轉化：構造全等求解問題

文／江蘇省蘇州市相城區漕湖學校 鄒 揚

在學習有關中心對稱圖形的知識過程中，我知道了利用中心對稱圖形的性質，可以將復雜的問題轉化為簡單的問題。比如，在一個正方形中探究兩條線段的數量或位置關系時，我們可以使用轉化法構造全等模型，將原問題轉化為基本圖形問題來解決。我們一起來看下面的例題。

例題如圖1，在正方形ABCD中，F為邊BC上的定點，E、G分別是AB、CD邊上的動點，AF和EG交于點H。有2 個選項：①AF⊥EG，②AF=EG。請從2 個選項中任意選擇一個作為條件，余下一個作為結論，得到一個真命題，并證明。

圖1

我選擇①作為條件，②作為結論。

證明：作DP∥GE，如圖2。

圖2

∵AF⊥EG，∴AF⊥DP。

∴∠ADP+∠DAF=90°。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAP=∠ABF=90°。

∴∠BAF+∠DAF=90°。

∴∠BAF=∠ADP。

∵AD=AB，∴△ABF≌△DAP（ASA）。

∴AF=DP。

∵AB∥CD，DP∥GE，

∴四邊形PEGD是平行四邊形。

∴PD=EG。∴AF=EG。

本題我們還可以選擇②作為條件，①作為結論。根據已知條件AF=GE，我們無法直接證明，此時需要構造△DAP與△ABF全等，借助角的數量關系來說明線段的位置關系，從而證明DP⊥AF，進一步證明AF⊥EG。

在解決這類題目時，我們可以通過構造最基本的全等模型，將原本無法直接求解出來的圖形問題轉化為熟悉的基本圖形問題求解。

教 師 點 評

在本章的學習中，同學們時常會遇到一些新圖形問題。將新圖形問題轉化為基本圖形問題是一種重要的解題策略。小作者能夠把握正方形背景下的三角形全等模型，通過添加輔助線，實現轉化證明，值得大家學習。