菱形的“尋根之旅”

文／范志群

中考以菱形為背景的題目層出不窮，這類題往往題型復雜，有一定的難度。但是，當我們逐層剖析，追根溯源時，會發現這些題目其實就是考查菱形的基本性質和判定方法，歸根到底，還是我們教材中的基本知識和基本方法的具體應用。下面，讓我們一起踏上菱形的“尋根之旅”。

【中考鏈接】如圖1，將矩形紙片ABCD（AD＞AB）折疊，使點C 剛好落在線段AD上的G 點，且折痕分別與邊BC、AD 相交。設折疊后點C、D 的對應點分別為點G、H，折痕分別與邊BC、AD相交于點E、F。

圖1

（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結論；

（2）若AB=3，BC=9，求線段CE 的取值范圍。

【解析】（1）利用軸對稱的性質、三角形全等，可證得四邊形CEGF是菱形；

（2）求CE 的取值范圍，我們可以轉化為求CE的最大值和最小值。

如圖2，當點F 與點D 重合時，四邊形CEGF 是正方形，此時CE 最小，且CE=CD=3。

圖2

如 圖3，當 點G 與 點A 重 合 時，CE最大。

圖3

設CE=x，則BE=9-x。

由（1）知AE=CE=x，

由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即

32+（9-x）2=x2，得x=5。

所以線段CE的取值范圍為3≤x≤5。

本題第（1）問對同學們來說應該是“熟臉”；對于第（2）問，有的同學被迷惑住了，不知如何入手。第（2）問看似是個新題，實際上卻出自我們的教材。下面，我們一起來探尋它的“根”在哪里。

我們一起回顧一下蘇科版八（下）數學教材93 頁第15 題：由兩個等寬的矩形疊合而得到的四邊形ABCD 是菱形嗎？證明你的結論。（圖略）

該問題不正是中考題第（1）問的原型嗎？如果緊接著追問：此時的菱形邊長什么情況下最大？什么情況下最短？這個追問不就是這道中考題的第（2）問——求菱形邊長的取值范圍嗎？

【歸納】解決翻折中的問題時，我們常常會找相等的線段，利用勾股定理，設未知數，構建方程。教材是我們學習知識的“根源”，每年都有大量的中考題來源于教材。我們要學會細心觀察，精心分析，才能“追根溯源”，使問題迎刃而解。