：如果依次連接矩形各邊的中點(diǎn)，你能得到什么圖形？如果依次連接一個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)得到菱形，那么原來的四邊形一定是矩形嗎？依次連接四邊形一組對(duì)邊和兩條對(duì)角線中點(diǎn)，你能得到什么圖形？等等。

在本章的學(xué)習(xí)中，我們不能只關(guān)注中心對(duì)稱圖形相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，更要關(guān)注圖形的研究方法、研究路徑、推理類型、思維方式和數(shù)學(xué)思想。從研究路徑看，圖形研究的一般路徑為：定義→性質(zhì)→判定→運(yùn)用；從研究方法看，圖形研究一般經(jīng)歷操作、觀察、發(fā)現(xiàn)、推理等過程；從推理類型上看，圖形的推理主要分為歸納、類比、演繹。另外，我們要了解反證的思想與方法。從思維方式看，分析圖形問題要從兩個(gè)方面入手，一是從已知想可知，由未知想須知，二是關(guān)注知識(shí)與方法的聯(lián)系、圖形的轉(zhuǎn)化、方法的遷移；從數(shù)學(xué)思想看，中心對(duì)稱圖形的研究主體體現(xiàn)為“特殊與一般”和“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”。

如平行四邊形、矩形、菱形和正方形等圖形之間具有特殊與一般的關(guān)系，我們可以感受到：在圖形不斷特殊化的過程中，圖形的性質(zhì)越來越多，判定它所需要的條件也越來越多；同時(shí)，圖形的研究要化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，如將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決。此外，我們還應(yīng)該學(xué)會(huì)有條理地思考和表達(dá)。這些不僅是我們研究平行四邊形的基本要求，也是今后研究其他圖形的基本要求。

因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該以更廣闊的視野，將數(shù)學(xué)研究的路徑、方法、思想遷移到其他領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指向“詩(shī)和遠(yuǎn)方”。