以“圖”助“解”

文／柏黎平

平面直角坐標系是溝通代數和幾何知識的重要橋梁，在初中數學學習中具有重要意義。同學們在解決圖形與坐標的相關問題時，往往會因為兩者比較抽象的對應關系，出現各種各樣的錯誤。為避免出現類似的錯誤，我們在做題時，要多動手畫圖，讓圖形來幫助我們解題和思考。

一、坐標系概念不清，象限正負不分

例1 在平面直角坐標系中，若點P（m-3，1-m）在第三象限，求m的取值范圍。

【錯因分析】出錯的原因是對象限的概念和象限內點的特征掌握不到位，甚至僅憑記憶來解題。同學們在解決此類問題時最好在紙上簡單畫一下各象限的示意圖，強化對各象限點的符號特點的認識。當然，我們若能做到“紙上無圖，心中有圖”就更好了。

二、到軸距離與橫縱坐標對應關系錯位

例2 已知，在平面直角坐標系中，點P（x-1，3x-2），且點P到x軸的距離為7，求點P的坐標。

【錯解1】由題意得x-1=7，解得x=8。

∴3x-2=22。∴點P的坐標為（7，22）。

【錯解2】由題意得3x-2=7，解得x=3。

∴x-1=2。∴點P的坐標為（2，7）。

【錯因分析】錯解1 誤認為在平面直角坐標系中，點到x軸的距離為該點的橫坐標；錯解2 雖然知道點到x軸的距離是該點的縱坐標，但沒有意識到平面內到x軸的距離等于7的點有兩個。同學們在做這類題時，若能及時畫出平面直角坐標系，根據題意嘗試在平面內畫出點P并標注距離，就能發現到坐標軸距離和橫縱坐標的對應關系，從而避免上述錯誤。

綜上所述，點P的坐標為（2，7）或（-，-7）。

三、圖形變換時坐標變化生搬硬套

例3 已知在平面直角坐標系中，點M的坐標為（-3，-2），將點M關于y軸作軸對稱變換后，再向上平移3 個單位，變換后對應點N的坐標為（a+b，1-b），求a、b的值。

【錯因分析】不少同學在遇到圖形（點）的位置變換時，喜歡利用一些口訣（或公式）計算圖形（點）的坐標變化，從而不畫圖快速解決此類問題。但此類方法有較大弊端，在口訣多了或時間久了之后容易產生混淆和錯亂。比如本題做錯的原因大概率為記錯“關于y軸對稱點的坐標變化特征”。同學們在解題時還是要按題意認真畫圖，用圖形幫助思考，相信有了圖1的幫助，就不會發生上述錯誤了。

圖1

四、圖形變化考慮不周全

例4 已知平面直角坐標系中，點P坐標為（2a-1，a+4），且點P在兩坐標軸夾角的角平分線上，求點P的坐標。

【錯解】如圖2，已知點P在x軸和y軸夾角平分線上，則點P到x軸和y軸的距離相等，即點P的橫縱坐標相等，∴2a-1=a+4，解得a=5。∴點P的坐標為（9，9）。

圖2

【錯因分析】兩坐標軸的夾角平分線共有4 條，分別是四個象限中的x軸和y軸夾角平分線。因此，錯解僅考慮第一象限的情況是不周全的。當問題條件指代不清時，我們就要分類討論。

【正解】由題意分兩種情況討論：

①當點P在一、三象限夾角平分線上時，點P的橫、縱坐標相等，此時2a-1=a+4，解得a=5。∴點P的坐標為（9，9）。

②當點P在二、四象限夾角平分線上時，點P的橫、縱坐標互為相反數，此時（2a-1）+（a+4）=0，解得a=-1。∴點P的坐標為（-3，3）。

綜上所述，點P的坐標為（9，9）或（-3，3）。

在平面直角坐標系中，坐標（實數對）的數量變化與圖形的位置變化是相對應的，數量的變化必然導致圖形的位置變化，反之亦然。同學們在解決圖形與坐標的有關問題時，既要從坐標的數量變化上考慮，也要多畫圖，從圖形變化角度研究問題，利用數形結合思想，更好地解決問題。